安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高一下学期春季联赛数学试题（含解析）

第1页/共28页安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高一），则A∩B=()A.B.C.D.⑦2.不等式的解集为()}3.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则第2页/共28页A.B.C.D.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.定义在上的f满足对f≤6，关于x的方程f(x)2-(a+1)f(x)+a=0有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是(),A.-B.-C.D.8.已知函数的反函数为y=f-1(x)，那么g(x)=f-1(x-2)+2在[-2,6]上的最大值与最小值之和为()A.4B.2C.1D.09.以下运算中正确的有(C.2log23-30=210.下面结论正确的有() 5)A.若A，B为锐角三角形的两内角，则有sinA>cosB第3页/共28页2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)α-cos2β=cos(α+β)sin(α-β)11.若函数=Asin的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)的图象，则下列四个命题正确的是()A.函数y=f(-x)的单调递增区间是k∈ZB.直线是函数y=f(x)图象的一条对称轴D.若g(x)在[0,π]上恰有3个零点，则13.在边长为2的正△ABC中，动点P在以C为圆心且与AB边相切的圆上，满足.则λ+μ的取值范围是.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为.第4页/共28页15.某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为.垂足为点M，作AT丄OA交角θ的终边于点T.（1）请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式sin3θ（仅用含sinθ的式子表示（2）请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明cosθ<（1）求b和角B；求的取值范围.18.如图，在矩形OACB中直线CF与DE垂直，垂足为点P.第5页/共28页若=1，将用基底线性表示，并求出的最大值.线BD于点O，交边AD于点Q，现将△ABD沿BD翻折，形成四面体PBCD，如下右图.（1）求四面体PBCD外接球的体积；（2）求证：平面PBD丄平面OCQ；（3）若点G为棱BC的中点，请判断在将△ABD沿BD翻折过程中，直线PG能否平行于面OCQ.若能请求出此时的二面角P-BD-C的大小；若不能，请说明理由.20.手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：（1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替第6页/共28页（2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[40,60]的概率；（3）现在要从[20,30)和[70,80)两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为P1；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为P2；假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.21.已知函数f(x)=ax+bx-cx(a,b,c>0).f(x)，且a,b,c是一个三角形的三条边长，请写出（3）若a,b,c是一个等腰钝角三角形的三条边长且c为最长边，求证：f(x)<0在x∈[2,+∞)时恒成立.安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高一）第7页/共28页，则A∩B=()A.B.C.D.⑦【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法即可得到A,B，再利用交集含义即可.故选：C.}【答案】A【解析】【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可.故选：A3.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则第8页/共28页 21-·7-21-77-·37+·3A.B.C.D.4244【答案】A【解析】【分析】设大斜边上的高为h，根据题意给的面积公式和S△ABC=h.大斜，建立关于h的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，S△ABC=·i[小斜2.大斜2-(大斜2+小2-中斜2)2]，设大斜边上的高为h，则S△ABC=h.大斜=h，所以=h，解得h=，即大斜边上的高为.故选：AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】义判断即可.第9页/共28页2是+=-的既不充分也不必要条件，故选：D.【答案】B【解析】根据y=x的单调性判断a,b，根据y=1.6x的单调性判断b,c，进而得到答案.因为y=x在第一象限为增函数，1.3<1.6，所以a<b，因为y=1.6x在第一象限为增函数所以b<c，故选：B.6.定义在[-1,6]上的f(x)满足对≤6，关于x的方程f(x)2-(a+1)f(x)+a=0有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是()【答案】A【解析】【分析】依题意，对f(x)2-(a+1)f(x)+a=0化简得f(x)-1f(x)-a=0，即f(x)=1,f(x)=a，画出f(x)图象，结合图象即可得到答案.【详解】关于x的方程f(x)2-(a+1)f(x)+a=0可化简为f(x)-1f(x)-a=0，即f(x)=1,f(x)=a有7个不同的根，画出y=f(x)的图象，第10页/共28页观察可以看出当f(x)=1有4个不同的根，故只需f(x)=a有3个不同的根即可，所以1<a≤2.故选：A.A.-B.-C.D.【答案】D【解析】=cos及二倍角公式计算可得.第11页/共28页所以故选：D8.已知函数的反函数为y=f-1(x)，那么g(x)=f-1(x-2)+2在[-2,6]上的最大值与最小值之和为()A.4B.2C.1D.0【答案】A【解析】【分析】首先得到f(x)的单调性和奇偶性，从而得到其反函数的奇偶性和单调性，最后根据g(x)的单调性和对称性即可得到答案.因为f且函数f(x)的定义域为R，则f(x)为奇函数，因为y=4x,y=-4-x均为R上的单调增函数也为R上的增函数，根据函数与反函数关于直线y=x对称，则函数的反函数y=f-1(x)也为定义域上的奇函数、增函数，故g(x)=f-1(x-2)+2在[-2,6]上单调递增，且g(x)的关于点(2,2)对称，故选：A.第12页/共28页9.以下运算中正确的有().a-【答案】ACD【解析】【分析】根据对数运算判断A；根据根式性质以及指数运算判断B；指数和对数的运算判断C；对数的运算性质和换底公式判断D..a-0对于D，log89.log2716=log2332.log3324=log23.log，故D正确，故选：ACD.10.下面结论正确的有()A.若A，B为锐角三角形的两内角，则有sinA>cosBC.α,β∈R，sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)D.a,β∈R，cos2α-cos2β=cos(α+β)sin(α-β)【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函数单调性及诱导公式判断A，利用诱导公式及两角和的正弦公式判断B，利用和差角公式及同角三角函数的基本关系判断C、D.第13页/共28页又y=sinx在上单调递增，所以sin<sinA，即cosB<sinA，故A正确；(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=(sinαcosβ)2-(cosαsinβ)2=sin2αcos2β-cos2αsin2β1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β=sin2α-sin2β,故C正确；对于D：因为sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)，又sin2α-sin2β+(cos2α-cos2β)=0，所以cos2α-cos2β=-sin(α+β)sin(α-β)，故D错误.故选：AC个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)的图象，则下列四个命题正确的是()第14页/共28页A.函数y=f(-x)的单调递增区间是，k∈ZB.直线x=-是函数y=f(x)图象的一条对称轴D.若g(x)在[0,π]上恰有3个零点，则≤m<【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求出f(x)的解析式，求出y=f(-x)，根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A；代入y=f验证是否为对称轴判断B；当x∈时，利用周期得，结合图象得≤t+3π≤π,求出t的取值范围，判断C；根据图象变换求出g(x)，根据在[0,π]上恰有3个零点，结合图象，得到m取值范围，判断D.【详解】f(x)的最小正周期为T，由题图可得A=2,==-=，所以w=2，对于C，当x∈时，利用周期得结合函数f(x)图象，可知，对于D，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=2sin(|(2x+),|的图象,第15页/共28页再将y=2sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到g(x)的图象，因为g(x)在[0,π]上恰有3个零点，所以3π≤2mπ+<4π,得号，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数y=Asin(wx+φ)+B中参数的确定：由函数的最值可确定A,B的值；由函数与x轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期，进而可求得w的值；由函数图象与x轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得φ的值．函数的单调性利用换元法可解决.【答案】7【解析】故答案为：7.13.在边长为2的正△ABC中，动点P在以C为圆心且与AB边相切的圆上，满足则第16页/共28页λ+μ的取值范围是.【解析】λ,μ,借助三角函数求取值范围.【详解】如图，以C为坐标原建立平面直角坐标系，cosθ,sinθ)，所以λ+μ的取值范围是[0,2]，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为.【答案】##π【解析】【分析】依题意，该四面体为正方体的一部分，所以外接球为正方体的外接球，结合过M、N两点作球O的截面为圆面，求出半径即得答案.第17页/共28页【详解】则球O为该四面体还原成正方体的外接球，+22+22过球心O作OP丄MN，垂足为P，其中MN=所以经过M,N两点的球的截面α面积的最小时，-OP2此时截面的面积为故答案为：.15.某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为.【答案】【解析】【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为：第18页/共28页甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题，又每位顾客答对2题的概率为每位顾客答对3题的概率为所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为：故答案为：垂足为点M，作AT丄OA交角θ的终边于点T.（1）请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式sin3θ（仅用含sinθ的式子表示（2）请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明cosθ<【答案】（1）sin3θ=3sinθ-4sin3θ（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦和正弦公式展开即可；（2）利用S△OAP<S扇形OAP<S△OAT即可证明.【小问1详解】sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ(2cos2θ-1)+2sinθcos2θ4cos2θ-1)=sinθ.(3-4sin2θ)=3sinθ-4sin3θ【小问2详解】第19页/共28页证明cosθ<<1，即证sinθ<θ<tanθ,因为S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，则×1×sinθ<.θ<.tanθ,即sinθ<θ<tanθ,所以原不等式成立.（1）求b和角B；（2（2）求的取值范围.【解析】由正弦定理边化角，化简求得b；由得=a+c1，借助与正弦定理边化角以及三角恒等变换得=a+c1=4sin结合角A的范围，求出的取值范围.【小问1详解】由2a2bcosC=c得2sinA2sinBcosC=sinC，即2sin(B+C)2sinBcosC=sinC，2sinBcosC+2cosBsinC—2sinBcosC=sinC，即2cosBsinC=sinC，因为，所以B=解得b=2或b=-1（舍【小问2详解】第20页/共28页33(3,(6,33(3,(6,垂足为点P.（2）若}线性表示，并求出的最大值. 【解析】第21页/共28页【小问1详解】)2-【小问2详解】第22页/共28页设t=1-λ,因为λ∈所以则线BD于点O，交边AD于点Q，现将△ABD沿BD翻折，形成四面体PBCD，如下右图.（1）求四面体PBCD外接球的体积；（2）求证：平面PBD丄平面OCQ；（3）若点G为棱BC的中点，请判断在将△ABD沿BD翻折过程中，直线PG能否平行于面OCQ.若能请求出此时的二面角P-BD-C的大小；若不能，请说明理由. （2）证明见解析（3）不能，理由见解析第23页/共28页【解析】【分析】（1）取BD的中点H，连接PH、CH，根据矩形的性质可知四面体PBCD外接球的半径R=PH=即可求出外接球的体积；（3）过点P作PE丄BD交BD于点E，连接EG，即可证明PE//平面OCQ，再假设PG//平面OCQ，即可得到平面PGE//平面OCQ，由面面平行的性质得到EG//OC，推出矛盾，即可得解.【小问1详解】取BD的中点H，连接PH、CH，因为四边形ABCD是矩形，所以四面体PBCD外接球的半径R=PH=所以四面体PBCD外接球的体积【小问2详解】所以BD丄平面OCQ，又因为BD平面PBD，所以平面PBD丄平面OCQ；【小问3详解】第24页/共28页-CO2过点P作PE丄BD交BD于点E，连接EG，易知PE=OC=且PE//OQ，PE丈平面OCQ，OQ平面OCQ，所以PE//平面OCQ，假设PG//平面OCQ，又PG∩PE=P，PG,PE平面PGE，所以平面PGE//平面OCQ，因为平面PGE∩平面BCD=EG，平面BCD∩平面OCQ=OC，所以EG//OC，又点G为棱BC的中点，所以点E为线段BO的中点，所以BE≠BO，即点E不是线段BO的中点，故假设不成立，所以在将△ABD沿BD翻折过程中，直线PG不能平行于面OCQ.20.手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：第25页/共28页（1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替（2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[40,60]的概率；（3）现在要从[20,30)和[70,80)两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为P1；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为P2；假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.（3）方案一较好，理由见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）根据频率分布直方图求出年龄位于区间[40,60]的