2022-2023学年山东省青岛中学高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年山东省青岛中学高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知函数f（x）＝cos2x，则f（x）的导数f′（x）＝（）A．sin2x B．2sin2x C．﹣sin2x D．﹣2sin2x2．（5分）若C20x＝C203x﹣4，则实数x的值为（）A．2 B．4 C．6 D．2或63．（5分）如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D（XA．23 B．43 C．24．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，am+n＝aman，则S5＝（）A．64 B．62 C．32 D．305．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．210 C．720 D．50406．（5分）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N（50，9），且X落在[47，56]内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（）（附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973）A．270 B．2275 C．2410 D．45507．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为P（X＝n）=an+n+1（n＝1，2，……，15），其中a为常数，则A．12 B．23 C．348．（5分）甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（）A．735种 B．686种 C．540种 D．465种二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）下列命题正确的是（）A．回归直线ŷ=b̂B．在回归直线方程ŷ=0.5x+2中，变量ŷ与C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强 D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好（多选）10．（5分）在某次数学测试中，学生的成绩X～N（100，σ2）（σ＞0），则（）A．P（X＞100）＝0.5 B．若σ越大，则P（95＜X＜105）越大 C．P（X＞80）＝P（X＜120） D．P（80＜X＜90）＝P（120＜X＜130）（多选）11．（5分）已知(1+2x)A．a2＝144 B．a0C．a1D．ai（i＝0，1，2，⋯⋯，8，9）的最大值为a6（多选）12．（5分）已知函数y＝f（x）是奇函数，对于任意的x∈(0，π2]满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0（其中f′（x）是函数fA．3f(-π6)＜f(-C．f(π4)＞-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为．14．（5分）在（a+2b+3c）5的展开式中，含a2b2c的系数为．15．（5分）某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为12，14，16．若学生甲答对了所选试题，则这道试题是B16．（5分）已知对任意x∈（1，+∞），不等式k(ekx+1)-(1x四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题满分70分，其它每道小题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到如表部分列联表：满意不满意男顾客10女顾客15（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）设数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：i=1n19．（12分）已知函数f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y+6＝0，求a；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．20．（12分）某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛．已知甲队每一局获胜的概率均为23（1）求甲、乙两队3局结束比赛的概率；（2）记比赛结束时甲队的得分为η，求η的分布列和期望．21．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中ui=1xyui=19i=19i=19i=19i=19697.900.21600.1414.1226.13﹣1.40（Ⅰ）利用样本相关系数的知识，判断y＝a+bx与y=c+dx哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果回答下列问题：（i）建立y关于x的回归方程；（ii）样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？（Ⅲ）已知该金属在距离原点x米时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W＝100（y﹣lnx）（1≤x≤100），根据（Ⅱ）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？参考公式：（1）样本相关系数r=（2）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ=b̂x+22．（12分）已知函数f（x）＝ln1x-ax2+x（（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．

2022-2023学年山东省青岛中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知函数f（x）＝cos2x，则f（x）的导数f′（x）＝（）A．sin2x B．2sin2x C．﹣sin2x D．﹣2sin2x【解答】解：f′（x）＝（cos2x）′＝﹣sin2x•（2x）′＝﹣2sin2x．故选：D．2．（5分）若C20x＝C203x﹣4，则实数x的值为（）A．2 B．4 C．6 D．2或6【解答】解：∵C20x＝C203x﹣4，∴x＝3x﹣4或x+3x﹣4＝20，解得x＝2或6，故选：D．3．（5分）如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D（XA．23 B．43 C．2【解答】解：一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，则“不成功”的概率为2则完成6次独立重复试验，符合“二项分布”，即X～B（6，13D（X）＝nP（1﹣P）=6×1故选：B．4．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，am+n＝aman，则S5＝（）A．64 B．62 C．32 D．30【解答】解：am+n＝aman，令m＝1，则an+1＝a1an＝2an，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S5故选：B．5．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．210 C．720 D．5040【解答】解：由题意可得x3的系数为C1+C故选：B．6．（5分）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N（50，9），且X落在[47，56]内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（）（附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973）A．270 B．2275 C．2410 D．4550【解答】解：由题意可知，P(47≤X≤56)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)则所抽取的零件总数为818600.8186故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为100000×1-0.9545故选：B．7．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为P（X＝n）=an+n+1（n＝1，2，……，15），其中a为常数，则A．12 B．23 C．34【解答】解：P（X＝n）=a由分布列的性质可得，P（X＝1）+P（X＝2）+…+P（X＝15）=a(2-1+3-P（X≤8）＝P（X＝1）+P（X＝2）+…+P（X＝8）=a(2故选：B．8．（5分）甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（）A．735种 B．686种 C．540种 D．465种【解答】解：因为甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，所以两人可以从B，C，D这3个景点中，选择1个，2个或3个去游玩，两人的选择方法均为：C3而丙的选择方法有：C4所以3人可组成的不同的游玩组合有：7×7×14＝686（种）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）下列命题正确的是（）A．回归直线ŷ=b̂B．在回归直线方程ŷ=0.5x+2中，变量ŷ与C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强 D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好【解答】解：对于A，回归直线ŷ=b̂x+对于B，在回归直线方程ŷ=0.5x+2中，0.5＞0，所以变量ŷ与x对于C，变量x，y的样本相关系数|r|越大，越靠近1，表示它们的线性相关性越强，C正确；对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）在某次数学测试中，学生的成绩X～N（100，σ2）（σ＞0），则（）A．P（X＞100）＝0.5 B．若σ越大，则P（95＜X＜105）越大 C．P（X＞80）＝P（X＜120） D．P（80＜X＜90）＝P（120＜X＜130）【解答】解：因为X～N（100，σ2）（σ＞0），所以P（X＞100）＝0.5，A正确；当σ＝5时，P（95＜X＜105）≈0.6827，当σ＝2.5时，P（95＜X＜105）≈0.9545，B不正确；因为80+120＝2×100，所以P（X＞80）＝P（X＜120），C正确；根据正态曲线的对称性P（80＜X＜90）＝P（110＜X＜120），D不正确．故选：AC．（多选）11．（5分）已知(1+2x)A．a2＝144 B．a0C．a1D．ai（i＝0，1，2，⋯⋯，8，9）的最大值为a6【解答】解：A选项，根据二项展开式的通项，a2=CB选项，取x＝1代入等式，得到39＝a0+a1+a2+⋯⋯+a8+a9，B选项正确；C选项，取x＝﹣1代入等式，得到﹣1＝a0﹣a1+a2﹣⋯⋯+a8﹣a9，结合B选项a0两式相加得a0+aD选项，根据二项展开式的通项，ai=C9i解得173≤i≤203，又i∈N，故i＝6，即a故选：ABD．（多选）12．（5分）已知函数y＝f（x）是奇函数，对于任意的x∈(0，π2]满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0（其中f′（x）是函数fA．3f(-π6)＜f(-C．f(π4)＞-【解答】解：构造函数h(x)=f(x)sinx，则由已知有h（x）在(0，π又因为f（x）为奇函数，故h（x）为偶函数，故h（x）在[-π所以h(π6)＜h(π3由奇函数的性质可知，f(-π3)＜h(π4)＞h(又因为函数f（x）为奇函数，故f(π6)=-f(-π6h(-π2)＞h(-π4)，化简得故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为9．【解答】解：由等高堆积条形图可得喜欢徒步的男生有500×0.6＝300人，喜欢徒步的女生有450×0.4＝180人．故喜欢徒步的总人数为300+180＝480人．按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为180480故答案为：9．14．（5分）在（a+2b+3c）5的展开式中，含a2b2c的系数为360．【解答】解：把（a+2b+3c）5的展开式看成是5个因式（a+2b+3c）的乘积形式，展开式中，含a2b2c项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取a，有C5第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取2b，有C3第三步，把剩余的1个因式中都取3c，有C1根据分步相乘原理，得含a2b2c项的系数是C5故答案为：360．15．（5分）某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为12，14，16．若学生甲答对了所选试题，则这道试题是B类试题的概率为【解答】解：设学生选1道A类试题为事件A，学生选1道B类试题为事件B，学生选1道C类试题为事件C，设学生答对试题为事件D，则P(A)=44+8+12=16P(D|A)=12，P(D|B)=1所以P(D)=1所以P(B|D)=P(BD)故答案为：1316．（5分）已知对任意x∈（1，+∞），不等式k(ekx+1)-(1x+1)lnx＞0恒成立，则正数【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞），不等式k⋅(e所以对任意的x∈（1，+∞），不等式kx（ekx+1）＞（1+x）lnx恒成立，令f（x）＝（1+x）lnx，则有f（ekx）＞f（x）对x∈（1，+∞）恒成立，又f′（x）＝lnx+1+x令h（x）＝lnx+1+x则h′（x）=1所以当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝2，即f′（x）＞2，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以ekx＞x对x∈（1，+∞）上恒成立，即k＞lnxx对于x令g（x）=lnxx，则g′（x）所以当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当1＜x＜e时，g′（x）＞0，则g（x）单调递增，所以g（x）的最大值为g（e）=1则k＞1所以正实数k的取值范围为（1e故答案为：（1e四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题满分70分，其它每道小题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到如表部分列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3515（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）由题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人，所以男顾客对该商场服务满意的概率估计为4050因为50位女顾客对商场服务满意的有35人，所以女顾客对该商场服务满意的概率估计为3550（2）由题意可得列联表为满意不满意合计男顾客401050女顾客351550合计7525100所以K2所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．18．（12分）设数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：i=1n【解答】（1）解：已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n，则当n＝1时，S1＝2a1﹣1，即a1＝1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣n）﹣（2an﹣1﹣n+1）＝2an﹣2an﹣1﹣1，即an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），又a1+1＝2，即数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an即an=2n-1，（2）证明：由（1）可得：1a则i=1n故命题得证．19．（12分）已知函数f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y+6＝0，求a；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax，所以f'（x）＝6ex﹣6x﹣a，因为曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y+6＝0，所以f'（0）＝5，即6﹣a＝5，解得a＝1．（2）因为f'（x）＝6ex﹣6x﹣a，又函数f（x）在R上单调递增，所以f'（x）＝6ex﹣6x﹣a≥0恒成立，即a≤6ex﹣6x在R上恒成立，令g（x）＝6ex﹣6x，x∈R，则g'（x）＝6ex﹣6＝6（ex﹣1），所以当x＞0时g'（x）＞0，当x＜0时g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）在x＝0处取得极小值即最小值，即g（x）min＝g（0）＝6，所以a≤6，即实数a的取值范围为（﹣∞，6]．20．（12分）某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛．已知甲队每一局获胜的概率均为23（1）求甲、乙两队3局结束比赛的概率；（2）记比赛结束时甲队的得分为η，求η的分布列和期望．【解答】解：（1）根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局，所以P=2故甲、乙两队3局结束比赛的概率为13（2）根据题意可知，η的可能取值为3，5，6，7，8，则P(η=3)=1P(η=5)=CP(η=6)=2P(η=7)=CP(η=8)=C所以η的分布列为：η35678P12722782732811681则E(η)=3×121．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中ui=1xyui=19i=19i=19i=19i=19697.900.21600.1414.1226.13﹣1.40（Ⅰ）利用样本相关系数的知识，判断y＝a+bx与y=c+dx哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果回答下列问题：（i）建立y关于x的回归方程；（ii）样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？（Ⅲ）已知该金属在距离原点x米时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W＝100（y﹣lnx）（1≤x≤100），根据（Ⅱ）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？参考公式：（1）样本相关系数r=（2）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ=b̂x+【解答】解：（I）y＝a+bx的线性相关系数r1=i=1y＝c+dx的线性相关系数r2∵|r1|＜|r2|，∴y＝c+dx更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离（II）（i）β̂α̂∴ŷ=100﹣10u＝100∴y关于x的回归方程为ŷ=100（ii）当x＝20时，金属含量的预报值为ŷ=100-1020=99.5（III）W＝1000（y﹣lnx）＝1000（100-10x令f（x）＝100-10x-lnx，则f′（x当1≤x＜10时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当10＜x≤100时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）在x＝10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，故x为10时，开采成本最大．22．（12分）已知函数f（x）＝ln1x-ax2+x（（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，﹣∞），f′（x）=-1x-2a＞0，设g（x）＝﹣2ax2+x﹣1，Δ＝1﹣8a，（1）当a≥18，△≤0，g（∴f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上递减，（2）当0＜a＜18时，Δ＞0，f′（x）＝0可得x1=1-1-8a4a若f′（x）＞0可得x1＜x＜x2，f（x）为增函数，若f′（x）＜0，可得0＜x＜x1或x＞x2，f（x）为减函数，∴函数f（x）的减区间为（0，x1），（x2，+∞）；增区间为（x1，x2）；（II）由（I）当0＜a＜18，函数f（x）有两个极值点x1，x∴x1+x2=12a，x1x2f（x1）+f（x2）＝﹣lnx1﹣ax12+x1﹣lnx2﹣ax22+x2＝﹣ln（x1x2）﹣a（x12+x22）+（x1+x2）＝﹣ln（x1x2）﹣a（x1+x2）2+2ax1x2+（x1+x2）＝﹣ln12a-a×14a2+2a×12a=设h（a）＝lna+14ah′（a）=1a-1所以h（a）在（0，18h（a）＞h（18）＝ln18+1所以f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2；2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）若函数f（x）＝sinxcosx，则f′（x）＝（）A．sin2x B．﹣sin2x C．cos2x D．﹣cos2x2．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣3＜x≤0} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|0≤x＜1}3．（5分）若p：实数a使得“∃x0∈R，x02+2x0+a=0”为真命题，q：实数a使得“∀x∈[1，+∞），x2﹣A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务．调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例P（x）关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为P(x)=e-0.5+kx1+e-0.5+kxA．14万元 B．16万元 C．18万元 D．20万元5．（5分）函数f（x）＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分图象大致为（）A． B． C． D．6．（5分）已知定义在R上的奇函数f(x)=4-2x+2A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．47．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），y＝f（x+1）是偶函数，若f（x）在（0，1）上单调递增，a＝f（ln2），b=f(-e)，A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，若函数F（x）＝f2（x）﹣mf（x）+m﹣1有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．(-1e2，0)C．(1-1e2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知a＝log212，b＝log318，则（）A．a＜b B．（a﹣2）（b﹣2）＝1 C．a+b＜7 D．ab＞9（多选）10．（5分）已知函数f(x)=xA．f（x）有极大值﹣4 B．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 C．f（x）的图象关于点（1，﹣2）中心对称 D．对∀x1，x2∈（1，+∞），都有f(（多选）11．（5分）对于函数f（x），若在其定义域内存在x0使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（）A．f(x)=2x2+14 B．f（x）＝C．f（x）＝ex﹣1﹣2lnx D．f(x)=lnx-（多选）12．（5分）关于曲线f（x）＝lnx和g(x)=aA．无论a取何值，两曲线都有公切线 B．若两曲线恰有两条公切线，则a=-1C．若a＜﹣1，则两曲线只有一条公切线 D．若-1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f（x）＝．①f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；②f（x）为增函数．14．（5分）若函数f（x）＝x2﹣x+alnx在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．15．（5分）已知函数f(x)=ex+a，x≤0ln(x+3a)，x＞0，若方程f（x）＝1有两个不相等的实数根，则实数16．（5分）若f（x）是区间[a，b]上的单调函数，满足f（a）＜0，f（b）＞0，且f″（x）＞0（f″（x）为函数f′（x）的导数），则可用牛顿切线法求f（x）＝0在区间[a，b]上的根ξ的近似值：取初始值x0＝b，依次求出y＝f（x）图象在点（xk﹣1，f（xk﹣1））处的切线与x轴交点的横坐标xk（k＝1，2，3，…），当xk与ξ的误差估计值|f(xk)|m（m为|f′（x）|（x∈[a，b]）的最小值）在要求范围内时，可将相应的xk作为ξ的近似值．用上述方法求方程x3+2x﹣1＝0在区间[0，34]上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a+1}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+2x，f′（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．（1）求a，b的值；（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，g（x）＝f（x），求不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集．19．（12分）若函数f（x）＝aex+bx﹣1在x＝0处取得极小值0．（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）≥3x+m恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系y=90+2x-3（1）若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？（2）如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．22．（12分）已知函数f(x)=xlnx+1（1）求函数f（x）的零点个数；（2）若g（x）＝（x﹣1）ex﹣af（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．

2022-2023学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）若函数f（x）＝sinxcosx，则f′（x）＝（）A．sin2x B．﹣sin2x C．cos2x D．﹣cos2x【解答】解：f（x）＝sinxcosx，则f'（x）＝（sinx）'cosx+sinx（cosx）'＝cos2x﹣sin2x＝cos2x．故选：C．2．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣3＜x≤0} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|0≤x＜1}【解答】解：根据韦恩图，阴影部分表达的是集合A中不属于集合B的元素组成的集合，又A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，故阴影部分表示的集合为{x|﹣3＜x＜0}．故选：A．3．（5分）若p：实数a使得“∃x0∈R，x02+2x0+a=0”为真命题，q：实数a使得“∀x∈[1，+∞），x2﹣A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：对于p：∃x0∈R，x0所以Δ＝4﹣4a≥0，即a≤1．对于q：∀x∈[1，+∞），x2﹣a＞0，因为函数y＝x2﹣a在[1，+∞）上单调递增，所以当x＝1时，（x2﹣a）min＝1﹣a，则1﹣a＞0，即a＜1．所以p是q的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务．调查数据表明，科创小微企业的贷款实际还款比例P（x）关于其年收入x（单位：万元）的函数模型为P(x)=e-0.5+kx1+e-0.5+kxA．14万元 B．16万元 C．18万元 D．20万元【解答】解：由题意可知P(10)=e∴e﹣0.5+10k＝1，得k＝0.05，∴P(x)=e令P(x)=e得5e﹣0.5+0.05x＝3（1+e﹣0.5+0.05x），得e-0.5+0.05x取对数得-0.5+0.05x=ln得x=ln3-ln2+0.5故选：C．5．（5分）函数f（x）＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：由|x-1|＞0|x+1|＞0，得x所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），关于原点对称，又f（﹣x）＝ln|﹣x﹣1|﹣ln|﹣x+1|＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项；当x=12时，函数当x=-12时，函数f(x)=ln3故选：A．6．（5分）已知定义在R上的奇函数f(x)=4-2x+2A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由于log24由于f（x）为奇函数，所以f(logf(log所以g(logf(g(log故选：C．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），y＝f（x+1）是偶函数，若f（x）在（0，1）上单调递增，a＝f（ln2），b=f(-e)，A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：因为在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期为2，则b=f(-e)=f(2-e又因为2-e1＞ln2＞lne=所以0＜2-e又因为f（x）在（0，1）上单调递增，于是f(2-e所以b＜c＜a．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，若函数F（x）＝f2（x）﹣mf（x）+m﹣1有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．(-1e2，0)C．(1-1e2【解答】解：函数f（x）＝（x+1）ex的定义域为R，求导得f′（x）＝（x+2）ex，当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，f(x)min=f(-2)=-1e2，且由F（x）＝0，得[f（x）﹣1][f（x）﹣m+1]＝0，即f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由f（x）＝1，得x＝0，于是函数F（x）有3个不同零点，当且仅当方程f（x）＝m﹣1有2个不同的解，即直线y＝m﹣1与y＝f（x）图象有2个公共点，在同一坐标系内作出直线y＝m﹣1与y＝f（x）的图象，如图，观察图象知，当-1e2＜m-1＜0，即1-1e2＜m＜1时，直线y＝所以实数m的取值范围为(1-1故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知a＝log212，b＝log318，则（）A．a＜b B．（a﹣2）（b﹣2）＝1 C．a+b＜7 D．ab＞9【解答】解：对于A，因为a＝log212＞log28＝3，b＝log318＜log327＝3，所以a＞b，故A错误；对于B，因为a＝log212＝log23+log24＝log23+2，即a﹣2＝log23，b＝log318＝log32+log39＝log32+2，即b﹣2＝log32，所以（a﹣2）（b﹣2）＝log23×log32＝1，故B正确；对于C，因为a＝log212＜log216＝4，由A选项知，b＜3，所以a+b＜7，故C正确；对于D，由B选项知，a＝log23+2，b＝log32+2，因为log23≠log32，且log23＞log21＝0，log32＞log31＝0，所以ab=(log即ab＞9，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=xA．f（x）有极大值﹣4 B．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 C．f（x）的图象关于点（1，﹣2）中心对称 D．对∀x1，x2∈（1，+∞），都有f(【解答】解：对于A：f（x）=x21-x的定义域为{xf′（x）=2x⋅(1-x)-(-1)⋅令f′（x）＝0得x＝0或2，所以在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，2）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝2时，f（x）极大值＝f（2）＝﹣4，故A正确；对于B：由上可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故B错误；对于C：f（1﹣x）+f（1+x）=(1-x所以f（x）关于点（1，﹣2）对称，故C正确；对于D：由（1）知f′（x）=-所以f″（x）=(-2x+2)(1-x当x＞1时，f″（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上向下凸，所以对∀x1，x2∈（1，+∞），都有f(x1+故选：ACD．（多选）11．（5分）对于函数f（x），若在其定义域内存在x0使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有（）A．f(x)=2x2+14 B．f（x）＝C．f（x）＝ex﹣1﹣2lnx D．f(x)=lnx-【解答】解：A：f（x）定义域为R，f(x)=2x2+14=x，则B：f（x）定义域为R，f（x）＝ex﹣3x＝x，记g（x）＝ex﹣4x，则g（x）的图象是连续不断的曲线，g（0）＝1＞0，g（1）＝e﹣4＜0，根据零点存在性定理可知g（x）在（0，1）存在零点，故B正确，C：f（x）定义域为（0，+∞），f（x）＝ex﹣1﹣2lnx＝x，由于f（1）＝e0﹣0＝1，所以x＝1是f（x）的一个不动点，故C正确，D：f（x）的定义域为（0，+∞），f(x)=lnx-2x=x，令F(x)=lnx-故当x＞2时，f′（x）＜0，F（x）单调递减，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，F（x）单调递增，故当x＝2时，F（x）取极大值也是最大值，故F（x）≤F（2）＝ln2﹣3＜0，故f(x)=lnx-2x=x故选：BC．（多选）12．（5分）关于曲线f（x）＝lnx和g(x)=aA．无论a取何值，两曲线都有公切线 B．若两曲线恰有两条公切线，则a=-1C．若a＜﹣1，则两曲线只有一条公切线 D．若-1【解答】解：不妨设曲线f（x）＝lnx和g(x)=ax(a≠0)的公切线分别与两曲线相切于（m，lnm）（m因为f′(x)=1x，所以f′(m)=1m，此时公切线的方程为y-lnm=1即y=1也可以为y-a即y=-a所以1m整理得ln(-n所以lnn当a＞0时，﹣a＜0，此时上述式子无意义，则两曲线没有公切线，故选项A错误；不妨设F(n)=lnn此时F(n)=2lnn-2a可得F′(n)=2当0＜n＜﹣a时，F′（n）＜0；当n＞﹣a时，F′（n）＞0，所以函数F（n）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，则F（n）min＝F（﹣a）＝2ln（﹣a）+2﹣ln（﹣a）﹣1＝ln（﹣a）+1，当F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＜0，即-1e＜a＜0时，F此时方程lnn2-当F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝0，即a=-1e时，F（此时方程lnn2-当F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＞0，即a＜-1e时，F（此时方程lnn2-不妨设F(n)=lnn此时F(n)=2ln(-n)-2a得到F′(n)=2所以函数F（n）在（﹣∞，0）上单调递减，当n→﹣∞时，2ln（﹣n）→+∞，-2a所以F（n）→+∞，当n→0时，2ln（﹣n）→﹣∞，-2a所以F（n）→﹣∞，易知函数F（n）在（﹣∞，0）上一定存在n0使得F（n0）＝0，即方程lnn2-综上所述，当a=-1e时，有两条公切线，故选项当a＜-1又-1＜-1所以当a＜﹣1时，只有一条公切线，故选项C正确；当-1因为-1所以当-1e2故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出一个同时具有下列性质的函数f（x）＝log2x．①f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；②f（x）为增函数．【解答】解：取f（x）＝log2x，该函数的定义域为（0，+∞），对任意的x1、x2∈（0，+∞），f（x1x2）＝log2（x1x2）＝log2x1+log2x2＝f（x1）+f（x2），即f（x）＝log2x满足①；又因为函数f（x）＝log2x为定义域（0，+∞）上的增函数，即f（x）＝log2x满足②．故函数f（x）＝log2x满足条件．故答案为：log2x（形如f（x）＝logax（a＞1）都可以，答案不唯一）．14．（5分）若函数f（x）＝x2﹣x+alnx在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣x+alnx，x＞1，所以f′(x)=2x-1+a又函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f′(x)=2x2-x+a即a≥﹣2x2+x在x∈（1，+∞）上恒成立，令g（x）＝﹣2x2+x，对称轴为直线x=1所以函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝﹣1，所以a≥﹣1，即实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．15．（5分）已知函数f(x)=ex+a，x≤0ln(x+3a)，x＞0，若方程f（x）＝1有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为【解答】解：当x≤0时，0＜ex≤1，则a＜f（x）≤1+a，若a＞0，当x＞0时，f（x）＝ln（x+3a）＞ln3a，因为方程f（x）＝1有两个不相等的实数根，如图，所以a＞0a＜1≤1+aln3a＜1，即若a≤0，当x＞0时，f（x）＝ln（x+3a），此时方程f（x）＝1有1个解，如图，当x≤0时，方程f（x）＝1有1个解需满足a≤0a＜1≤1+a，即a综上所述，实数a的取值范围为[0，e故答案为：[0，e16．（5分）若f（x）是区间[a，b]上的单调函数，满足f（a）＜0，f（b）＞0，且f″（x）＞0（f″（x）为函数f′（x）的导数），则可用牛顿切线法求f（x）＝0在区间[a，b]上的根ξ的近似值：取初始值x0＝b，依次求出y＝f（x）图象在点（xk﹣1，f（xk﹣1））处的切线与x轴交点的横坐标xk（k＝1，2，3，…），当xk与ξ的误差估计值|f(xk)|m（m为|f′（x）|（x∈[a，b]）的最小值）在要求范围内时，可将相应的xk作为ξ的近似值．用上述方法求方程x3+2x﹣1＝0在区间[0，34]上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为2，相应的【解答】解：设f（x）＝x3+2x﹣1，则f′（x）＝3x2+2，f″（x）＝6x，当x∈(0，3故可用牛顿切线法求f（x）＝0在区间[a，b]上的根ξ的近似值．由于|f′（x）|＝3x2+2在x∈[0，3所以|f′（x）|≥2，所以|f′（x）|的最小值为2，即m＝2，y＝f（x）图象在点（xk﹣1，f（xk﹣1））处的切线方程为：y=(3x化简得y=(3x令y＝0，则xk由于x0所以x1x2所以f(x1)=f(f(x2)=f(故x2作为ξ的近似值，故答案为：2；511四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a+1}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，A＝{x|﹣2＜x＜3}，而B＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，所以A∩B＝{x|﹣2＜x≤2}．（2）因为A∪B＝B，所以A⊆B，当A＝∅时，a﹣3≥2a+1，即a≤﹣4，此时满足A⊆B；当A≠∅时，要使A⊆B成立，则需满足a-3＜2a+1a-3≥-52a+1≤2，解得综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤﹣4或-2≤a≤118．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+2x，f′（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．（1）求a，b的值；（2）若g（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，g（x）＝f（x），求不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax3+bx2+2x，所以f′（x）＝3ax2+2bx+2，又f′（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），所以1和2是方程3ax2+2bx+2＝0的两个根，且a＞0，所以1+2=-2b解得a=13，（2）由（1）知，f(x)=1由题意，当x≤0时，g(x)=f(x)=1则g′（x）＝x2﹣3x+2＞0，所以函数g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，又g（x）是定义在R上的奇函数，g（0）＝0，所以函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以函数g（x）在R上单调递增．由g（2x﹣3）+g（x）＞0，得g（2x﹣3）＞﹣g（x）＝g（﹣x），所以2x﹣3＞﹣x，即x＞1，所以不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集为（1，+∞）．19．（12分）若函数f（x）＝aex+bx﹣1在x＝0处取得极小值0．（1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）≥3x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＝aex+bx﹣1，则f′（x）＝aex+b，因为函数f（x）在x＝0处取得极小值0，则f(0)=a-1=0f′(0)=a+b=0解得a=1b=-1此时f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1，由f′（x）＜0可得x＜0，由f′（x）＞0可得x＞0，所以函数f（x）的减区