2021届新高考高中数学核心知识点20

2021届新高考高中数学核心知识点

专题20.2导数的综合应用（专题训练卷）

一、单选题

1.（2019•山东高三期中）已知函数/（x）=V—依2-x+2,则“。＜2”是“/（x）在（2,4）上单调递增”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

若了⑴在（2,4）上单调递增，则（x）=3犬—2依—120,即4w北二1。x-工在（2,4）上恒成立.

22x

31311111

又〃（x）=7%-丁在（2,4）上单调递增，则彳X-丁〉工，所以aW二.

22x22x44

故“a42”是“/（x）在（2,4）上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2019•云南高三月考（文））已知函数/（%）=—x4+%/+（a—i）x,且/（X—1）的图象关于尤=1对

【答案】A

【解析】

由/(x—1)的图象关于x=l对称，所以函数/(%)=—犬+2加+(。—l)x为偶函数，则。一1=0,解得

4Z—1,

所以/(x)=-%4+2x2,贝ij/'(x)=-4x3+4x,

设g(x)=/'(%),贝尔⑴二-⑵^+生

令g'(x)=O,解得》=土理，

3

所以当0<x<］时，g'(x)>0；当x>#时，g'(x)<0,

即函数g(x)在(0,1g)为增函数，在(#,+oo)为减函数，

即g(x)在x=#时取得极大值为g1曰'—4x+4义/=苧<2，

即导函数尸(%)的图象大致为选项A所示，

故选：A.

3.(2019•安徽高二期末(文))某产品的销售收入,(万元)关于产量千台)的函数为％=15A/X(X>0)；

生产成本为(万元)关于产量X(千台)的函数为%=|x6(x>o),为使利润最大，应生产产品

()

A.9千台B.8千台C.7千台D.6千台

【答案】B

【解析】

设利润为了万元，则y=%=16石一，y，=~7^,

令y'>0,得0<x<8,令y'<0,得x〉8,

.•.当x=8时，y取最大值，故为使利润最大，应生产8千台.选B.

4.(2019.山西高三月考(理))函数/(%)=/+2/7—2与g(x)=(x—2”工的公共点个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

=+2x2-x-2=(x-l)(x+l)(x+2)

2f

r(%)=3x+4x-l；g")=(x—lH，所以〃o)=g(o)=—2,f(o)=g(o)=-l

所以/(x)，g(x)有公切线y=—x—2,且当—2<x<0时，/(%)>-%-2>g(x)

证明如下：

/(X)-(-X-2)=X2(X+2)>0

设=—x—2—(x—2)e”(—2<x<0),则〃'(x)=—1—(x—l)e",h"——xex>0

所以"(x)=—1—(X—l)e*为增函数，又“(0)=0,所以〃(x)<o,所以人(九)在(—2,0)上单调递减，又

〃(0)=0,所以/z(x)>0即一x-2>g(x)

所以当一2<%<0时，/(%)>-%-2>g(x)

当0<x<2时，/(x)-g(x)=^+2x2-x-2-(x-2)ex

>V+2x?-x-2-(x-2)(x+1)=V+>0

所以当—2<x<2时,〃尤)与g(x)只有一个公共点

画出函数/(%),g(尤)的草图如下图，可知x<-2时，两函数图象有一个交点，当x〉2时，必有一个公

共点，所以共有三个公共点,

71

5.(2019•江西师大附中高三(理))若Vxe0,—,不等式x+sinxNmxcosx恒成立，则正实数利的

2

取值范围是()

一3~

A.(0,1]B.(0,2]C.-,2D.(3,+«=)

_2_

【答案】B

【解析】

当x=0时，显然不等式x+sinx2mxeosx恒成立，

TT

当x=一时，显然不等式%+sin%2Mxeosx恒成立

2

JI\%H-sinx[\

0,—,由不等式％+sin%2mxeos犬恒成立，有机<--------，]£0,不在恒成立,

(2)xcosx12)

x+sinx(万、…、x+x2sin%-sinxcosx

令f(x)=xe”则——E—

xcosx

令g(x)=%+%2sinx-sinxeosx,贝ijg'(%)=l+2xsinx+x2cosx-cos2x>0,

g(x)在上单调递增，.•.g(x)>g(0)=0,g|lf(x)>0,

/(x)在xe0,g上单调递增，•.•当xf0时，f(x)^2,

.•.当&］时，/(x)>2恒成立，,/m<x+smx,在了e(0,王］恒成立，

12Jxcosx12J

/.m<2,

因此正实数m的取值范围为(0,2］

故选：B.

6.(2019•江西高三月考(理))不等式⑪一勿>2兀-111%-4(。>0)解集中有且仅含有两个整数，则实

数。的取值范围是()

A.(In3,2)B.［2-In3,2)C.(0,2-ln3］D.(0,2-ln3)

【答案】C

【解析】

由题意可知，ax-la>2x-lnx-4,

设g(x)=2x-ln%-4,h(x)=ax-2a.

,r/\c12%—1

由g(x)=2——=-------.

XX

可知8(%)=2%-山工一4在［0,3)上为减函数，在g,+oo］上为增函数，

〃(x)=ar—2a的图象恒过点(2,0),在同一坐标系中作出g(x),"(x)的图象如下，

a>0

若有且只有两个整数石，无2,使得/(%)>。，且“%2)>0,贝lJ"(l)〉g。)，

以3)Wg⑶

a>0

即1一〃>—2,解得0<a<2—ln3,故选C.

aV2—In3

7.(2019•重庆南开中学高三月考(理))函数/(x)=xes-g在(0,+。)上有两个零点，则实数。的取值

范围是()

人・卜W)B.

【答案】B

【解析】

1112Inx

取/(x)=xe—⑪一土=0「.%。一以=e—"=—:.a=--------(x>0)

XXXX

设g(x)=2g,g，(x)=2上及，g(x)在(O,e)上单调递增，(e,+00)上单调递减

XX

2

g(X)max=g(e)~

e

画出函数图像：

故选：B

8.（2019•四川高三（文））若关于X的不等式xlnx-依+左+1>0在（L+8）内恒成立，则满足条件的整数

k的最大值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

关于x的不等式xlnx-履+左+1>0在（1,+8）内恒成立，

即关于X的不等式xlnx>-1）-1在（l,+oo）内恒成立,

即函数V=xlwc[x>1）的图象恒在直线y=%（x-1）-1的上方.

当直线与函数y=x/nx（x>l）相切时，设切点为（为,%）,

%=xolnxo®

则<%=一1）—1②，由①②得，xolnxQ=k（x0-1）-1,把③代入得天（左T）=左（%-1）-1，化简得

lnx0+1=左③

x0=k+l.由%>1得，左>0.

又由③得上=/叫+1>1.即相切时整数人..2.

因此函数y=xlnx（x>1）的图象恒在直线y=-X-1）-1的上方时，整数上的最大值为2.

故选：C.

9.（2019•山东高二期末）设函数/（x）=e“—2asin无，xe（0,不）有且仅有一个零点，则实数a的值为（）

A-0jB.黄C,条D,加

【答案】B

【解析】

因为函数/（幻=，—2asin无，XG（0,丁）有且仅有一个零点；

所以方程e"—245111尤=0在]«0,乃）上仅有一个实根；

XX

即方程J=2。在1£（。,1）上仅有一个实根；令g⑴=，

sinxsinx

则函数g（x）=——与直线y=2〃在尤6（0,»）上仅有一个交点；

sinx

exsin-excosxex

因为g'(x)(sin-cosx)>

sin2xsin2x

由g'(x)>0得sin-cosx>0,因为xe(0,〃)，所以7Vx(万；

由g'(x)<0得sin-cosx<0,因为xe(0,〃)，所以0<x<?；

在上单调递减，在%］上单调递增;

所以，函数g（九）=-^7C

sinxI4）UJ

71

~A冗

因此g（X）min=g二=后

.兀

sin—

4

作出函数g（x）=-^的大致图像如下:

sin光

sinx

所以2"8（九焉=技”‘记得a=feK

故选B

YYI

10.（2019•湖南衡阳市八中高三（文））已知函数/（%）=——1-nlnx（m>0,0V〃Ve）在区间［l,e］

x

%+2

内有唯一零点，则一；的取值范围为（）

m+1

e+2e.e+2

A.--------,-+lB.e+1

e+e+l2/+e+l

2।

C.-----,e+1D.I,—FI

e+12

【答案】A

【解析】

m+nx£，/、m„

，(》)=--=2，当〃一0时，/(%)=<0,

XXXX2

m

当0<〃<e时，令/'(幻=0,则》=——<0,所以函数/(x)在［I,e］上单调递减,

n

由函数/(x)在区间［I,e］内有唯一零点，

m-l>0,

/(1)>0,

得〈，即《加

/(e)<0,--l-n<0,

、e

m-l>0,

即《

m-e-en<0,

[f(1)>0,fm-1>0,

或八，即〈，又加>0,0«〃<e,

j(e)<0,[m-e-en<0,

m-1>0,m-1>0,

m-e-en<0,m-e-en<0,

所以《八(1)或(2)

m>0,m>0,

0<n<e,0<n<e,

所以相，〃满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示,

zi+2n—(—2)

则总FFJ表示点6⑺与点一,-2)所在直线的斜率,

n+2m-e-en=O,m=e2+e,

综上可得一的最小值在A点处取得，根据〈得A点坐标满足《，所以最小值

m+1[〃=e,[n=e,

、re+2

为-2r故选A.

e+e+l

11.(2019•四川高三(文))已知函数/(%)=(〃/+0¥)©+0¥)与且(％)=匕2"的图象恰有三个不同的公共

点(其中e为自然对数的底数)，则实数Q的取值范围是()

A.[J/B-[-?T]D.(1,0)

【答案】A

【解析】

令/(x)=g(x)，可得(ae*+ex)e+ex)=e2*,可得+=1.

e%

^t=h(x)=—,则(。+，)(1+，)=1,即产+(〃+1)1+〃一1=0.

e

e

当x<1时，A(x)单调递增且/?(%)G(-oo,l)；

当x〉l时，/z(x)单调递减且〃(x)e(0,l).

作出t=〃(x)的图象如图所示.

对于r+(a+l)r+a-l=0,J=(a+1)2—4(a—1)=(a-I)2+4>0,

设该方程有两个不同的实根。也，由题意得力(幻=九加工)=今共有三个实数根.

若f=l是方程的根，贝iJl+a+1+a—1=0,即。=—!，

2

3

则方程的另一个根为/=—-,不合题意.

2

若/=0是方程的根，则0+0+a—1=0,即。=1,

则方程的另一个根为1=-2,不合题意.

所以关于f的方程的两根。耳(不妨令"<L)满足％<0<L<1

0+0+«-1<0,

所以《解得—<a<1.

l+a+1+a—1>0,2

故选：A.

xxQ

12.(2019•湖南长郡中学高三月考(理))已知函数〃力=1,g(x)=e*(e是自然对数的底

e,x_u

数)，若关于X的方程g(y(x))—加=0恰有两个不等实根再、无2,且王<々，则尤2—七的最小值为()

111

A.](1—ln2)B.—+In2C.1—In2D.—1+In2

【答案】D

【解析】

=二/(%)>。恒成立,

，g[/(x)]=>")=根，.1•f(x)=lnm,

作函数/(九)，y=ln加的图象如下，结合图象可知，存在实数t=ln7"(O</Wl),使得％2=02为=1,

故%2—苞=7-5In♦，令h(^t^—t——Int,贝！］=1—

故/i⑺在递减，在，,1递增,...=；+

二、填空题

13.(2018•江苏高考真题)若函数〃力=2三—双2+i(aw©在(0,一)内有且只有一个零点，则/⑴

在［-1,1］上的最大值与最小值的和为.

【答案】-3.

【解析】

由r(x)=6£—2ox=0得x=O,x=］,因为函数八可在(0,+s)上有且仅有一个零点且/(0)=1,所以

|>0,/^=0,因此2(1)3-a(|)2+l=0,a=3.从而函数/(%)在［-1,0］上单调递增，在［0,1］上单调

递减，所以/(x)1mx=/(0),/(x)rain=min{/(-l),/(l)}=/(-l),

/(龙)啰+/(幻疝n=/(O)+f(-l)=l-4=-3.

14.(2019•江苏高三期中)已知关于x的不等式(1—左—l)/+e2<0有且仅有三个整数解，则实数上的取

值范围是.

［答案】廿3：

【解析】

不等式(X—左—l)/+e2<0有且仅有三个整数解，

^x-k-l<-—=-e2-x；

ex

即k>x-l+e2~x

设函数/(无)=x-l+/r,fXx)=l-e2-x=^^-；

ex

所以函数/(%)在(-8,2)上单调递减，在(2,+^))上单调递增；

f(0)=e2-l,f(l)=e,f(2)=2,/(3)=2+1,"4)=3+/,f(5)=4+~

要使得%>x-l+e2r,有三个整数解，则

f(l)</c<f(4),即e<%W3+e.2

故答案为：e<k<3+e-2

15.(2019•山东高三期中)已知函数/(x)=x—1—alnx(a>0)在(0,+8)内有且只有一个零点，则/(x)

在［，e2］上的最大值与最小值的和为.

2

【答案】e-3

【解析】

由/(x)=%_l_alnx,可得/'(%—

当0<x<。时，r(x)<0,“X)单调递减；

当x>a时，f'(x)>0,/(X)单调递增，

又X-0时，f(x),X->田时，+8,

要使Ax)在(0,+8)内有且只有一个零点，则/(a)=a-1—aIn。=0.

设g(x)=x-l-xlnx,贝"g'(x)=—lnx,

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

当x〉l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以当且仅当x=l时，g(x)取得最大值为g⑴=0.

所以/(a)=a_1_alna=0有唯一解a=l.

所以/(x)=x—1—Inx在［1,e?］上单调递增.

所以/(力在［1，e2］上的最大值与最小值的和为/(e2)+/(l)=e2-3.

故答案为：e2-3.

16.(2019•江苏盐城中学高三月考)已知函数/(x)=2/x+ln(x—"+2),g(x)=--t,若函数

/z(x)=一心2一(］一“)》+〃-8在(_oo,+oo)上是增函数，且/(x)g(x)W0在定义域上恒成立，则实数/

的取值范围是.

【答案】［一时.m

【解析】

由于函数力(％)=jx3-nx2一(1一〃)％+〃一8在(-<^,+00)上是增函数，所以//(x)=4x2-2nx-(l-n)>0

恒成立，故A=4l+16(l—〃)<0,即(〃—2)240,所以几=2.故/(x)g(x)<0即

(、2Zx+lnx<02Zx+Inx>0

(2比+lnx)卜一,<0在(0,+8)上恒成立，等价于<1?〉0①,或,1八②・

——1<0

lx

2t<--

由①得<”③，构造函数租(x)=-电2(x〉0),〃z(x)Jn\1,所以九)在(O,e)上

t<-XX'

、x

m(%)<0,加(%)递减，在(e,+8)上加(％)>0,加(x)递增，最小值为根(e)=-L所以③等价于

二1

2t<—1

\V<0e，解得，〈一2丁e.

2/1皿

YInx11

由②得[④.由——=—解得工==根据小(尤)和y=，的单调性可知,当且仅当

2

、12xxeX

t>-

、x

时，④成立.

综上所述，力的取值范围是1-8,-白fe

{2e1

故答案为：f{。

三、解答题

17.(2020•江苏淮阴中学高三期中)一个玩具盘由一个直径为2米的半圆。和一个矩形265构成，AB=1

米，如图所示.小球从力点出发以5V的速度沿半圆。轨道滚到某点£处后，经弹射器以6V的速度沿与

点£切线垂直的方向弹射到落袋区以内，落点记为广.设NAOE=8弧度，小球从4到厂所需时间为

(1)试将7表示为。的函数T3),并写出定义域;

(2)当。满足什么条件时，时间7最短.

n11万3乃7

【答案】⑴T⑻、+菰而+=8；⑵当300时，时间「最短•

【解析】

(1)过。作OGJ_3C于G,则。G=l,

=，EF=1+-^—

sin0sin0sin0

小AEEF011AL»3万

所以T(6)=——+----=—+----------+—，夕㊂丁，二T

5v6v5v6vsin<96v144

0ii

(2)")=一+------+——，

5v6vsin^6v

cos。_6sin2<9-5cos<9_(2cos<9+3)(3cos3-2)

6vsin2^30vsin2030vsin20

713TI

记cos%=一，0Qe

7171

当(一，00)时7,(。)V0,即7(。)在区间(一，。0)上单调递减，

44

3兀371

当。£(。o,—)时7V(。)>0,即7(e)在区间(。0,—)上单调递增,

44

2一

・••当cos0=一时时间T最短.

3

18.(2019•贵州省铜仁第一中学高三(文))已知函数/(x)=x2-(a-2)x-alnx,(«>0).

⑴求函数y=/(x)的单调区间;

(2)当”=1时，证明：对任意的x〉0,/(x)+e*>X?+x+2.

【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为(2)证明见解析

【解析】

(1)/(%)=x2-(a-2)x-«lnx,(«>0),定义域为(0,+“)，

1(x)=2x—(a—2)，=0x—祖》+1),

XX

.n(1

令广(x)〉0,x〉5；令尸(x)<0,0<x<5.

二函数y=/(x)的单调递减区间为单调递增区间为,+8]

(2)«=l,.-./(x)=^2+x-lnx(x>0),即证/_也％_2>0恒成立

令g(x)=e'—lnx-2,xe(0,+8),即证g》)：>0恒成立,

g'(x)="—Jg]£|<0,g")>0

三/使g'(xo)=0成立，即e%_J=0

则当。(无<5时，g'(x)<0,当无>%时，g'(x)>0

y=g(x)在(0,飞)上单调递减，在(尤°，+8)上单调递增.

g⑺口=g伉)=1-In/-2

员1cX1

又因*——=0,即/°=—

X。%

/.g(%)=e%-In%-2=e而+ln--2=-+%0-2

,与玉)

又因xoeH-x°>2,：,g(x())>。，即得证.

19.(2019•贵州省铜仁第一中学高三(理))已知函数/(x)=«e*+2xeT(aeR).

(1)若x=l为/(%)的极值点，求/(%)的单调区间；

(2)当x〉0时，/(x)<4«+l,求。的取值范围.

【答案】⑴单调增区间为(-8,1),单调减区间为(1,+8).(2)生产<aW0

【解析】

(1)f'(x)=aex+2e-x(1-x),由题有/'(D=。n。=0,

从而/(x)=2ef(l—x),故当x<l时，f'(x)>0；当x>l时，f\x)<0.

所以/(X)的单调增区间为(-8,1),单调减区间为(1,+8).

(2)/(x)<4a+1oae2x-(4a+l)ex+2x<0,令g(x)=ae"—(4“+l)e、+2x,

则g，(无)=2ae2x—(4a+l)e"+2=(e*—2)(2ae*-1),

(i)当aVO时,

因为2ae"—l<0,所以当0<%<ln2时，gr(x)>0；当九>ln2时，gr(x)<0,

从而g(X)max=gQn2)=21n2-4a-2,

故只需21n2—4Q—2<0,解得-----vaWO.

2

(ii)当Q〉0时，取/使得aex°~(4a+1)=0,

则x0=ln1〃+l>0,且g(%)=e%[ae^~(4a+1)]+2x0=2x0>0,故不符合题意.

a

综上，a的取值范围为生”<aW0.

2

20.(2019•湖南IWJ三期中(理))已知函数/(%)=H—--a,%w,g(x)=/7txH—

X2

(1)若函数F(x)有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)若年3,且对任意的Xid[T,2],总存在々6口,退],使-F(xz)=0成立，求实数⑷的取值

范围.

(13

【答案】(1)4,y

【解析】

(1)由题意，函数/(X)=X2H—5—a,

X

4

令仁兴,则方£[1,3],贝IJ"(%)=%+：,

要使得函数f(X)有两个零点，即函数产力(方)与尸a有两个交点，

因为“(。=1一：，当te(1,2)时，当te(2,3)时，

所以函数力(力)在(1,2)递减，(2,3)递增，

13

从而力(力)加五力(2)=4,/z(3)=—,h(1)=5,

13

由图象可得，当4<〃《不时，尸力(t)与有两个交点，

(13-

所以函数F(x)有两个零点时实数a的范围为：4,y.

(2)由(1)知f(x)e[l,2],记£[1,2],

3

当片0时，g(x)=—,显然成立；

3/「33一

当%>0时，g(x)=如十万在［T,2］上单调递增，所以g(x)£-m+—,2m+—,

「33一

i己B——mH—,2mH—,

_22_

由对任意的不£［—1,2］,总存在％2，使g(毛)一/(42)=。成立，可得BqA，

331

所以2加+—<2且一加+—21,解得0<根<一,

224

3「33一

当加<0时，g(x)=如+^在［T,2］上单调递减，所以g(x)£2m+—,-m+—,

331

所以2加+—21且一加+—《2,截得——<m<0,

224

综上，所求实数0的取值范围为

44

21.(2019•浙江高三期中)已知函数/^^二/依+彳一^&①6⑷有两个极值点.马，且占<%.

(1)若。=5,求曲线>=/(%)在点(4,/(4))处的切线方程；

(2)记g(a)