2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合A＝{x|﹣6＜x＜0}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则A∪B＝（）A．（﹣6，2] B．[﹣5，0） C．[﹣2，0） D．（﹣5，2]2．（5分）已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为L=10t，则在t＝40minA．2mm/min B．1mm/min C．12mm/min 3．（5分）若P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，其中n＜m，则P（n≤X≤m）＝（）A．a+b B．1﹣a﹣b C．a+b﹣1 D．1﹣ab4．（5分）函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的图象大致是（）A． B． C． D．5．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x（单位：吨）与所需某种原料y（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：x/吨3467y/吨2.534m根据表格中的数据，得出y关于x的经验回归方程为ŷ=0.7x+a．据此计算出样本点（4，3）处的残差为﹣0.15，则表格中A．5.9 B．5.5 C．4.5 D．3.36．（5分）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于1112A．3件 B．4件 C．5件 D．6件7．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x2，在区间（0，2）上任取两个不相等的实数x1，x2，若不等式f(x1)-f(A．[﹣8，+∞） B．（﹣∞，﹣8] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]8．（5分）已知函数f（x）＝x2+3，若存在区间[a，b]⫋（0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则实数k的取值范围为（）A．（0，3） B．[2，+∞） C．（2，3] D．（2，3）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A．a0＝1 B．a2＝a3 C．a1+a2+…+a5＝31 D．a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5＝80（多选）10．（5分）已知a+2b＝ab（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为2 B．a+b的最小值为3+22C．1a+D．4a2（多选）11．（5分）从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件A1，“第一次摸出的是蓝球”为事件B1，“第二次摸出的是红球”为事件A2，“第二次摸出的是蓝球”为事件B2．则下列说法正确的是（）A．P(AB．P(BC．P（B2|A1）+P（A2|B1）＝1 D．P(（多选）12．（5分）记函数f（x）＝x3﹣sinx的图象为Γ，下列选项中正确的结论有（）A．函数f（x）的极大值和极小值均有且只有一个 B．有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点 C．不论实数k为何值，方程f（x）＝k（x+1）一定存在实数根 D．Γ上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）（x-1x）614．（5分）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2，⋯，1000）人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为．15．（5分）不等式(12)16．（5分）将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有种不同排法；若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有种不同排法．（用数字作答）四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|log2（x+1）＜1}，B＝{x||x﹣b|＜a}，且B为非空集合．（1）当b＝2时，A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，求实数b的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＞0的解集．19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其箱产量如下表所示．养殖法箱产量箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法3020新养殖法1535（1）根据小概率α＝0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．附：P（χ2≥7.897）＝0.005，χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+20．（12分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．（1）若函数f（x）在x＝2处有极大值，求实数c的值；（2）若不等式f（x）≤8对任意x∈[0，2]恒成立，求实数c的取值范围．21．（12分）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为23（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ2）．已知μ＝74，σ＝7，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．22．（12分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝lnx．（1）若直线y＝kx与函数y＝g（x）的图象相切，求实数k的值；（2）若不等式f（x）﹣g（x）＞ax+1对定义域内任意x都成立，求实数a的取值范围．

2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合A＝{x|﹣6＜x＜0}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则A∪B＝（）A．（﹣6，2] B．[﹣5，0） C．[﹣2，0） D．（﹣5，2]【解答】解：B＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，则A∪B＝{x|﹣6＜x＜0}∪{x|﹣5≤x≤2}＝{x|﹣6＜x≤2}．故选：A．2．（5分）已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为L=10t，则在t＝40minA．2mm/min B．1mm/min C．12mm/min 【解答】解：∵L′=1210t∴在t＝40min时的瞬时降雨强度为14故选：D．3．（5分）若P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，其中n＜m，则P（n≤X≤m）＝（）A．a+b B．1﹣a﹣b C．a+b﹣1 D．1﹣ab【解答】解：因为P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，n＜m，所以P（n≤X≤m）＝P（X≤m）﹣P（X＜n）＝P（X≤m）﹣（1﹣P（X≥n））＝a﹣（1﹣b）＝a+b﹣1．故选：C．4．（5分）函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），函数是偶函数，排除选项A、D．x→+∞时，f（x）→+∞的速度更快，排除C．故选：B．5．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x（单位：吨）与所需某种原料y（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：x/吨3467y/吨2.534m根据表格中的数据，得出y关于x的经验回归方程为ŷ=0.7x+a．据此计算出样本点（4，3）处的残差为﹣0.15，则表格中A．5.9 B．5.5 C．4.5 D．3.3【解答】解：根据样本（4，3）处的残差为﹣0.15，即3﹣（0.7×4+a）＝﹣0.15，可得a＝0.35，即回归直线方程为ŷ又由样本数据的平均数为x=得0.7×5+0.35=2.5+3+4+m4，解得故选：A．6．（5分）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于1112A．3件 B．4件 C．5件 D．6件【解答】解：设该批产品共有n件，n＞5，n∈N*，从中任取3件产品，均不是一等品的概率为C5则至少有1件一等品的概率为1-C由题意1-C53Cn3≥1112则该批产品中一等品至少有10﹣5＝5件．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x2，在区间（0，2）上任取两个不相等的实数x1，x2，若不等式f(x1)-f(A．[﹣8，+∞） B．（﹣∞，﹣8] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]【解答】解：由f(x1)-f(x2所以f′(x)=ax+2x≥0在（0，2）上恒成立，即a≥﹣2故a≥（﹣2x2）max，所以a≥0．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝x2+3，若存在区间[a，b]⫋（0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则实数k的取值范围为（）A．（0，3） B．[2，+∞） C．（2，3] D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）＝x2+3开口向上且对称轴为x＝0，∴f（x）＝x2+3在（0，+∞）上单调递增，∵存在区间[a，b]⫋（0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则有a2+3=k(a+1)b2+3=k(b+1)，即方程x2∴(-k)2-4(3-k)＞0∴k的取值范围为（2，3）．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A．a0＝1 B．a2＝a3 C．a1+a2+…+a5＝31 D．a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5＝80【解答】解：∵x5＝[1+（x﹣1）]5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，∴令x＝1，可得a0＝1，故A正确．再根据a2=C52，a3=C53，可得a2在所给的等式中，令x＝2，可得1+a1+a2+…+a5＝32，∴a1+a2+…+a5＝31，故C正确．在所给的等式中，两边同时对x求导数，可得5x4＝a1+2a2（x﹣1）+…+5a5（x﹣1）4，再令x＝0，可得0＝a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（5分）已知a+2b＝ab（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为2 B．a+b的最小值为3+22C．1a+D．4a2【解答】解：对于A，由a+2b＝ab（a＞0，b＞0）得2a+1b=1当且仅当a＝4，b＝2取等号，故A错误；对于B，a+b=(a+b)(2当且仅当2ba=ab，即对于C，∵a+2b＝ab（a＞0，b＞0），∴a=2b∴1a+1对于D，∵a+2b＝ab（a＞0，b＞0），∴a=2b∴4a∵b＞1，∴0＜1b＜1，则当1b=12，即b故选：BD．（多选）11．（5分）从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件A1，“第一次摸出的是蓝球”为事件B1，“第二次摸出的是红球”为事件A2，“第二次摸出的是蓝球”为事件B2．则下列说法正确的是（）A．P(AB．P(BC．P（B2|A1）+P（A2|B1）＝1 D．P(【解答】解：由题意P(A事件A2有两种情况，①第一次摸出红球，第二次摸出红球；②第一次摸出蓝球，第二次摸出红球，则P(A2)=P(B1B∵P(B2|∴P(B2|∵P(A2|故选：AD．（多选）12．（5分）记函数f（x）＝x3﹣sinx的图象为Γ，下列选项中正确的结论有（）A．函数f（x）的极大值和极小值均有且只有一个 B．有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点 C．不论实数k为何值，方程f（x）＝k（x+1）一定存在实数根 D．Γ上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限【解答】解：由f（x）＝x3﹣sinx，则f′（x）＝3x2﹣cosx，当x∈[0，1]时，y＝3x2，y＝﹣cosx均为单调递增函数，所以f′（x）在x∈[0，1]单调递增，由于f′（0）＝﹣1＜0，f′（1）＝3﹣cos1＞0，故存在唯一的实数x0∈（0，1），使得f′（x0）＝0，而当x∈（0，x0），f′（x）＜0，x∈（x0，1），f′（x）＞0，又当x＞1，f′（x）＝3x2﹣cosx＞3x2﹣1＞0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，故当x＝x0时，f（x）取极小值，又f（﹣x）＝﹣x3+sinx＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，由对称性可知当x＝﹣x0时，f（x）取极大值，故A正确，根据f（x）的单调性和奇偶性，作出f（x）的大致图象如下：故经过极值点且与x轴平行的直线，及在极值点附近与曲线相切，与曲线另一侧相交的直线均与f（x）点图象有两个交点，故B错误，由于当x趋于+∞时f（x）趋于+∞，且f（x）为奇函数，直线y＝k（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（﹣1）＝﹣1+sin1＜0，所以y＝k（x+1）与f（x）的图象恒有交点，故f（x）＝k（x+1）恒有根，故C正确，对于D，任意经过原点且与f（x）相交的直线OA，过弦OA中点作垂线交于f（x）于点B，则三角形AOB即为等腰三角形，这样的三角形有无数多个．故D错误．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）（x-1x）6【解答】解：∵Tr+1＝（﹣1）r•C6∴由6﹣3r＝0得r＝2，从而得常数项C6r＝15，故答案为：15．14．（5分）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2，⋯，1000）人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为800．【解答】解：该新药针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2，⋯，1000）人的概率记为Pn，则PnPn+1≤Pn且Pn﹣1≤Pn，C1000可得0.21000-n≥0.8又n＝0，1，2，⋯，1000，则n＝800则当Pn取最大值时，n的值为800．故答案为：800．15．（5分）不等式(12)【解答】解：作出y=(12x＞1时，y=(12)x-1x∈（1，2）时，y=(12)x-1x∈（2，+∞）时，y=(12)x-1由图可知，当(12)x则不等式(1故答案为：（1，2）．16．（5分）将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有70种不同排法；若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有25种不同排法．（用数字作答）【解答】解：对于第一空：在8个位置中选出4个，安排4个“0”，剩下4个位置安排4个“1”即可，则有C8对于第二空：若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则第1个数必须为0，若第2个数为“0”，则在后面6个位置中选2个安排“0”，有C6若第2个数为“1”，则第三个数必为“0”，在后面5个位置中选2个安排“0”，有C5故共有15+10＝25个排列．故答案为：70，25．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|log2（x+1）＜1}，B＝{x||x﹣b|＜a}，且B为非空集合．（1）当b＝2时，A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：A＝{x|log2（x+1）＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B为非空集合，则B＝{x||x﹣b|＜a}＝{x|b﹣a＜x＜a+b}，a＞0，当b＝2时，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，因为A∩B＝∅，所以2+a≤﹣1或2﹣a≥1，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围（0，1]．（2）若“a＝1”，则B＝{x|b﹣1＜x＜1+b}，“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则{x|﹣1＜x＜1}∩{x|b﹣1＜x＜1+b}≠∅，所以﹣1＜b﹣1＜1或﹣1＜b+1＜1或b-1=-1b+1=1解得﹣2＜b＜0或0＜b＜2或b＝0，即﹣2＜b＜2，所以实数b的取值范围（﹣2，2）．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＞0的解集．【解答】（1）解：f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝4﹣x﹣2﹣x+1，所以，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣4﹣x+2﹣x+1．（2）当x＝0时，f（0）＝0．当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1＝2x（2x﹣2）＞0，可得2x＜0或2x＞2，解得x＞1；当x＜0时，f（x）＝﹣4﹣x+2﹣x+1＝2﹣x（2﹣2﹣x）＞0，可得0＜2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜0．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其箱产量如下表所示．养殖法箱产量箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法3020新养殖法1535（1）根据小概率α＝0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．附：P（χ2≥7.897）＝0.005，χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+【解答】解：（1）零假设H0：箱产量与养殖方法无关，根据列联表数据可得：χ2所以依据小概率值α＝0.005的独立性检验，H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关．（2）根据题意可知X＝0，1，2．又P(X=0)=30P(X=1)=30P(X=2)=20所以X的分布列为：X012P95027501450所以E(X)=0×920．（12分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．（1）若函数f（x）在x＝2处有极大值，求实数c的值；（2）若不等式f（x）≤8对任意x∈[0，2]恒成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）f′(x)=3x当f′（x）＝0，即x=c3或x＝c时，函数f（由题意，函数f（x）在x＝2处有极大值，所以c＞0，所以，x∈(-∞，c3)时，f′（x）＞0，f（xx∈(c3，c)时，f′（x）＜0，f（xx∈（c，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（c，+∞）上单调递增；所以当x=c3时，f（x）取得极大值，此时c3（2）若c≤0，x∈[0，2]时，f′（x）＞0，f（x）在区间[0，2]上单调递增，f(x)max=f(2)=2(2-c所以c＝0符合题意；若c3≥2即c≥6，由（1）可知，f（所以f(x)max=f(2)=2(2-c所以c≥6，不合题意；若c3＜2即0＜c＜6，由（1）可知，f（x）在区间[0，2]上的最大值为所以只需f(c3)≤8f(2)≤8，即c3综上所述：0≤c≤332，即实数c的取值范围是[21．（12分）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为23（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ2）．已知μ＝74，σ＝7，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【解答】解：（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件A，“甲以4：1或4：2或4：3获胜”分别记为事件A1，A2，A3，“甲前3局比赛均获胜”为事件B．则P(AP(AP(AP(A)=P(AP(AB)=(|f（x）﹣f（y）|⩽M|x﹣y|k．所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率1386（2）设该校高二年级学生体能检测的成绩为X，则X∼N（74，72）．P（60＜X≤88）＝0.9545，所以P(X＜60)=P(X＞88)=1所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为1000×0.02275≈23人，而23100022．（12分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝lnx．（1）若直线y＝kx与函数y＝g（x）的图象相切，求实数k的值；（2）若不等式f（x）﹣g（x）＞ax+1对定义域内任意x都成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设直线y＝kx与函数y＝g（x）的图象相切于点（x0，lnx0），则k=g′(x所以lnx所以k=1（2）f（x）﹣g（x）＞ax+1在定义域（0，+∞）上恒成立，即xex﹣lnx＞ax+1，即a＜e令h(x)=ex-令t（x）＝x2ex+lnx，则t′(x)=2xe则t（x）在（0，+∞）上单调递增，又t（1）＝e＞0，t(1所以存在唯一实数x0∈(1e，1)，使得t（且当x∈（0，x0）时，t（x）＜0，所以h′(x)=t(x)x2＜0，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＞0，所以h′(x)=t(x)x2＞0，所以h(x)由t(x0)=即f(x因为x∈（0，+∞）时，f′（x）＝（x+1）ex＞0，所以f（x）＝xex在（0，+∞）上单调递增，所以x0所以h(x)所以a＜1，即实数a的取值范围（﹣∞，1）．2022-2023学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝11，S12＝186，则a8＝（）A．18 B．20 C．21 D．222．（5分）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15A．150 B．200 C．300 D．4003．（5分）某快餐店并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．56种4．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，|PA|⋅|PB|=A．3 B．3或324 C．324 5．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为22，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球OA．16π B．323π C．8π 6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y+2）2＝4上两个动点，且|AB|＝23，若直线l：y＝﹣2x上存在唯一的一个点P，使得OC→=PAA．1+5或1-5 B．﹣1+5C．5-1或5+1 D．-57．（5分）若函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x在区间（1，2）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，38] B．（38，12） C．（18．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列中的每一项an可取1或2，且an取1和取2的概率均为12，则S11A．13 B．85256 C．3411024二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）数列{an}为等比数列，公比为q＞1，其前n项和为Sn，若a5﹣a1＝15，a2•a4＝16，则下列说法正确的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．an＝2n C．数列{log3（Sn+1）}是等比数列 D．对任意的正整数k（k为常数），数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为1的等差数列（多选）10．（5分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）A．事件A发生的概率为12B．事件A∪B发生的概率为1120C．事件A∩B发生的概率为25D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为1（多选）11．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝1，AD＝1，CD＝2，则下列结论正确的有（）A．四面体P﹣ACD是鳖臑 B．阳马P﹣ABCD的体积为23C．若BQ→=2D．D到平面PAC的距离为2（多选）12．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为233，右顶点为A，以A为圆心，bA．渐近线方程为y＝±3x B．渐近线方程为y＝±33xC．∠MAN＝60° D．∠MAN＝120°三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知随机变量满足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E(ξ)=13，则D（ξ）＝14．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．请问塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯．15．（5分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为线段AB的中点，E为侧棱SB上一动点．若SE＝EB，则异面直线CE与SA所成角的余弦值为；当△CDE的面积最小时，DE＝．16．（5分）若ax2+bx﹣lnx﹣1≥0对于x∈（0，+∞）恒成立．当a＝0时，b的最小值为；当a＞0时，ba的最小值是四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰有两双；（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双．18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn＝1，n∈N*，数列{bn}满足bn＝﹣log2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=an+2bn+2bnbn+119．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，M是SA的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大小；（Ⅲ）线段SC上是否存在一点E，使得直线SA∥平面BDE．若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．20．（12分）网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款．根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物．某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如表：xi12345yi75849398100（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01）．参考数据：4340≈附：相关系数r=i=1n(x（2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率；（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为13某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax+1．（1）若f（x）在x＝1处有极值，求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的范围．22．（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过点P（0，6）且斜率为1的直线l交双曲线C（1）求双曲线C的标准方程；（2）设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M，使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝11，S12＝186，则a8＝（）A．18 B．20 C．21 D．22【解答】解：由数列的性质得a1+a12＝a5+a8又因为S12=122×（a所以a1+a12＝a5+a8＝31因为a5＝11所以a8＝20故选：B．2．（5分）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15A．150 B．200 C．300 D．400【解答】解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，∴P（90≤X≤105）=12P（90≤∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．故选：C．3．（5分）某快餐店并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．56种【解答】解：根据题意，假设7个座位依次为1、2、3、4、5、6、7，要求两端座位不能坐人，则甲乙丙只能在2、3、4、5、6号入座，有A53＝60种排法，其中3个空位相连，有2×A33＝12种排法，则有60﹣12＝48种连续空座至多有2个的坐法；故选：C．4．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，|PA|⋅|PB|=A．3 B．3或324 C．324 【解答】解：(2x2-由6﹣3r＝0，可得r＝2，则(2x设双曲线的半焦距为c，则c＝3．设P（x0，y0），则x02aP到两条渐近线的距离分别为|PA|=|bx0-ay∴|PA|•|PB|=|bx0∴a2b2＝8，又a2+b2＝c2＝9，解得a=1b=22或∴e=ca=3故选：B．5．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为22，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球OA．16π B．323π C．8π 【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，BD，AC∩BD＝O'，连PO'，如图，易知PO'⊥平面ABCD，∴∠PAO'为侧棱PA与底面ABCD所成的角，∴∠PAO'＝45°，∴O′P=O′A=O′B=O′C=O′D=2∴顶点P，A，B，C，D在以O'为球心，2为半径的球面上，即点O与O'重合，∴球O的体积是V=4故选：B．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y+2）2＝4上两个动点，且|AB|＝23，若直线l：y＝﹣2x上存在唯一的一个点P，使得OC→=PAA．1+5或1-5 B．﹣1+5C．5-1或5+1 D．-5【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x1+x圆C：（x﹣m）2+（y+2）2＝4的圆心C（m，﹣2），半径r＝2，圆心C到AB的距离|CM|=2直线l：y＝﹣2x上存在唯一的一个点P，使得OC→设P（x，﹣2x），则（x1﹣x，y1+2x）+（x2﹣x，y2+2x）＝（m，﹣2），∴x1+x2﹣2x＝m；y1+y2+4x＝﹣2；∴x1+x22=x∴M（x+m2，﹣1﹣2∴|CM|=(x+整理，得5x2﹣（4+m）x+m∵直线l：y＝﹣2x上存在唯一的一个点P，使得OC→∴Δ＝[（4+m）]2﹣4×5×m整理，得m2﹣2m﹣4＝0，解得m＝1+5或m＝1-故选：A．7．（5分）若函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x在区间（1，2）内单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，38] B．（38，12） C．（1【解答】解：由函数f（x）＝lnx+ax2﹣2x可得f′（x）=1x+若f（x）在区间（1，2）内单调递增，则f′（x）≥0在x∈（1，2）恒成立，即a≥1x-1令g（x）=1x-12x由1x∈（1∴g（x）＜g（1）=1故a≥1即实数a的取值范围是[12故选：D．8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列中的每一项an可取1或2，且an取1和取2的概率均为12，则S11A．13 B．85256 C．3411024【解答】解：由古典概型可知，数列{an}（1≤n≤11）共有211种情况，Sn能被3整除，有以下4种情况：①{an}中有10个1，1个2，有C11②{an}中有7个1，4个2，有C11③{an}中有4个1，7个2，有C11④{an}中有1个1，10个2，有C11所以，Sn被3整除的概率为11+330+330+112故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）数列{an}为等比数列，公比为q＞1，其前n项和为Sn，若a5﹣a1＝15，a2•a4＝16，则下列说法正确的是（）A．Sn+1＝2Sn+1 B．an＝2n C．数列{log3（Sn+1）}是等比数列 D．对任意的正整数k（k为常数），数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为1的等差数列【解答】解：因为公比为q＞1，由a可得a1q4所以4q4﹣15q2﹣4＝0，解得q2＝4，所以a1=1q=2，所以an＝2n﹣1，Sn所以Sn+1＝2n+1﹣1＝2Sn+1，Sn+1＝2n，所以log3（Sn+1）＝nlog32，所以数列{log3（Sn+1）}是等差数列，对任意的正整数n，k，Sn+k﹣Sn＝2n+k﹣2n＝（2k﹣1）2n，所以数列log2（Sn+k﹣Sn）＝n+log2（2k﹣1），所以数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为1的等差数列，故正确的为AD．故选：AD．（多选）10．（5分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）A．事件A发生的概率为12B．事件A∪B发生的概率为1120C．事件A∩B发生的概率为25D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为1【解答】解：甲罐中在四个相同的小球，标号1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数n＝4×5＝20，事件A包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），共11个，∴P（A）=1120，故对于B，事件A∪B包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），共11个，∴P（B）=1120，故对于C，事件A∩B包含的基本事件有（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），共8个，∴P（C）=8对于D，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为p=1×520=故选：BC．（多选）11．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝1，AD＝1，CD＝2，则下列结论正确的有（）A．四面体P﹣ACD是鳖臑 B．阳马P﹣ABCD的体积为23C．若BQ→=2D．D到平面PAC的距离为2【解答】解：连接AC，∵△PAC中，PA=2∴△PAC不是直角三角形，∴四面体P﹣ACD不是鳖臑，∴A错；∵VP-ABCD=1∵DQ→=2设D到平面PAC的距离为d，∴S△PAC由13⋅32⋅d=13×1×22×1故选：BCD．（多选）12．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为233，右顶点为A，以A为圆心，bA．渐近线方程为y＝±3x B．渐近线方程为y＝±33xC．∠MAN＝60° D．∠MAN＝120°【解答】解：由题意可得e=ca=233，可设c＝2t，则b=c2-a2=t圆A的圆心为（3t，0），半径r为t，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±33圆心A到渐近线的距离为d=|3弦长|MN|＝2r2-d2=2可得三角形MNA为等边三角形，即有∠MAN＝60°．故选：BC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知随机变量满足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E(ξ)=13，则D（ξ）＝5【解答】解：由已知可得：P（ξ＝﹣1）＝﹣a+b，P（ξ＝0）＝b，P（ξ＝1）＝a+b，则﹣a+b+b+a+b＝1，即b=1又E（ξ）＝﹣1×（﹣a+b）+0×b+1×（a+b）=13，所以a所以ξ的分布列如下：ξ﹣101P161312所以D（ξ）=16（﹣1-13）2+13（0-13）故答案为：5914．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．请问塔顶层有3盏灯，塔底层有192盏灯．【解答】解：设从上向下的灯的数记为{an}，则数列{an}是以2为公比的等比数列且S7=a解可得，a1＝3，所以a7＝3×26＝192．故答案为：3，19215．（5分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为线段AB的中点，E为侧棱SB上一动点．若SE＝EB，则异面直线CE与SA所成角的余弦值为33；当△CDE的面积最小时，DE＝63【解答】解：∵D、E分别为AB、SB的中点，∴DE∥SA，∴∠CED或其补角为异面直线CE与SA所成的角，∵SA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥CD，∵DE=12SA＝1，CD=12AB=在Rt△CDE中，cos∠CED=DE∴异面直线CE与SA所成角的余弦值为33∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥CD，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴CD⊥AB，∵SA∩AB＝A，SA、AB⊂平面SAB，∴CD⊥平面SAB，∵DE⊂平面SAB，∴CD⊥DE，∴S△CDE=12CD•DE=要使△CDE的面积最小，则DE最小，此时DE⊥SB，在Rt△SAB中，SB=SA2+A在Rt△DEB中，DE＝BD•sin∠SBA=2故答案为：33；616．（5分）若ax2+bx﹣lnx﹣1≥0对于x∈（0，+∞）恒成立．当a＝0时，b的最小值为1；当a＞0时，ba的最小值是-1【解答】解：ax2+bx﹣lnx﹣1≥0对于x∈（0，+∞）恒成立，等价于lnx+1x≤ax+b对于x令f（x）=lnx+1x，则f′（x）令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max＝f（1）＝1，因为lnx+1x≤ax+b对于x只需y＝ax+b≥1在（0，+∞）恒成立即可，①a＝0时，y＝b≥1，故b的最小值是1，②a＞0时，令ax+b＝0，解得x=-bba取最小值时，直线y＝ax+b在x令f（x）＝0，解得：x=1e，故即ba的最小值是-故答案为：1；-1四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰有两双；（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双．【解答】解：（1）从10双鞋子中选取4双，有C10每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N=C104（2）从10双鞋子中选2双有C10（3）先选取一双有C101种选法，再从9双鞋中选取2双有每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N=C10118．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn＝1，n∈N*，数列{bn}满足bn＝﹣log2an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=an+2bn+2bnbn+1【解答】解：（1）由an+Sn＝1，n∈N*，可得a1+S1＝a1+a1＝1，解得a1=1n≥2时，an﹣1+Sn﹣1＝1，又an+Sn＝1，两式相减可得an﹣an﹣1+Sn﹣Sn﹣1＝0，即为an﹣an﹣1+an＝0，即an=12an可得an=12•（12）n﹣1＝（1数列{bn}满足bn＝﹣log2an＝﹣log2（12）n＝n（2）证明：cn=a所以Tn=12[12=12[1219．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，M是SA的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大小；（Ⅲ）线段SC上是否存在一点E，使得直线SA∥平面BDE．若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCDDA，DC⊂平面ABCD．所以SD⊥DA，SD⊥DC，又DA⊥DC．如图，以D为原点建立空间直角坐标系．由题意得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），M（1，0，1），所以DM→=(1，0，1)，SA→所以DM→⋅SA所以DM⊥SA，DM⊥AB，所以DM⊥平面SAB．解：（Ⅱ）设平面SBC的法向量为n→=（x，y，因为SC→所以SC→⋅n令x＝1，则y＝2，z＝2．于是n→因为DM⊥平面SAB，所以DM→为平面SAB又DM→所以c