高中数学-第一章-立体几何初步单元质量测评(含解析)新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题

wordword/word第一章单元质量测评对应学生用书P41本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体各条棱长都相等D．棱柱的各条棱都相等答案C解析根据棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱长相等，但是侧棱和底面内的棱长不一定相等，而正方体的所有棱长都相等．2．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于()A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶8答案A解析设扇形的半径为R，围成的圆锥的底面圆的半径为r，则扇形弧长l＝eq\f(135πR,180)＝eq\f(3,4)πR，又2πr＝eq\f(3,4)πR，∴r＝eq\f(3,8)R，S扇形＝eq\f(135π,360)R2＝eq\f(3,8)πR2，S圆锥全＝S底＋S侧＝πr2＋S扇形＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)R))2＋eq\f(3,8)πR2＝eq\f(33,64)πR2，∴eq\f(S扇形,S圆锥全)＝eq\f(\f(3,8)πR2,\f(33,64)πR2)＝eq\f(8,11)，∴eq\f(A,B)＝eq\f(11,8)，故选A．3．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()答案C解析由几何体的俯视图与左视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，故选C．4．给出下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行线确定三个平面．正确的结论个数有()A．1B．2C．3D．4答案A解析①中不共线的三点确定一个平面；②中一条直线和直线外一点确定一个平面；③中若四点不共面，则每三点一定不共线，故③正确；④中不共面的三条平行线确定三个平面．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若α∥β，l∥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案B解析若l∥α，l∥β，则α∥β或α∩β＝m，l∥m，故A错误．若α∥β，l∥α，则l∥β或l在β内，故C错误．若α⊥β，l∥α，则l∥β或l在β内或l⊥β或l与β相交，故D错误．6．体积为27，全面积为54的长方体()A．必是正方体B．不存在C．有无穷多个D．最多只能有三个答案A解析设长、宽、高分别为a，b，c，则abc＝27．2(ab＋bc＋ac)＝54，∴ab＋bc＋ac＝abc．易知a＝b＝c，故应为棱长为3的正方体．7．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析①平面ABD⊥平面BCD，②平面ABC⊥平面BCD，③平面ACD⊥平面ABD．8．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则()A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2答案A解析由截面性质可知，设底面积为S．eq\f(S,S1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)))2⇒S1＝eq\f(1,4)S；eq\f(S,S2)＝eq\f(2,1)⇒S2＝eq\f(1,2)S；eq\f(S,S3)＝eq\r(3,\f(2,1)2)⇒S3＝eq\f(1,\r(3,4))S．可知S1<S2<S3，故选A．9．夹在两个平行平面间的圆柱、圆锥、球，若它们在平行平面上的正投影是等圆，那么它们的体积之比为()A．3∶1∶4B．9∶3∶4C．3∶1∶2D．1∶2∶3答案C解析它们的高都等于两平行平面间的距离设为h，圆柱体积V1，圆锥体积V2，球体积V3，正投影的面积为S，则V1＝Sh，V2＝eq\f(1,3)Sh，V3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(S,π))))3＝eq\f(4,3)Seq\r(\f(S,π))．又因为h＝2eq\r(\f(S,π))，所以eq\r(\f(S,π))＝eq\f(h,2)．所以V3＝eq\f(4,3)S·eq\f(h,2)＝eq\f(2,3)Sh，所以V1∶V2∶V3＝1∶eq\f(1,3)∶eq\f(2,3)＝3∶1∶2．10．已知集合A，B，C，A＝{直线}；B＝{平面}，C＝A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列命题：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∥b，,c∥b))⇒a∥c；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,c⊥b))⇒a∥c；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,c∥b))⇒a⊥c．其中正确的命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①当c为直线时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∥b，,c∥b))⇒a∥c或a，c异面或相交，故①错误．②当c为平面时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,c⊥b))⇒a∥c或a⊂c，故②错误．经验证得③正确．11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短，则AP＋D1P的最小值为()A．eq\r(2＋\r(2))B．eq\f(\r(2)＋\r(6),2)C．2＋eq\r(2)D．2答案A解析D1－A1B－A展成平面，如图所示，则AD1即为AP＋D1P的最小值．过D1作D1M⊥AA1的延长线于M，由∠AA1D1＝∠AA1B＋∠BA1D1＝45°＋90°＝135°，可知∠MA1D1＝45°．所以A1M＝D1M＝eq\f(\r(2),2)．在Rt△MD1A中，AD1＝eq\r(MA2＋MD\o\al(2,1))＝eq\r(2＋\r(2))．12．三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M，N分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0，3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是()答案A解析V＝eq\f(1,3)S△AMC·NO＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3x×sin30°))·(8－2x)＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋2，x∈[0，3]，故选A．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线a，b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a与b的位置关系为________．答案相交或异面解析画一个长方体，则有两直线交于一顶点或两直线异面．14．设A，B，C，D为球O上四点，若AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝AC＝eq\r(6)，AD＝2，则A，D两点间的球面距离为________．答案eq\f(2π,3)解析由题意知，球O的直径为以AB，AC，AD为棱的长方体的体对角线，即2R＝eq\r(AB2＋AC2＋AD2)＝4，即R＝2，则OA＝OD＝AD＝2，∴△OAD为正三角形，则∠AOD＝eq\f(π,3)，∴A，D球面距离为eq\f(2π,3)．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．答案2eq\r(3)解析由三视图可知该多面体的直观图如图所示，即图中的四棱锥P－ABCD，所以最长的一条棱的长为PA＝eq\r(PC2＋AC2)＝eq\r(PC2＋AB2＋BC2)＝2eq\r(3)．16．一个正六棱锥的底面边长为2、高为1，则过两条不相邻侧棱所作的截面中，面积最大值为________．答案eq\r(6)解析如图先计算截面PAD的面积，由题知h＝PO＝1，AD＝4，∴S△PAD＝eq\f(1,2)×1×4＝2，下面计算截面PAC的面积，连接OB交AC于M点，连接PM，则PM⊥AC，AC＝2eq\r(3)，BM＝1，∴OM＝1，∴PM＝eq\r(PO2＋OM2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴S△PAC＝eq\f(1,2)×AC×PM＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\r(6)，eq\r(6)>2，∴S△PAC>S△PAD，∴填eq\r(6)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)定线段AB所在直线与定平面α相交，P为直线AB外任一点，且P∉α，直线AP，PB与α交于A′，B′．求证：不论P在什么位置，A′B′过一定点．证明设定线段AB所在直线与定平面α相交于定点O．∵AP，AB相交于点A，∴由AP，AB可确定平面β．∵AP∩α＝A′，PB∩α＝B′，AB∩α＝O，∴A′，B′，O为平面α与平面β的公共点．∴A′，B′，O三点共线，即A′B′过定点O．18．(本小题满分12分)如图，已知平面α∥β，O为α，β外一点，三条射线OA，OB，OC分别交β于A，B，C，交α于A1，B1，C1．(1)求证：△ABC∽△A1B1C1；(2)若OA＝a，AA1＝b，B1C1＝c，求BC的长．解(1)证明：因为α∥β，平面AOB∩α＝A1B1，平面AOB∩β＝AB，所以A1B1∥AB，所以eq\f(OA1,OA)＝eq\f(OB1,OB)＝eq\f(A1B1,AB)，同理B1C1∥BC，所以eq\f(OB1,OB)＝eq\f(OC1,OC)＝eq\f(B1C1,BC)．同理，A1C1∥AC，eq\f(OA1,OA)＝eq\f(OC1,OC)＝eq\f(A1C1,AC)，所以eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(B1C1,BC)＝eq\f(C1A1,CA)．所以△ABC∽△A1B1C1．(2)由(1)知，eq\f(OA1,OA)＝eq\f(B1C1,BC)，又因为OA1＝OA－AA1＝a－b，∴eq\f(a－b,a)＝eq\f(c,BC)，∴BC＝eq\f(ac,a－b)．19．(本小题满分12分)如图所示的四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面PBD．证明(1)连接AC交BD于点O，连接OE．∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO．∵E为PC的中点，∴EO∥PA．∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．20．(本小题满分12分)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．(1)求证：C1C⊥BD；(2)当eq\f(CD,CC1)的值为多少时，可使A1C⊥平面C1BD?解(1)证明：连接A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D．∵DO＝OB，∴C1O⊥BD．又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1．又∵C1C⊂平面ACC1A1，∴C1C⊥BD．(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1．∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．当eq\f(CD,CC1)＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同理可证BC1⊥A1C．又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．21．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB．又因为AB⊥BC，BB1，BC为平面B1BCC1内两条相交直线，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1．(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG，如图．因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝eq\f(1,2)AC，EC1＝eq\f(1,2)A1C1．因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1．所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG．又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE．(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(3)．所以三棱锥E－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3),3)．22．(本小题满分12分)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形．(1)求该几何体的体积；(2)D是棱A1C1上的一点，若使直线BC1∥平面AB1D，试确定点D的位置，并证明你的结论；(3)在(2)成立的条件下，求证：平面AB1D⊥平面AA1D．解由三视图可知该几何为正三棱柱，底面是高为eq\r(3)的正三角形，三棱柱的高h＝3，(1)底面是高为eq\r(3)的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所求体积V＝Sh＝3eq\r(3)．(2)连接