2025届高考数学一轮复习第38讲　直线的方程及位置关系含答案

2025届高考数学一轮复习第八章解析几何第38讲直线的方程及位置关系链教材夯基固本激活思维1．(人A选必一P54例1改)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2【解析】由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.2．(人A选必一P57T1改)已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(A)A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0【解析】由题意可得直线l的斜率k＝－eq\f(3,2)，所以l：y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.3．(人A选必一P77T3改)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(C)A．eq\r(2)B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1【解析】由题意知eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，a＞0，解得a＝eq\r(2)－1.4．(人A选必一P72T3改)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是(A)A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0【解析】经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0.5．(人A选必一P61例2改)(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是(AB)A．2 B．－1C．－2 D．1【解析】因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.聚焦知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__向上方向__之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围是__[0，π)__．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝__tanα__．(2)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝__eq\f(y2－y1,x2－x1)__．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式__y－y0＝k(x－x0)__不含直线x＝x0斜截式__y＝kx＋b__不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式__Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)__平面直角坐标系内的直线都适用4．两条直线平行与垂直的判定(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔__k1＝k2__．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔__k1·k2＝－1__．特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．5．三个距离公式(1)点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝__eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)__．(2)点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))__．(3)线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝__eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))__．6．常用结论(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．(2)“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．研题型能力养成举题说法直线的方程例1(1)已知直线l的斜率为eq\r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(A)A．y＝eq\r(3)x＋2 B．y＝eq\r(3)x－2C．y＝eq\r(3)x＋eq\f(1,2) D．y＝－eq\r(3)x＋2【解析】因为直线x－2y－4＝0的斜率为eq\f(1,2)，所以直线l在y轴上的截距为2，故直线l的方程为y＝eq\r(3)x＋2.(2)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(A)A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0【解析】设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,2)＝0，,\f(y－2,2)＝m，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋7,2)＝n，,\f(y＋3,2)＝0，))解得x＝－5，y＝－3，m＝－eq\f(5,2)，n＝1，即C(－5，－3)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1，0)，所以MN所在直线的方程为eq\f(y＋\f(5,2),\f(5,2))＝eq\f(x,1)，即5x－2y－5＝0.求直线方程的两种方法：(1)直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．选择直线方程的形式时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，把参数的值代入所设直线方程．变式(1)(2023·临沂调研)若过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：eq\r(3)x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是(B)A．eq\r(3)x－y＋eq\r(3)＋1＝0B．eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)－1＝0C．eq\r(3)x－3y＋eq\r(3)＋3＝0D．eq\r(3)x＋3y＋eq\r(3)－3＝0【解析】设直线l与l1的斜率分别为k，k1.因为k1＝tanα＝eq\r(3)，α＝60°，所以k＝tan120°＝－eq\r(3)，所以直线l的方程是y－1＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)－1＝0.(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为__y＝－eq\f(\r(3),3)x－3__．【解析】由直线的倾斜角为150°，知该直线的斜率为k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，故所求直线的斜截式方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－3.两直线的位置关系例2(1)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为(D)A．－1 B．－2C．－2或0 D．0【解析】由题设知(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2.当a＝0时，l：x－y＋3＝0，m：x－y－3＝0，满足题设；当a＝－2时，l：x＋y－3＝0，m：x＋y－3＝0，不满足题设．所以a＝0.(2)(2023·温州三模)已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝(B)A．－1 B．0C．1 D．2【解析】因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，所以1·a＋1·b＝0，即a＋b＝0.平行与垂直关系的解题策略：(1)已知两直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1．(2)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．变式(1)设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝__eq\f(1,2)__；若l1⊥l2，则a＝__－7__．【解析】若l1∥l2，则2(a＋1)－1×3＝0，解得a＝eq\f(1,2)，经检验，当a＝eq\f(1,2)时，符合题意，故a＝eq\f(1,2)；若l1⊥l2，则a＋1＋3×2＝0，解得a＝－7.(2)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，求实数m＋n的值．【解答】因为l1∥l2，所以kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.因为l2⊥l3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.距离问题例3(1)已知经过点P(2，2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1，0)到直线l的距离等于eq\r(5)，则a的值是(C)A．－eq\f(1,2) B．1C．2 D．eq\f(1,2)【解析】依题意，设直线l的方程为x＋ay＋c＝0.因为点P(2，2)在l上，且点M(1，0)到直线l的距离等于eq\r(5)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2a＋c＝0，,\f(|1＋c|,\r(1＋a2))＝\r(5)，))消去c，得a＝2.(2)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(A)A．3eq\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)【解析】由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))，解得m＝－6，即x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).使用距离公式时应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为相等．变式(1)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为__2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0__．【解析】设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由已知得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，解得k＝2或k＝－eq\f(2,3)，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则eq\f(c＋2,a)的值为__±1__．【解析】由题意得eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，所以a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，所以eq\f(2\r(13),13)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(13))，解得c＝2或c＝－6，所以eq\f(c＋2,a)＝－1或eq\f(c＋2,a)＝1.对称问题例4已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).(1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标；【解答】设A′(x，y).由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))所以A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；【解答】在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)求直线l关于点A对称的直线l′的方程.【解答】方法一：在l：2x－3y＋1＝0上取两点P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二：因为l∥l′，所以设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1).因为点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，所以由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(13))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(13))，解得C＝－9，所以直线l′的方程为2x－3y－9＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．变式已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为__6x－y－6＝0__．【解析】设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－(－3))·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.随堂内化1．已知直线l1：eq\r(3)x－3y＋1＝0与直线l2平行，则l2的斜率为(C)A．eq\r(3) B．－eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)【解析】因为直线l1：eq\r(3)x－3y＋1＝0的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，l2∥l1，所以直线l2的斜率为eq\f(\r(3),3).2．(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为(A)A．45° B．135°C．90° D．180°【解析】由题意知直线过点(－2，0)，(0，2).设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tanα＝eq\f(2－0,0－(－2))＝1，故倾斜角α＝45°.3．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为(D)A．－5或－15 B．－5或15C．5或－15 D．5或15【解析】因为点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，所以eq\f(|3×(－2)－4×1＋m|,\r(32＋(－4)2))＝1，解得m＝15或m＝5.4．(2024·九省联考)已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足eq\o(QP,\s\up6(→))＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则(C)A．E是一个半径为eq\r(5)的圆B．E是一条与l相交的直线C．E上的点到l的距离均为eq\r(5)D．E是两条平行直线【解析】设P(x，y)，由eq\o(QP,\s\up6(→))＝(1，－3)，得Q(x－1，y＋3)，由Q在直线l：x＋2y＋1＝0上，可得x－1＋2(y＋3)＋1＝0，化简得x＋2y＋6＝0，即P的轨迹E为直线x＋2y＋6＝0，与直线l平行，则E上的点到l的距离d＝eq\f(|6－1|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，故A，B，D错误，C正确．5．(2023·临沂模拟)已知光线从点A(6，1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4，4)，则CD所在直线的方程为__x－2y＋4＝0__．【解析】如图，由题意知点B在原点O的右侧，A(6，1)关于x轴对称的点为A′(6，－1)，且D(4，4)关于y轴对称的点为D′(－4，4)，直线BC一定过A′，D′两点，所以BC所在直线的方程为y－4＝eq\f(4＋1,－4－6)(x＋4)，即x＋2y－4＝0.令x＝0，得y＝2，所以点C的坐标为(0，2)，所以CD所在直线的方程为y＝eq\f(4－2,4－0)x＋2，即x－2y＋4＝0.配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2023·福州模拟)已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(9，λ)，且A，B，C三点共线，则λ＝(C)A．－1 B．0C．1 D．2【解析】因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即eq\f(\f(1,2)＋3,8－1)＝eq\f(λ＋3,9－1)，解得λ＝1.2．(2023·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为(D)A．垂直或平行 B．垂直或相交C．平行或相交 D．垂直或重合【解析】因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－eq\f(1,2)，k2＝2，所以k1·k2＝－1，则两直线垂直；当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．3．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是(B)A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0【解析】当直线过原点时，由直线过点(5，2)，可得直线的斜率为eq\f(2,5)，故直线的方程为y＝eq\f(2x,5)，即2x－5y＝0；当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为b，则在y轴上的截距是2b，直线的方程为eq\f(x,b)＋eq\f(y,2b)＝1，把点(5，2)代入可得eq\f(5,b)＋eq\f(2,2b)＝1，解得b＝6，故直线的方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.4．若直线y＝eq\f(\r(3),3)x关于直线x＝1对称的直线为l，则直线l的方程是(C)A．eq\r(3)x＋y－2＝0 B．eq\r(3)x＋y＋2＝0C．x＋eq\r(3)y－2＝0 D．x＋eq\r(3)y＋2＝0【解析】直线y＝eq\f(\r(3),3)x与直线x＝1交于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以直线l的斜率为－eq\f(\r(3),3)且过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以直线l的方程为y－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x＋eq\r(3)y－2＝0.二、多项选择题5．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列说法正确的有(BD)A．直线l1恒过点(0，1)B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1C．若l1∥l2，则m＝±1D．若l1⊥l2，则m＝0【解析】把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，故A错误；若直线l2：x＋my＋1＝0的方向向量为(1，1)，则直线l2的斜率k＝eq\f(－1,m)＝1，可得m＝－1，故B正确；因为直线l1的方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，舍去，所以m＝－1，故C错误；若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，故D正确．6．(2023·南京盐城期末)已知直线l的方程为(a2－1)x－2ay＋2a2＋2＝0，a∈R，O为原点，则(BD)A．若|OP|≤2，则点P一定不在直线l上B．若点P在直线l上，则|OP|≥2C．直线l上存在定点PD．存在无数个点P总不在直线l上【解析】点O到直线l的距离为d＝eq\f(2a2＋2,\r((a2－1)2＋(－2a)2))＝2，所以l始终与圆x2＋y2＝4相切，若|OP|≤2，则点P可能在直线l上，故A错误；当点P在直线l上时，|OP|≥2，故B正确；由(a2－1)x－2ay＋2a2＋2＝0，知a2(x＋2)－a·2y＋2－x＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,2y＝0，,2－x＝0，))x无解，所以直线l不过定点，故C错误；圆x2＋y2＝4内(不含边界)的所有点都不在直线l上，故D正确．三、填空题7．(2023·怀化二模)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为__eq\r(2)__．【解析】直线y＝k(x＋1)恒过点A(－1，0)，则点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离的最大值为点(0，－1)到点A的距离，即为d＝eq\r((0＋1)2＋(－1－0)2)＝eq\r(2).8．点P(2，7)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为__(－8，－3)__．【解析】设点P(2，7)关于直线x＋y＋1＝0对称的点为A(a，b)，由对称性知，直线x＋y＋1＝0与线段PA垂直，所以kPA＝eq\f(b－7,a－2)＝1，所以a－b＝－5.又线段PA的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋a,2)，\f(7＋b,2)))在直线x＋y＋1＝0上，即eq\f(2＋a,2)＋eq\f(7＋b,2)＋1＝0，所以a＋b＝－11.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－5，,a＋b＝－11，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－3，))所以点P(2，7)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为(－8，－3).9．(2023·邯郸模拟)若直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝eq\f(3,4)x－1平行，则a＝__－eq\f(4,3)__，l1与l2的距离为__eq\f(2,5)__．【解析】由题可知直线l1的斜率为－eq\f(1,a)(a≠0)，直线l2的斜率为eq\f(3,4)，所以－eq\f(1,a)＝eq\f(3,4)，解得a＝－eq\f(4,3)，则直线l1：3x－4y－6＝0与直线l2：3x－4y－4＝0间的距离d＝eq\f(|－6＋4|,\r(32＋(－4)2))＝eq\f(2,5).四、解答题10．已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).(1)求AD所在直线的方程；【解答】因为四边形ABCD为平行四边形，则AD∥BC，则kAD＝kBC＝eq\f(1－3,4－2)＝－1，所以直线AD的方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋y＋3＝0.(2)求□ABCD的面积．【解答】直线BC的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋y－5＝0，且|BC|＝eq\r((4－2)2＋(1－3)2)＝2eq\r(2)，点A到直线BC的距离为d＝eq\f(|－2－1－5|,\r(2))＝4eq\r(2)，所以平行四边形ABCD的面积为S□ABCD＝|BC|·d＝2eq\r(2)×4eq\r(2)＝16.11．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1)求证：不论m为何实数，直线l过定点M；【解答】直线l的方程转化为(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以无论m为何实数，直线l过定点M(－1，－2).(2)过定点M作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程．【解答】过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l1过点(－2，0)，(0，－4).设直线l1的方程为y＝kx＋b，把两点坐标代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝0，,b＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－4，))则直线l1的方程为y＝－2x－4，即2x＋y＋4＝0.B组滚动小练12．(2024·福州期初)已知一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm3，其上、下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为(D)A．eq\f(75,4)cm B．25cmC．50cm D．75cm【解析】设正四棱台的高，即油槽的深度为hcm，依题意得190000＝eq\f(h,3)(602＋402＋60×40)，解得h＝75.13．(2024·淮安期初)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD＝2.(1)若△ABC的面积S＝2，∠ADB＝eq\f(π,4)，求a；【解答】由题知△ABC的高h＝ADsin∠ADB＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2)，所以S＝eq\f(1,2)BC·h＝eq\f(1,2)·a·eq\r(2)＝2，则a＝2eq\r(2).(2)若D为∠BAC的角平分线与边BC的交点，c＝2，C＝eq\f(π,4)，求a.【解答】因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC.设∠BAD＝∠DAC＝θ，则∠ADB＝∠DAC＋∠C＝θ＋eq\f(π,4).在△ABD中，因为AB＝AD＝2，所以∠B＝∠ADB＝θ＋eq\f(π,4).由内角和定理知∠B＋∠ADB＋∠BAD＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋θ＝3θ＋eq\f(π,2)＝π，所以θ＝eq\f(π,6).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sin∠BAC)＝eq\f(c,sinC)，则a＝eq\f(csin∠BAC,sinC)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6))),sin\f(π,4))＝eq\r(6).1．补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(基础版)对应内容2．为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(基础版)第39讲圆的方程链教材夯基固本激活思维1．(人A选必一P88习题4改)(多选)已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圆，则下列结论正确的是(BD)A．圆心坐标为C(－2，3)B．圆心坐标为C(2，－3)C．半径r＝13D．半径r＝eq\r(13)【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是C(2，－3)，半径r＝eq\r(13).2．(人A选必一P85练习1(2)改)圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是(A)A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25B．(x－8)2＋(y－3)2＝25C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25【解析】因为圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)，所以半径为|MC|＝eq\r((－5＋8)2＋(－1－3)2)＝5，故圆的标准方程为(x＋8)2＋(y－3)2＝25.3．(人A选必一P88习题4改)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是(C)A．x2＋(y－2)2＝10B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x－2)2＋y2＝10D．(x＋2)2＋y2＝10【解析】设圆心坐标为C(a，0)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((－1－a)2＋12＝r2，,(1－a)2＋32＝r2，))解得a＝2，r2＝10，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.4．(人A选必一P85练习3改)已知圆C以P1P2为直径，P1(4，9)，P2(6，3)，则下列各点在圆C外的是(B)A．M(6，9) B．N(3，3)C．Q(5，3) D．R(4，4)【解析】由线段的中点坐标公式，可得圆心为C(5，6).因为|P1P2|＝eq\r((4－6)2＋(9－3)2)＝2eq\r(10)，所以圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.因为|CM|＝eq\r(10)＝r，所以点M在圆上；因为|CN|＝eq\r(13)＞r，所以点N在圆外；因为|CQ|＝3＜r，所以点Q在圆内；因为|CR|＝eq\r(5)＜r，所以点R在圆内．5．(人A必选一P87例5改)已知圆C经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为__(x－2)2＋(y－4)2＝10__；若点D为圆C上任意一点，且点E(3，0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2＝eq\f(5,2)__．【解析】由题可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((3－a)2＋(1－b)2＝r2，,(－1－a)2＋(3－b)2＝r2，,3a－b－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4，,r2＝10，))所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.设M(x，y)，D(x1，y1).由E(3，0)及M为线段ED的中点得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋3,2)，,y＝\f(y1＋0,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－3，,y1＝2y.))又点D在圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝10上，所以(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2＝eq\f(5,2)，故点M的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2＝eq\f(5,2).聚焦知识1．圆的定义、方程定义平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：__(a，b)__半径：__r__一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：__D2＋E2－4F＞0__圆心：__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))__半径：r＝__eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\r(D2＋E2－4F)))__2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；(2)若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.3．两个常用结论(1)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,A)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(E,A)))eq\s\up12(2)－4·eq\f(F,A)＞0，即D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.研题型能力养成举题说法圆的方程例1(1)经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程是__(x－2)2＋(y－1)2＝10__．【解析】方法一：(几何法)由题意知kAB＝2，AB的中点为(4，0).设圆心为C(a，b).因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－4)＝－\f(1,2)，,2a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以C(2，1)，所以r＝|CA|＝eq\r((5－2)2＋(2－1)2)＝eq\r(10)，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－3＝0，,(5－a)2＋(2－b)2＝r2，,(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝\r(10)，))故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.方法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋4＋5D＋2E＋F＝0，,9＋4＋3D－2E＋F＝0，,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\f(E,2)－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－5，))所以所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝10.(2)已知A(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，C(0，3)，则△ABC外接圆的方程为(D)A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝4【解析】设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((－\r(3)－a)2＋(0－b)2＝r2，,(\r(3)－a)2＋(0－b)2＝r2，,(0－a)2＋(3－b)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，,r＝2，))则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.求圆的方程的两种方法：(1)根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．变式(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为__(x－1)2＋(y＋1)2＝5__．【解析】方法一：设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1＝0，,(3－a)2＋b2＝r2，,a2＋(1－b)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r2＝5，))所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二：设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－1＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，))所以圆M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三：设A(3，0)，B(0，1)，圆M的半径为r，则kAB＝eq\f(1－0,0－3)＝－eq\f(1,3)，AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，所以AB的垂直平分线方程为y－eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即3x－y－4＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－4＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))所以M(1，－1)，所以r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.相关点法求动点轨迹方程例2点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(A)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【解析】设圆上任意一点为Q(x1，y1)，PQ的中点为M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1－2,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－4，,y1＝2y＋2.))由Q在圆x2＋y2＝4上，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故所求轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.设要求动点的坐标，寻找要求点与已知点之间的关系，代入已知点所满足的关系式即可．变式若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__x2＋y2＝25__．【解析】设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则eq\r(a2＋b2)＝10，即a2＋b2＝100，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋0,2)＝x，,\f(0＋b,2)＝y，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2x，,b＝2y，))代入a2＋b2＝100，得4x2＋4y2＝100，即x2＋y2＝25，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝25.与圆有关的最值和范围问题例3(1)(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为__12__．【解析】由题意得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4.由于点P(x，y)是圆上的点，所以x2＋(y－3)2＝1，即x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))取最大值，且最大值为6×4－12＝12.(2)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__5eq\r(2)－4__．【解析】P是x轴上的动点，则|PM|的最小值为|PC1|－1.同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.取C1关于x轴对称的点C′1(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝5eq\r(2)，即|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.(3)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求下列表达式的最大值和最小值：①eq\f(y,x)；②y－x；③x2＋y2.【解答】①如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大或最小值．由eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，得k2＝3，所以kmax＝eq\r(3)，kmin＝－eq\r(3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝eq\r(3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(min)＝－eq\r(3).②设y－x＝b，则y＝x＋b.如图，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切时，截距b取最值．由点到直线的距离公式，得eq\f(|2＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)，故(y－x)min＝－2－eq\r(6)，(y－x)max＝－2＋eq\r(6).③x2＋y2表示圆上的点与原点的距离的平方．如图，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，易得B(2－eq\r(3)，0)，C′(2＋eq\r(3)，0)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．隐形圆有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．例4(1)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足eq\f(|PB|,|PA|)＝eq\r(3)，若点P不在直线AB上，则△PAB面积的最大值为(B)A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)【解析】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则B(2，0).设点P(x，y).由eq\f(|PB|,|PA|)＝eq\r(3)，得3|PA|2＝|PB|2，即3x2＋3y2＝(x－2)2＋y2，整理得(x＋1)2＋y2＝3.因此点P的轨迹是以点C(－1，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆(除去与x轴的交点)，则P到直线AB距离的最大值为eq\r(3)，所以△PAB面积的最大值为S＝eq\f(1,2)|AB|×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离的最大值为__3eq\r(2)__．【解析】由题意，直线l1过定点A(0，2)，l2过定点B(2，0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆T：(x－1)2＋(y－1)2＝2上．如图，圆心T(1，1)到直线l的距离d＝eq\f(|1－1－4|,\r(2))＝2eq\r(2)，从而点P到直线l的距离的最大值为d＋eq\r(2)＝3eq\r(2).(3)已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，|AB|＝eq\r(3)，P是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(9,4)上的动点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围是__[2eq\r(5)－4，2eq\r(5)＋4]__．【解析】取AB的中点D.因为|AB|＝eq\r(3)，所以|OD|＝eq\r(|OA|2－|AD|2)＝eq\f(1,2)，从而点D的轨迹方程为x2＋y2＝eq\f(1,4)，所以点D的轨迹是以原点O为圆心，eq\f(1,2)为半径的圆．因为C(2，1)，所以|OC|＝eq\r(5).如图，又圆C的半径为eq\f(3,2)，所以eq\r(5)－2≤|eq\o(PD,\s\up6(→))|≤eq\r(5)＋2，而eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，从而2eq\r(5)－4≤|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|≤2eq\r(5)＋4.(4)已知点A(2，3)，B(6，－3)，点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围为__(－∞，2)__．【解析】设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，3－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(6－x，－3－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋2λ＝(2－x)(6－x)＋(3－y)(－3－y)＋2λ＝x2＋y2－8x＋3＋2λ＝0，即(x－4)2＋y2＝13－2λ，故问题等价于直线3x－4y＋3＝0与圆(x－4)2＋y2＝13－2λ相交，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13－2λ＞0，,\f(|3×4＋3|,\r(32＋(－4)2))＜\r(13－2λ)，))解得λ＜2.(5)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是__[0，3]__．【解析】设M(x，y).由|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上．由题知圆E与圆C有公共点，所以|2－1|≤|CE|≤2＋1，即|2－1|≤eq\r(a2＋(a－3)2)≤2＋1，所以1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3].常见的“隐形圆”类型：(1)“定义圆”：在平面内，{M||MA|＝r}，其中M为动点，A为定点，r＞0为定值．(2)“斜率圆”：在平面内，{M|kMA·kMB＝－1}，其中M为动点，A，B为定点，且点M的横坐标不等于A，B的横坐标．(3)“平方圆”：在平面内，{M||MA|2＋|MB|2＝λ}，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值．(4)“向量圆”：在平面内，{M|eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝λ}，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值．特别地，若A，B为定点，且eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，则点M的轨迹是以AB为直径的圆．拓展：“角度圆”——在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合．(角度可用向量的夹角公式表示)(5)“比值圆”(阿波罗尼斯圆)：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合．数学语言描述为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(M|\f(|MA|,|MB|)＝λ))，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值，λ＞0且λ≠1.注：当λ＝1时，M的轨迹是线段AB的垂直平分线．随堂内化1．(2023·宁德模拟)已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(A)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，\f(1,2))) B．(－∞，－6)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－6，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))【解析】因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝eq\r(1－2k).因为点M(3，1)在圆C外，所以eq\r((3－1)2＋(1＋2)2)＞eq\r(1－2k)，且1－2k＞0，即13＞1－2k，且k＜eq\f(1,2)，解得－6＜k＜eq\f(1,2).2．(2023·滨州期末)设a，b为正数，若圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0关于直线ax－by＋1＝0对称，则eq\f(a＋2b,ab)的最小值为(A)A．9 B．8C．6 D．10【解析】圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为(－2，1).由题知圆心在直线ax－by＋1＝0上，所以－2a－b＋1＝0，即2a＋b＝1.因为a＞0，b＞0，则eq\f(a＋2b,ab)＝eq\f((a＋2b)(2a＋b),ab)＝eq\f(2a2＋2b2＋5ab,ab)≥eq\f(2\r(2a2·2b2)＋5ab,ab)＝9，当且仅当b＝a＝eq\f(1,3)时取等号．3．(2023·全国乙卷文)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(C)A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．7【解析】方法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，代入方程化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故x－y的最大值是3eq\r(2)＋1.方法二：由x2＋y2－4x－2y－4＝0，可得(x－2)2＋(y－1)2＝9.令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋1.因为θ∈[0，2π]，所以θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，则当θ＋eq\f(π,4)＝2π，即θ＝eq\f(7π,4)时，x－y取得最大值3eq\r(2)＋1.方法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9.设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝eq\f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2).4．(2023·威海一模)在平面直角坐标系中，过A(－2，4)，B(2，6)，C(－1，－3)，D(2，－4)四点的圆的方程为__x2＋y2－4x－2y－20＝0__．【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，C，D的坐标分别代入可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20－2D＋4E＋F＝0，,10－D－3E＋F＝0，,20＋2D－4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－20，))则可得圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0，检验，B(2，6)代入方程满足．5．若动点M在圆(x－4)2＋y2＝16上移动，则M与定点A(－4，8)连线的中点P的轨迹方程为__x2＋(y－4)2＝4___．【解析】设M(x0，y0)，中点P(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0－4,2)＝x，,\f(y0＋8,2)＝y，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x＋4，,y0＝2y－8.))因为M(x0，y0)在圆(x－4)2＋y2＝16上，代入并整理得x2＋(y－4)2＝4.配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，\f(1,2)，\f(3,4)，1))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意知a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＝－3a2－4a＋4＞0，即(3a－2)(a＋2)＜0，解得－2＜a＜eq\f(2,3)，故符合题意的a的取值有3个，表示圆的个数为3.2．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是(D)A．x2＋(y－2)2＝100 B．(x－2)2＋y2＝100C．x2＋(y－2)2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10【解析】设圆C的圆心为C(a，0)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2.由题知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((－1－a)2＋12＝r2，,(1－a)2＋32＝r2，))解得a＝2，r2＝10，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.3．若点C到A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为eq\r(3)，则点C到直线x－2y＋8＝0的最小距离为(A)A．2eq\r(5)－eq\r(3) B．eq\r(5)－eq\r(3)C．2eq\r(5) D．eq\r(3)【解析】设C(x，y)，由A(－1，0)，B(1，0)，eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\r(3)，可得eq\f(\r((x＋1)2＋y2),\r((x－1)2＋y2))＝eq\r(3)，即(x－2)2＋y2＝3，所以点C的轨迹为以M(2，0)为圆心，半径r＝eq\r(3)的圆．又点M到直线x－2y＋8＝0的距离d＝eq\f(|2－0＋8|,\r(12＋(－2)2))＝2eq\r(5)，所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2eq\r(5)－eq\r(3).4．(2023·唐山一模)已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为(B)A．8eq\r(2) B．12C．6eq\r(5) D．9eq\r(2)【解析】由题意知，M(4，0)，圆M的半径为4，设AB的中点为D(x，y)，则ND⊥MD，即eq\o(ND,\s\up6(→))·eq\o(MD,\s\up6(→))＝0，又eq\o(ND,\s\up6(→))＝(x－2，y)，eq\o(MD,\s\up6(→))＝(x－4，y)，所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，表示圆心E(3，0)，半径为1的圆，所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝eq\r(32＋42)＋1＝6.因为|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为12.二、多项选择题5．(2023·潍坊调研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(ABD)A．圆M的圆心坐标为(1，3)B．圆M的半径为eq\r(5)C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2，3)在圆M内【解析】设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为eq\r(5).因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内．6．已知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，且交圆O于P，Q两点，M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是(ABD)A．点M的轨迹是圆B．|PQ|的最小值为6C．若圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，则l的方程是4x－3y＋10＝0D．使|PQ|为整数的直线l共有16条【解析】因为直线l恒过点N(2，6)，所以OM⊥MN，点M在以ON为直径的圆上，则点M的轨迹是圆，故A正确；易知圆心O到直线l的距离最大值|ON|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)，故|PQ|的最小值为2eq\r(49－40)＝6，最大值为2×7＝14，故B正确；由题知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，因为圆心为O(0，0)，半径为r＝7，所以圆心到直线l的距离d＝2，当直线l的斜率存在时，设方程为y－6＝k(x－2)，即kx－y＋6－2k＝0，则d＝eq\f(|6－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(4,3)，所以l的方程是4x－3y＋10＝0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，此时d＝|0－2|＝2，满足题意，故C错误；由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使|PQ|为整数的直线l有2＋2×(13－7＋1)＝16(条)，故D正确．三、填空题7．(2023·连云港期初)已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程是__(x－4)2＋(y－1)2＝26__．【解析】由题得圆心的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋3,2)，\f(6－4,2)))，即(4，1)，圆的半径为eq\f(1,2)eq\r((5－3)2＋(6＋4)2)＝eq\r(26)，故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.8．(2023·茂名一模)过四点(－1，1)，(1，－1)，(2，2)，(3，1)中的三点的一个圆的方程为__(x－1)2＋(y－1)2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))\s\up12(2)＝\f(5,2)或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,4)))\s\up12(2)＝\f(25,8)或(x－1)2＋y2＝5))__(写出一个即可)．【解析】若圆过(－1，1)，(1，－1)，(3，1)时，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－D＋E＋F＝0，,2＋D－E＋F＝0，,10＋3D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－2，,F＝－2，))故圆的方程是x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4.同理可得：过(1，－1)，(2，2)，(3，1)的圆的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2)；过(－1，1)，(1，－1)，(2，2)的圆的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,8)；过(－1，1)，(2，2)，(3，1)的圆的方程是(x－1)2＋y2＝5.9．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0