2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程（教学用书）教案 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程（教学用书）教案新人教A版选修2-1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析《2024-2025学年高中数学》第2章“圆锥曲线与方程”中的2.2.1节“椭圆及其标准方程”，选自新人教A版选修2-1。本节内容旨在帮助学生理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导和应用，并与实际生活相联系，培养学生观察、分析、解决问题的能力。教材通过引入实际生活中的椭圆实例，引导学生从几何直观出发，探究椭圆的基本性质，理解椭圆标准方程的形式及其参数含义，强调对椭圆焦点、顶点等概念的理解，同时，通过典型例题和练习题，巩固学生对椭圆方程求解和应用的技能。教学内容与课本紧密关联，符合高中二年级学生的知识水平和认知能力。核心素养目标分析本节内容以椭圆及其标准方程为载体，致力于提升学生的数学核心素养。通过学习，学生将能在以下几个方面得到提升：

1.逻辑推理：培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的逻辑思维能力，通过观察椭圆实例，发现椭圆的基本性质，进而推导出椭圆的标准方程，理解数学概念的形成过程。

2.数学建模：使学生能够运用数学语言和符号，将现实生活中的椭圆问题转化为数学模型，从而解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系。

3.空间观念：通过椭圆的定义和标准方程的学习，增强学生对几何图形的直观认识，培养空间观念，提高对图形特征的把握能力。

4.问题解决：训练学生运用所学知识，解决椭圆相关问题，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学应用的意识。

5.数学思维：通过探究椭圆的性质和方程推导，激发学生的数学思维，培养严谨、细致的思考习惯。

本节内容的设计旨在使学生在学习椭圆知识的同时，全面提升数学核心素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。教学难点与重点1.教学重点

（1）椭圆的定义及其几何性质：理解椭圆的定义，掌握椭圆的焦点、顶点、长轴、短轴等基本概念，以及它们之间的关系。

-举例：通过实际生活中的椭圆物体（如篮球、乒乓球拍面等），让学生理解椭圆的几何性质。

（2）椭圆标准方程的推导：掌握椭圆标准方程的推导过程，包括椭圆的参数方程与直角坐标方程之间的转换。

-举例：从椭圆的几何性质出发，引导学生推导出标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。

（3）椭圆标准方程的应用：能够运用椭圆标准方程解决实际问题，如求解焦点坐标、顶点坐标、长轴和短轴长度等。

-举例：给出椭圆的某个具体方程，让学生求解相关参数。

2.教学难点

（1）椭圆标准方程的推导过程：对于学生来说，从几何性质到代数表达式的转换是一个难点。

-突破方法：通过动画、实物演示等手段，让学生直观地感受椭圆方程推导过程，逐步引导他们完成从几何到代数的过渡。

（2）椭圆参数的理解：理解椭圆方程中的a、b、c等参数的几何意义，特别是a、b与椭圆形状之间的关系。

-突破方法：设计互动环节，让学生通过实际操作，如改变参数大小，观察椭圆形状的变化，加深对参数意义的理解。

（3）解决椭圆实际问题时，如何将问题转化为数学模型：学生往往在面对实际问题时，不知道如何运用所学知识进行建模。

-突破方法：提供丰富的实例，逐步引导学生分析问题，提炼关键信息，建立数学模型，并给出解决方案。教学资源准备1.教材：

-确保每位学生都提前准备好新人教A版选修2-1教材，以便在课堂上同步跟进教学内容。

-提供与本节课相关的教材习题和补充练习，以便学生及时巩固所学知识。

2.辅助材料：

-准备椭圆相关的图片、图表和动态演示视频，用于直观展示椭圆的几何性质和标准方程的推导过程。

-收集生活中的椭圆实例图片，如行星轨迹、体育场等，帮助学生理解椭圆在实际生活中的应用。

-制作PPT课件，整合上述资源，便于在课堂上展示和讲解。

3.实验器材：

-准备椭圆模型或教具，如椭圆卡片、可调节的椭圆轨道等，以便在课堂上进行实物演示。

-如果条件允许，可以准备几何画板或其他绘图软件，让学生通过计算机辅助工具直观感受椭圆的形成和性质。

4.教室布置：

-在教室前部设置讲台区域，用于教师讲解和演示。

-在教室后方或两侧设置分组讨论区，便于学生进行小组合作学习。

-在教室一角设置实验操作台，放置实验器材，确保实验操作的安全性和便利性。

-在教室墙壁或黑板上挂图或张贴与椭圆相关的知识点，为学生提供视觉提示和学习参考。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《椭圆及其标准方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过椭圆形状的物体？”（如椭圆桌面、椭圆镜框等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索椭圆的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解椭圆的基本概念。椭圆是平面内到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。它在天文学、工程学等领域有着广泛的应用。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析行星运动的轨迹，了解椭圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调椭圆的定义和标准方程这两个重点。对于难点部分，如椭圆方程的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与椭圆相关的实际问题，如椭圆镜框的设计、椭圆轨道的运用等。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用椭圆模型和绳线模拟椭圆的形成过程，演示椭圆的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“椭圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了椭圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对椭圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。教学资源拓展1.拓展资源：

-推荐阅读：《圆锥曲线的几何性质》、《解析几何中的椭圆问题》等数学书籍，这些书籍中包含了椭圆及其标准方程的深入探讨和相关习题。

-视频资料：可以观看一些数学教育视频，如“椭圆的奥秘”、“椭圆方程的推导与应用”等，这些视频以动画和实例形式，生动展示了椭圆的相关知识。

-实践活动：鼓励学生参加数学俱乐部或兴趣小组，进行椭圆相关的项目研究，如设计椭圆花园、制作椭圆模型等，将理论知识与实际操作相结合。

-历史资料：了解椭圆在数学史上的发展，如古希腊时期对椭圆的研究，以及开普勒行星运动定律中等对椭圆的应用。

2.拓展建议：

-鼓励学生通过查阅相关书籍、资料，深入研究椭圆在其他领域的应用，如物理学中的天体运动、工程学中的椭圆桥梁设计等。

-学生可以尝试解决一些历年的高考题或竞赛题，这些题目往往对椭圆知识点的考查较为深入和全面，有助于提高解题能力。

-组织学生参与数学建模活动，运用椭圆知识解决实际问题，如优化设计椭圆跑道，使其满足既定条件下的最短距离等。

-提供一些椭圆相关的研究性问题，引导学生进行探索，如椭圆的切线方程、椭圆的面积计算等。

-建议学生利用课余时间，通过计算机软件（如GeoGebra、Mathematica等）进行椭圆的可视化操作，直观感受椭圆的性质和方程变化。板书设计1.标题区域：

-主题：椭圆及其标准方程

-副标题：焦点、顶点、长轴、短轴的奥秘

2.定义区域：

-椭圆定义：平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹

-标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

3.性质区域：

-焦点：F1(-c,0),F2(c,0)

-顶点：V1(-a,0),V2(a,0)

-长轴：2a

-短轴：2b

4.方程推导区域：

-参数方程推导过程（简洁图示或步骤）

-直角坐标方程推导过程（简洁图示或步骤）

5.应用区域：

-实际案例：行星轨迹、椭圆镜框等

-数学问题：求解焦点坐标、顶点坐标等

6.重点难点区域：

-重点：椭圆定义、标准方程、几何性质

-难点：方程推导、参数理解、实际问题建模

7.艺术性设计：

-使用不同颜色的粉笔，突出重点和难点

-利用图形、箭头等符号，使板书结构清晰、条理分明

-适当添加趣味性元素，如椭圆笑脸、动态轨迹图等，激发学生兴趣

8.总结区域：

-知识点概括：椭圆定义、标准方程、几何性质及应用

-鼓励语：掌握椭圆，探索几何之美！课堂小结，当堂检测一、课堂小结

1.椭圆的定义：平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。

2.椭圆的几何性质：焦点、顶点、长轴、短轴。

3.椭圆标准方程的推导：参数方程与直角坐标方程的转换。

4.椭圆在实际生活中的应用：如行星运动、椭圆镜框设计等。

5.重点与难点：椭圆定义、标准方程、几何性质，以及方程推导和实际问题建模。

二、当堂检测

1.选择题：

-椭圆的焦点坐标是（）

A.(a,0),(-a,0)B.(c,0),(-c,0)

C.(0,a),(0,-a)D.(0,c),(0,-c)

-椭圆标准方程为（）

A.x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

B.x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)

C.y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)

D.y^2/a^2-x^2/b^2=1(a>b>0)

2.填空题：