2023-2024学年高一数学2019试题7

第7章7.4三角函数的应用（练习）

考试时间：120分钟试卷总分：150分

班级姓名：

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.）

1.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则（）

A.该质点的简谐运动周期为0.7s

B.该质点的简谐运动振幅为5cm

C.该质点的简谐运动频率为1.25Hz

D.该质点的简谐运动周期为0.8s

【答案】BCD

【解析】由题图可知，运动周期为7=2x（0.7-0.3）=0.8（s）,故A错，D正确；

该简谐运动的振幅为5cm,故B正确；

该简谐运动的频率/=1=工=1.25（Hz）,故C正确；

T0.8\'

故选：BCD.

2.如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮.已知其旋转

半径为60m,最高点距地面135m,运行一周大约30m某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第lOm/n

时他距地面大约为（）

A.95mB.100mC.105mD.110n?

【答案】C

【解析】

设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间，（分钟）的函数关系为

f（/）=Asin（69/+B（A>0,G>0,0w[0,2万））,

由题意可知4=60,5=135-60=75,T--=30,所以勿=三,

co15

即/（/）=60sin^r+^+75.

又因为"0）=135-120=15,

37r

解得sine=-l,故。=彳，

所以/«）=60sin（自+/）+75=-60cos]f+75,

J^y>/（10）=-60xcosy^+75=105.

故选：C

3.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生

成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）.已知噪声的声波曲线、=力35（。工+夕）（其中/>0,

。>0,04。<2兀）的振幅为1,周期为2兀，初相位为5，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式

为（）

噪声声波

用来降噪的声波两者叠加后

A.y=s\nxB.y=cosxc.y=-sinxD.y=~cosx

【答案】A

【解析】解：因为噪音的声波曲线、=力35（。方+夕）（其中4>0,。>0,049<2兀）的振幅为1,则4=1,

周期为2兀，则。=§="=1,初相位为二，。=三，

T2兀22

所以噪声的声波曲线的解析式为二cos（x+升-sinx,

所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为卜=5皿》.故选：A.

4.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船

在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位:

m）记录表

时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00

水深值5.07.05.03.05.07.05.03.05.0

已知港口的水的深度随时间变化符合函数/（x）=Zsin®x+9）+8,现有一条货船的吃水深度（船底与水面

的距离）为4m,安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按

规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0.25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最

多能停放（）

A.4小时B.5小时C.6小时D.7小时

【答案】B

【解析】

由表格中的数据可知，/（x）M=7,/（x）mM=3,则

二小心-3)*7-3-gjaLx+fUL7+3

2222

,.24?故〃x)=2sin[m+eJ+5,

|l]T=12,••co=—=

T6

当x=3时，/(x)=7,则2sin(3+e)+5=7I.2cose=2,即cos0=l得0=0.

jr

/./(x)=2sin—x+5.

6

由/(x)=2sin4-5=6,得sin?x=；

urt7V7T_..__p.7V54、，.

即一x=­+2k小左£Z或一x=——+2左肛keZ

6666

/.x=12Z+1,左£Z或1=12k+5,kGZ.

又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，

.•，=1时,x=13,即该船应在13点入港并开始卸货,

卸货时，其吃水深度以每小时0.25m的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4-0.25x4=3,

所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由〃x)=2sinfx+5=5,得singx=(),

66

TTTT

即一x=0+2%7,左eZ或一x=万+2左肛左eZ

66

x=l2k,keZ或x=12A:+6,左eZ.

所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港国最多能停放5小时.

故选：B

5.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置。的距离s(cm)和时间/(s)的函数关系式为

A.27tsB.KsC.0.5sD.1s

【答案】D

【解析】本题已给出了单摆离开平衡位置。的距离s(cm)和时间f(s)的函数关系式，单摆来回摆一次

所需的时间即为此函数的一个周期.

,/。=2兀，：.T=—=\

CD

](x-6)

6.某市一年12个月的月平均气温歹与月份x的关系可近似地用函数V=a+Acosx=l,2,3,…,12)

来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28C，12月份的平均气温最低，为18C，则该市8月份的平

均气温为()

A.25.5℃B.225CC.205CD.13℃

【答案】A

【解析】

由题意可得：

/(6)=a+/(cos-(6-6),=28.,

八，[l6V'\。+力=28。=23

「1即」心解得：L「

-/、兀/、a—Z=18\A=J

/(12)=Q+4COS-(12-6)=18

rr

所以〃x)=23+5cos-(x-6),

_6_

元7T

所以该市8月份的平均气温为/⑻=23+5cos-(8-6)=23+5cos-=25.5℃,

_6J3

故选：A.

7.某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴

角A,C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB=6.9cm,SC=7.1cm,/IC=12.6cm.

根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（）

B.

【解析】

解：取4B=BC*7,设48c=2。

12.6

则si口子一叱停学

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a

则a+20=7：

兀n

ae

彳'3

故选：B

8.如图所示，扇形。。。的半径为2,圆心角为?，C是扇形弧上的动点，四边形/8C。是扇形的内接矩形,

则SABCD的最大值是（）

A

04BP

A.侦B.26C.拒D.2

33

【答案】A

【解析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型,再根据建立的模型利用三角函数

的性质求最值.

Q

0ABP

如图，idZCOP=a9在&AOBC中,OB=2cosa,BC=2s\na,

在必△04。中，OA=^~DA=—BC=^^sina，

333

所以/3=O3-OZ=2cosa-^^sina,

3

设矩形48CQ的面枳为S,

2^/3

S=ABBC=(2cosa———sina)・2sina

=4sinacos”迪sin%=2sin2a区cos2a处

333

=迪疝3+马-小

363

由0<a〈工，所以当2a+f=W，即。=工时，S取最大值，为题一之G26

——...,

3626333

故选：A.

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心。距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当

水轮上点尸从水中浮现时（图中点《）开始计时，则（）.

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C.当水轮转动50秒时，点尸在水面下方，距离水面2米

D.点P距离水面的高度〃（米）与，（秒）的函数解析式为〃=4cos（^f+g）+2

【答案】ABC

【解析】

设点P距离水面的高度〃（米）和时间f（秒）的函数解析式为

71

%=4sin3+夕)+6/>0,①>0,网<2

4max=A+B=6A=4

h'.min=A—B=-28=2

解得《2兀兀

由题意得:r=—=60(0=——=—

0)T30

7/(0)=4sin(e0+°)+3=0n

(P=—

6

故〃=4sin9-斗2.故〃错误;

\306J

于4令h=6,即〃=4sin三，一£+2,解得：f=20,故｛正确;

<306)

对于8,令f=155,代入/?=4sin|藐，—乙|+2,解得：h=2,故8正确；

\3067

对于0,令y50,代入〃=4sin（G，—?1+2,解得：h=—2,故C正确.

1306）

故选：ABC

10.为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律,建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点尸（羽力.

若初始位置为点制，秒针从玲（规定此时f=0）开始沿顺时针方向转动，则点尸的纵坐标y与时

间t的函数关系式可能为（)

717U

B.y=-sin----1------

603

.(7T兀7t71

C.y=sm---1+—D.y=cos----1H--

'(303306

【答案】CD

【解析】设y与时间1的函数关系式为尸为山（初+叫由题意川得，初始位置为电

,即初相为*,

故可得sine=cose=；,贝1」力=1,。=?.

22J

2〃

又函数周期是60（秒）口秒针按顺时针旋转，即1—1=60,

0）

所以I。=枭，即。=一看.

故满足题意的函数解析式为：y=sin（Wt+jj=cos[E-1-合+W]=cos（a+m-

故选:CD.

11.气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我

国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目

标.某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6h到

14h的温度变化，其变化曲线近似满足函数y=/sin(5+s)+6(/>0,<y>0,0<<p<n),该函数图象如

图，则()

3兀

A.

B.函数/(X)的最小正周期为167t

C.VxeR,/(x)+/(x+8)=40

D.若g(x)=/(x+〃?)是偶函数，则网的最小值为2

【答案】ACD

4+6=304=1°,、

【解析】根据题图可知-4+6=10得6—20所以/(x)=l0sm(ox+e)+20.

根据题图可知34-6=8,7=16,B错误.

2兀2兀方，/(x)=10sin^x4-^j+20,/(6)=10sinfy+^j+20=10,B[Jsin

co=—=—-1.又

T168卜

…,所吟<,夕吟,所吟+9吟,解得展泽A正确.

n3兀

/(x)=10sin—x+一+20,

84

3兀s.(兀兀3兀、c八1八•(兀7133兀71

/(x+8)=lOsin—(x+8)+—+20=lOsin—x+—+兀+20=-10sm—x+—+20,所以

848484

/(x)+/(x+8)=40,C正确.

因为g(x)=/(x+，")=10sin^-(x+/n)++20=10$山(9+曰加+手■)+20是偶函数，所以

884

-+—=kn+—,ke,Z,得m=8左一2,ZreZ,所以当左=0时，同取最小值，为2,D正确.

故选：ACD.

12.筒车亦称为“水转筒车”，是一种以流水为动力,取水灌田的工具.如图,假设在水流量稳定的情况下,-

个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动,筒车的轴心。距离水面BC的高度为

1.5米,设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时,下列结论

正确的是（）

7C7C

A」分钟时，以射线04为始边，。尸为终边的角为二/一二

36

JI3

[~1+~米

C.1分钟时该盛水筒距水面的距离与3分钟时该盛水筒距水面的距离相等

D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面的距离不小于3米

【答案】ACD

【解析】依题意设函数解析式为歹=/sin（④c+e）+b.由题意得/=3,6=5,7=6,所以。=§,所以

y=3sin|—x+（p+彳.当x=0时，卜=0,可得5出8=——，不妨取e=一工，所以

<3）226

3

y

2

f分钟时，以射线CM为始边，0尸为终边的角为盛水筒距水面的距离为3sin（々一勺+：米,

36<36J2

故A正确,B错误.

当x=l时，y=3：当x=3时，y=3,故C正确.

（JTTT|3（7171I1

令y=3sin-x--+—>3,得sin|一:|之不在一个周期内解得14x<3,1个小时内有10个周期,

（36）2（36J2

所以有2X10=20分钟，故D正确.故选ACD.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数y=Zsin切，已知函数

/(x)=2cos(2x+e)(—%4夕4万)的图象向右平移。个单位后，与纯音的数学模型函数卜=2sin2x图象

重合，则8=,若函数/(x)在［一是减函数，则。的最大值是.

【答案】--—

6112

【解析】将函数y=2sin2x的图象向左平移?个单位后可得到函数y=/(x)的图象，

71=2sin^2x+^^=2sinr^2x+^+J|

则/(x)=2sin2x+—=2cost2x+1,

又/(x)=2cos(2x+e)(一乃<(p=—,

'6

令2k兀<2XH—<Ikjr4-7t{keZ),解得女乃----<x<kjt----{kGZ),

61212

所以，函数/(x)的单调递减区间为+(kez),

由0wk7t---,kjcH----(〃wZ),可得攵=0,

_1212_

由于函数/(x)在区间［-a,a］上单调递减，则［一a,。］a,

7t7t

解得0<a4=,则。的最大值为7T.

14.魏晋南北朝(公元220581)时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统

的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西

方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受

此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：

前表却行OG=1,表高CD=EF=2,后表却行人〃=3,表间。尸=85.则塔高/8=米.

【答案】87

【解析】解：根据题意，^=-^=1=2=-^-ABEF2_AB

Dkj\DL)+1BH~FH~1~BD+88

285

2(5D+l)=y(BP+88),解得万(米)，

.■.J5=2x(y+1)=87(米).

故答案为：87

15.如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数

y=/sin（@x+9）+8（/>0,0>0,3>0,0<。<万），则该市这一天中午12时的气温大约是（注:

【解析】

由题图，可知Z+8=30,-A+B=\Q,

所以/=10,8=20.

设该函数的最小正周期为丁,

因为,=14-6,所以T=16,于是0=271_71

冗

所以j=10sin+20.

因为该图象经过点（14,30）,

所以30=10sin14+0+20,

=1,所以(+夕=]+2k兀,keZ、

所以9=——+2k兀,keZ

4

又0＜。＜乃，

所以8=—，

4

所以歹=l°sin1*x+qj+20.

当x=12时，^=10sinf^xl2+^J+20=572+20-27(℃).

故答案为：27℃

16.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数

y=a+Acos£(x-6)(x=l,2,3,…,12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气

温最低为18℃,则10月份的平均气温值为.

【答案】20.5

【解析】

JT

角军：据题意得28=〃+4，18=a+/cos--(12—6)—a—A

_6_

解得。=23,A=5

所以y=23+5cos—(x-6)

6_

令x=10得y=23+5cos-(10-6)=23+5cos—=20.5

_6J3

故答案为：20.5

四、解答题：(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.如图，某地一天从4~18时的温度变化曲线近似满足/(x)=Nsin(0x+e)+6,其中/＞0,。＞0,

G<(p<兀.

⑴求A,b,o),9；

(2)求这一天4~12时的最大温差近似值.

参考数据：收=1.4，＞/3»1.7.

【答案】见解析

【解析】⑴由图象可知：/(力皿=30,/(")1nbi=1°,/(力最小正周期＞=2x(14-6)=16,

•A='⑴/ax-/Qin=］(),°=/(')max+/("L=2(),(O=~•

22T8

•.•/'(14)=10sin(2xl4+9)+20=30,/.sin(/+e)=1,

/jrjrSjr

--\-(p=—+2k/r(ZreZ),解得：(p=-—+2k兀(kwZ),

,八

又0＜夕＜乃，:.(p=——3TT.

4

(2)由图象可知：/(x)在［4,6)上单调递减，在(6,12］上单调递增，

；JUL="6)=10,/(x)1rax=/(12)=10s吟+20=5/2+20,

~f(x}=10+572-10+5x1.4=17,

"\＞max，\/min

即这一天4~12时的最大温差近似值为17.

18.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象

征.如图是一个水车的示意图，水车的半径为3米，水车中心(即圆心8)距水面1.5米.已知水车逆时针匀

速旋转一圈的时间是80秒，以水面为x轴，过圆心8作水面的垂线80,则80所在的直线为y轴建立直角

坐标系，现将水车上的一个水斗视为点尸，点尸从出水面点A处开始计时.

y)

（i）求点p到水面的距离人（米）与时间/（秒）的函数关系式;

（2）在水轮的一圈转动中，求点尸露出水面的时长？

【答案】见解析

【解析】（1）如图所示:

过尸向x轴作垂线，垂足为E,则〃=PE=PD+1.5,

7T

.・・/•=3,80=1.5,可得/。£4=/氏4。=一，

6

由题意知，水车的角速度。=M=£,

8040

jr-jr

，经过“少转过的角度为右E,BPZPBA=^-tf

4040

406

在/XPBD中，PD=PBsmAPBD=3sin|—

（406）

点尸到水面的距高〃=3sinH7-j]+I.5.

（406）

f.（冗乃、]厂C.（7t7l\1

3sin—t+1.5=0sin—t=——

⑵令1406），即1406；2,

由题意取=得”苧，

40663

,在水轮的一周转动中，点尸露出水面的时长为与秒.

19.如图，某年某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变

化.

(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式.

(2)猜测当年3月1日该动物的种群数量.

【答案】(1)y=100sin^r-^+800.(答案不唯一)

(2)750

【解析】(1)设种群数量y关于时间t的表达式为y=/sin3f+9)+b(/>0,(o>0,b>0),

[-4+6=700,

则L,nnn'解得6=800.

[4+6=900

又周期T=2x(6-0)=12,...0哼=.,.-.>；=lOOsin^r+^+800.

又当r=6时，y=900,900=1OOsinx6+j+800,

...sin(乃+e)=l,/.sin^=-l,.・.可取夕=一],

.•.y=100sin修-5卜。。.(答案不唯一)

(2)当f=2时，^=100sin(^x2-^+800=750,即当年3月1日该动物种群数量约是750.

20.设〃x)=sin(@x+9),其中。为正整数，闸((当9=0时，函数/(x)在—上单调递增且在

-py上不单调.

(1)求正整数。的值；

(2)在①函数的图象向右平移高个单位长度所得图象对应的函数为奇函数，②函数〃x)在上的

最小值为③函数“X)的图象的一条对称轴为X=-3,这三个条件中任选一个补充在下面横线中，并

完成解答.

已知函数“X)满足,在锐角三角形/8C中，A<B,且/(/)=〃8).试问：这样的锐角三角

形/5C是否存在？若存在，求角C；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)0=2

(2)答案见解析

【解析】(1)。=0时，/(x)=sin<ax,(yeN',

jrJT

因为"1夕=0时，函数/(x)在-J.J上单调递增,

„a)7tn,,con7t...„一5

所以----.且^一<—,得0<。4-,

52522

因为。为正整数，所以。=1,或。=2,

7F7T

当。=1时，/(x)=sinx,显然在一5号上单调，不合题意,

TTTT

当。=2时，/(x)=sin2x在-不,不上不单调，符合题意，

所以3=2.

(2)选①.

函数"X)=sin(2x+夕)的图象向右平移专个单位长度所得图象对应的函数为g(x)=sin2Cx—-n-\-(p\\,

又g(x)为奇函数，则一2+9=左)，keZ,解得。=〃乃+9，kwZ,

66

又屈<g,故8=3，所以/(x)=sin(2x+1],

26k07

/(N)=/(8),B|Jsin|2J+-|=sin|2S+-|,

则24+工=28+工+2上左或21+工+28+三=乃+2左左,kwZ,

6666

即4=5+左万或4+3=工+而，GZ.

3

7T24

乂.A,8为勺内角，\\.A<B1AkA+B=—,所以。==-.

33

故这样的锐角三角形/8C不存在.

选②.

TTI

/(x)=sin(2x+s)在0,y上的最小值为-5,

因为Ml<]，所以/(x)=sin(2x+s)在0,y上的最小值为〃0)=sine=-g,

所以0=-9,所以/(x)=sin(2x一看

6

/(^)=/(5),即sin(24—看=sin(28一看

'fl77'JI

则2A=2B+2k4或24+28="+2k兀,kwZ,

6666

即4=5+%乃或/+8=左；r,左wZ,

3

2777T

又4,8为△/8c的内角，且4<8,故/+8=5，所以C=§.

故这样的锐角三角形48c存在，且C=?.

选③.

〃x）=sin（2x+e）的图象关于片-色对称，

ITTT27r

则---卜（p=—Hk7i,%wZ,解得（p-----1-kjt,AwZ,

623

又固《，故0=-?,所以/（x）=sin（2xq）,

/'（4）=/$），即sin（24-q）=sin（28-f,

ji

贝|J2Z--=2B--+2/乃或2/-—+28-—=4+2后万，AreZ,

3333

、57r

即4=3+%万或4+8=—+%乃，％wZ,

6

又48为的内角，且4<8,故4+8=7",所以C=：.

66

TT

故这样的锐角三角形/8C存在，且C=?.

21.某港口的水深丁(单位：加)是时间/(0VK24向的函数，下面是该港口的水深数据:

t/h03691215182124

y/m10139.97101310.1710

一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5/时就是安全的.

(1)若有以下几个函数模型：y=at+b,y=Asm(«jt+<p),y=ZsinM+K,你认为哪个模型可以更好地刻画了与

，之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；

(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安

全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？

【解析】⑴函数k"sinM+Kq以更好地刻画y与叱间的对应关系，

根据数据可得：3+K=7'力=3,心此

,2乃71

^•.-7=15-3=12,/.co=—=一,

T6

/.y=3sin—r+10(0</<24).

6

（2）由题意，要满足题意，需y24.5+7,

即3sin£/+10211.5(0<t<24),sin—r>—

662

...万+£,2«"+¥],%€Z,m\2k+\<t<\2k+5,keZ,

666

当左=0时，止［1,5］；当％=