北京市延庆区2025届高三数学第一次模拟考试试题理

PAGEPAGE16北京市延庆区2025届高三数学第一次模拟考试试题理本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（A）（B）（C）（D）2.“”是“方程表示双曲线”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3.已知，令，，，那么之间的大小关系为（A）（B）（C）（D）4．函数在区间上的零点之和是（A）（B）（C）（D）5．已知数列中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2024项，则推断框内的条件是（A）（B）（C）（D）6.已知曲线（为参数），若曲线上存在点为曲线上一点，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）7.已知一个正四面体的底面积为，那么它的正视图（如右图）的面积为（A）（B）（C）（D）8.名运动员参与一次乒乓球竞赛，每名运动员都赛场并决出胜负．设第位运动员共胜场，负场（），则错误的结论是（A）（B）（C）为定值，与各场竞赛的结果无关（D）为定值，与各场竞赛结果无关第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知等比数列的公比为，若，则_____.10.设为虚数单位，假如复数满意，那么的虚部为____.11.如右图，正方形中，为的中点，若，则的值为_____.12.设是定义在上的单调递减函数，能说明“肯定存在使得”为假命题的一个函数是_____．13.已知,设，则_____.14.已知集合，集合满意①每个集合都恰有7个元素;②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则的最大值与最小值的和为.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）如图，在中，点在边上，，，．ADADBC（Ⅱ）若，求的长及的面积．16.（本小题满分13分）2024年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007年—2025年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位：平方米.2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2024年2024年2024年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.8（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2025年中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为，推断与的大小．（只需写出结论）.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）若为的中点，求平面与平面所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.18.（本小题满分13分）已知函数在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）令，求函数的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆G:，左、右焦点分别为、，若点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：．20.（本小题满分13分）已知集合．对于，定义与之间的距离为．（Ⅰ），写出全部的；（Ⅱ）任取固定的元素，计算集合中元素个数；（Ⅲ）设，中有个元素，记中全部不同元素间的距离的最小值为．证明：．延庆区2024—2025学年度一模统一考试答案数学（理科）2024.3一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案CAABCBDD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分）9．10．11.12.13．14．132三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以，………1分…2分又因为，所以，…3分…………5分．……………7分（Ⅱ）在中，由，…………9分得．…………11分…………12分所以．…………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）随机抽取连续两年数据：共9次。…1分两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次。…2分设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事务，因此…3分（Ⅱ）全部可能的取值为：0，1，2，3…4分…8分随机变量的分布列为0123…10分…11分（Ⅲ）…13分.17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，所以.由分别为的中点，得， 所以.………………1分因为侧面底面，且，面面且面所以底面.………………3分又因为底面，所以.………………4分又因为，平面，平面，所以平面.………………5分（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，则，………………6分设平面的法向量为，由，，得令,得.………………7分为的中点，由（1）知，平面且，………8分所以，………………9分平面与平面所成二面角的余弦值；………………10分（Ⅲ）设，则，所以，………………11分，………………12分由（1）知.直线与平面所成的角正弦值为所以，即，………………13分解得.或（舍）………………14分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………1分………2分在点处的切线与直线平行解得………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知………5分函数的定义域是，………6分所以，…………7分令，…………8分又，…………9分有恒成立故在上为增函数，由，所以函数是上单调递减．……………11分有恒成立故在上为减函数，由，所以函数是上单调递减．……………13分综上，在和单调递减19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在椭圆上由解得………………3分所以，椭圆的标准方程为………………4分(Ⅱ)由得．………………5分因为直线与椭圆有两个交点，并留意到直线不过点，所以解得或．……………6分设，，则，,……………8分，．……………10分明显直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，，由（Ⅰ）可知则……………11分．因为，所以．……………13分所以．………………14分20.（本小题满分13分）解（Ⅰ）…4分（Ⅱ）当时，…5分