2025届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第二章直线和圆的方程B卷含解析

PAGEPAGE27其次章直线和圆的方程B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线，，，若且，则的值为（）A． B． C． D．2．对于随意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A．或－1 B．－1 C．1或－1 D．14．已知实数、满意，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图像上时，距离公式变为，依据该公式可求的最小值是（）A． B．C． D．6．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（）①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过的直线与直线相交；③若，则直线经过的中点.A．0个 B．1个C．2个 D．3个.7．已知圆C：，点A(-2，0)及点B(2，)，从A点视察B点，要使视线不被圆拦住，则的取值范围是（）A． B．C． D．8．太极图的形态如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中全部正确命题的序号是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆，则下列说法正确的是（）A．直线与圆相切B．圆截y轴所得的弦长为C．点在圆外D．圆上的点到直线的最小距离为10．已知圆的方程是．则下列结论正确的是（）A．圆的圆心在同一条直线上B．方程表示的是等圆C．圆的半径与无关，是定值D．“”是“圆与轴只有一个交点”的必要不充分条件11．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发觉：平面内到两个定点A､B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，､，点满意，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）A．曲线的方程为B．在曲线上存在点D，使得C．在曲线上存在点M，使M在直线上D．在曲线上存在点N，使得12．瑞士闻名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．圆上点到直线的最大距离为B．圆上点到直线的最小距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若直线和直线没有公共点，则的值为___________.14．已知实数x，y，则的最小值是______.15．如图，已知为等腰直角三角形，，光线从点动身，到上一点，经直线反射后到上一点，经反射后回到点，则点的坐标为_______.16．有平面点集D和实数集R，若依据某对应法则f，使得D中每一点都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作.若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．（1）求边所在直线的方程；（2）边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标．18．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．（1）当m改变时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．19．已知圆M经过两点，B（2，2）且圆心M在直线上．（1）求圆M的方程；（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且，求证：直线EF经过肯定点，并求出该定点的坐标.20．△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为和.（1）求BC所在直线的方程.（2）设，直线过线段的中点M且分别交轴与轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△面积最小时直线的方程；.21．已知圆C的圆心C为（0，1），且圆C与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）圆C与x轴交于A，B两点，若一条动直线l：x＝x0交圆于M，N两点，记圆心到直线AM的距离为d．（ⅰ）当x0＝1时，求的值．（ⅱ）当﹣2＜x0＜2时，试问是否为定值，并说明理由．22．已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|．（1）求圆C的标准方程；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点．①求证：为定值，并求出这个定值；②求△BMN的面积的最大值一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线，，，若且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线，，且，所以2n=，解得，经检验成立，因为直线，，且，所以，解得，所以，故选：C2．对于随意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】依据题意，对于随意实数k，直线恒过(2，2)点，

点(2，2)和点(-2，-2)确定一条直线，其直线方程为

所以当直线与直线垂直时，d取得最大值

；

当时，

即直线不过点(－2，-2)，d无最小值，

所以d的取值范围是，选项B正确；故选：B.3．已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A．或－1 B．－1 C．1或－1 D．1【答案】C【解析】解：由题意得，圆的圆心为，半径为1，由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，可知，，所以，∴圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离，解得：，所以实数的值为1或－1.故选：C．4．已知实数、满意，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】实数、满意，即，方程表示以为圆心，半径等于的圆，而，令，可得，所以，直线与圆有公共点，所以，解得，所以，.故选：A.5．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图像上时，距离公式变为，依据该公式可求的最小值是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：，令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，依题意表示该半圆上的点到直线的距离，表示该半圆上的点到直线的距离，则表示半圆上的点到直线和的距离之和，设为，设半圆上点，，则到与的距离之和因为，所以，所以，所以，所以所以的最小值为，故选：B6．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（）①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过的直线与直线相交；③若，则直线经过的中点.A．0个 B．1个C．2个 D．3个.【答案】C【解析】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；当时，设，（），则，为直线上的两个点，明显直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个故选：C7．已知圆C：，点A(-2，0)及点B(2，)，从A点视察B点，要使视线不被圆拦住，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设过点的直线方程为，当直线与圆相切时，满意，求得，如图，设交轴于，则，，解得，要满意直线与圆相离，故故选：A8．太极图的形态如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中全部正确命题的序号是（）.A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】A【解析】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为．此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，，所以，故①正确．对于②，依据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆，则下列说法正确的是（）A．直线与圆相切B．圆截y轴所得的弦长为C．点在圆外D．圆上的点到直线的最小距离为【答案】AC【解析】因为，所以，则圆心，半径，对于A：因为圆心到直线的距离为，故A正确；对于B：圆截y轴所得的弦长为，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：因为圆心到直线的距离为，则圆上点到直线的最小距离为，故D错误.故选：AC.10．已知圆的方程是．则下列结论正确的是（）A．圆的圆心在同一条直线上B．方程表示的是等圆C．圆的半径与无关，是定值D．“”是“圆与轴只有一个交点”的必要不充分条件【答案】ABC【解析】可化为，圆的圆心为，半径．圆的半径为定值，C正确；圆心满意方程组，即，不论为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线上且为等圆，AB正确．在中，设，若圆与轴只有一个交点即该方程有两个相同的实数根，，解得：，，“”是“圆与轴只有一个交点”的充分不必要条件，D错误．故选：ABC.11．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发觉：平面内到两个定点A､B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，､，点满意，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）A．曲线的方程为B．在曲线上存在点D，使得C．在曲线上存在点M，使M在直线上D．在曲线上存在点N，使得【答案】AD【解析】设点，由，得，化简得，即，故A选项正确；对于B选项，设，由得，又，联立方程可知无解，故B选项错误；对于C选项，设，由M在直线上得，又，联立方程可知无解，故C选项错误；对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.故选：AD.12．瑞士闻名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．圆上点到直线的最大距离为B．圆上点到直线的最小距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是【答案】BD【解析】解：因为，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，由，点可得的中点为，且，所以线段的中垂线方程为：，即，因为三角形的“欧拉线”与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以圆的方程为：，因为圆心到直线的距离，A中，圆上点到直线的距离的最大值为，故A不正确：B中，圆上点到直线的距离的最小值为，故B正确；C中：令，所以，代入圆的方程，可得，整理可得，由于在圆上，所以有根，则，整理可得：，解得：，所以的最小值为1，即的最小值为1，所以C错误；D中：圆心坐标，半径为；圆的的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距，所以，即解得：，解得，所以D正确；故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若直线和直线没有公共点，则的值为___________.【答案】0或-1或0【解析】由题意得：两直线平行，所以解得或或，当时，直线为和，两直线平行，符合题意，当时，直线为和，两直线平行，符合题意，当时，直线为和，两直线重合，不符合题意，综上：的值为0或-1.故答案为：0或-114．已知实数x，y，则的最小值是______.【答案】【解析】如图所示，设点，，，，，则.因为，，所以（当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立）．所以的最小值是．故答案为：15．如图，已知为等腰直角三角形，，光线从点动身，到上一点，经直线反射后到上一点，经反射后回到点，则点的坐标为_______.【答案】【解析】解：建立如图所示的坐标系，可得，，所以直线的方程为，，设点关于直线的对称点，则有，解得，即，易得关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共线，所以直线：，即，联立，得，．故答案为：．16．有平面点集D和实数集R，若依据某对应法则f，使得D中每一点都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作.若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为___________.【答案】7【解析】设，，，，则，∵线段与y轴交点为，在线段上，∴，，∴（到时取得最小值）．故答案为：7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．（1）求边所在直线的方程；（2）边上中线的方程为，且的面积等于，求点的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用两点式求得边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A到直线的距离，依据面积以及点A在直线上列方程组，解方程组求得A点的坐标.（1）解：由、得边所在直线方程为，即，故边所在直线的方程为.（2）解：因为A到边所在直线的距离为，又，所以，所以，所以，则或，由于A在直线上，故或，解得或，所以或.18．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．（1）当m改变时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．【答案】（1）（2）的面积最小值是4，此时的直线方程为【解析】（1）由题得直线恒过的定点P，再由两点的距离公式可得所求最大值；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率，依据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．（1）直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0即为m(2y－x+3)+(2x+y+4)＝0，由可得，则已知直线恒过定点P(－1,－2)，可得Q（3，4）到直线的最大距离为|QP|2.（2）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2＝k(x+1)，可得|OA|＝|1|，|OB|＝|k－2|，则S△AOB•|OA|•|OB||(1)(k－2)|||．由k＜0，可得－k＞0，所以S△AOB[][4+()+(－k)]≥4．当且仅当k，即k＝－2时取等号．则△AOB的面积最小值是4，直线的方程为y+2＝－2(x+1)，即2x+y+4＝0．19．已知圆M经过两点，B（2，2）且圆心M在直线上．（1）求圆M的方程；（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且，求证：直线EF经过肯定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）证明见解析，定点(-4，0)【解析】(1)设出圆的方程，依据给定条件列出方程组，求解即可得圆的方程.(2)设直线EF的方程为，再与圆的方程联立消去y，利用韦达定理及求得k与m的关系即可推理作答.（1）设圆M的方程为：，由题意得，，解得，所以圆M的方程：.（2）依题意，直线EF的斜率存在，否则直线OE，OF关于x轴对称，k1，k2互为相反数，与已知冲突，设直线EF：，由得：．，即，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则，，于是得，则4k=m，直线EF的方程为：，于是得直线EF过定点(-4，0)，所以直线EF经过肯定点(-4，0).20．△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为和.（1）求BC所在直线的方程.（2）设，直线过线段的中点M且分别交轴与轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△面积最小时直线的方程；.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出点A关于两条角分线的对称点，即可求出直线方程；（2）设直线方程，可得，代入面积，利用基本不等式可得.（1）如图所示，的平分线BD的方程为：，的平分线CE的方程为，由角平分线的性质知，点A关于直线BD、CE的对称点、必在BC所在的直线上.由方程组：，解得：，则点的坐标为.由方程组：，解得：，则点的坐标为.∴BC所在直线的方程为：，即：；（2）设直线的方程的方程为：，又直线过点M（2，1），所以，即，则△的面积，当且仅当即，时等号成立.所以，直线的方程为：，即.21．已知圆C的圆心C为（0，1），且圆C与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）圆C与x轴交于A，B两点，若一条动直线l：x＝x0交圆于M，N两点，记圆心到直线AM的距离为d．（ⅰ）当x0＝1时，求的值．（ⅱ）当﹣2＜x0＜2时，试问是否为定值，并说明理由．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）为定值，理由见解析【解析】（1）求出圆心到直线的距离，则圆C的方程可求；（2）（ⅰ）当x0＝1时，可得直线l：x＝1，与圆的方程联立求得M、N的坐标，写出AM的方程，求出圆心到直线AM的距离d