高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲抛物线知能训练轻松闯关文北师大版

PAGE第6讲抛物线1．(2016·合肥质量检测)抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))解析：选D.抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).2．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为eq\f(3,2)，O为坐标原点，则△MFO的面积为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：选B.由题意知，抛物线准线方程为x＝－eq\f(1,2).设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为eq\f(3,2)，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±eq\r(2)，所以S△MFO＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),4).3．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，±\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，±1))解析：选A.设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝eq\f(1,4)，代入y2＝2x，得yP＝±eq\f(\r(2),2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),2))).4．直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A．y2＝12x B．y2＝－8xC．y2＝6x D．y2＝－4x解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可得|x1|＋|x2|＋p＝8，又AB的中点到y轴的距离为2，即|x1|＋|x2|＝4，所以p＝4，所以y2＝－8x.故选B.5．(2016·云南省第一次检测)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－12，那么抛物线C的方程为()A．x2＝8y B．x2＝4yC．y2＝8x D．y2＝4x解析：选C.由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋eq\f(p,2)，联立得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1＋\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my2＋\f(p,2)))＋y1y2＝m2y1y2＋eq\f(pm,2)(y1＋y2)＋eq\f(p2,4)＋y1y2＝－eq\f(3,4)p2＝－12⇒p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.6．(2016·衡水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置()A．在C1开口内 B．在C1上C．在C1开口外 D．与p值有关解析：选B.设Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，m))，由已知有AB中点的横坐标为eq\f(p,2)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，m))，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)－\f(p,2)))\s\up12(2)＋m2)＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±eq\r(3)p，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，±\r(3)p))，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B.7．(2016·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．解析：设抛物线方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8.所以抛物线方程是x2＝－8y.答案：x2＝－8y8．(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.所以x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)将其坐标代入x2＝－2y，得xeq\o\al(2,0)＝6，所以x0＝eq\r(6).所以水面宽|CD|＝2eq\r答案：2eq\r(6)9．(2016·南昌质检)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq\r(6).因为eq\r(6)>2，所以A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－eq\f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为eq\f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值为eq\f(7,2)，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P的坐标为(2，2)．答案：(2，2)10．(2016·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为4eq\r(5)，则抛物线方程为________．解析：由双曲线方程5x2－y2＝20知其渐近线方程为y＝±eq\r(5)x，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，故其准线方程为x＝－eq\f(p,2)，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A，B，则不妨令Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(5),2)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(5),2)p))，故S△ABO＝eq\f(1,2)×eq\r(5)p×eq\f(p,2)＝eq\f(\r(5),4)p2＝4eq\r(5)，解得p2＝16，又因为p>0，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x.答案：y2＝8x11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝eq\f(4,3)，因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4).又FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，①MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，②联立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，所以点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).1．已知抛物线x2＝2y，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：由x2＝2y，得y＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以抛物线在P，Q两点处的切线的斜率分别为x1，x2，所以过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，又xeq\o\al(2,1)＝2y1，所以切线方程为y＝x1x－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)，同理可得过点Q的切线方程为y＝x2x－eq\f(xeq\o\al(2,2),2)，两切线方程联立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＝\f(x1＋x2,2)，,yA＝\f(x1x2,2).))又抛物线焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝mx＋eq\f(1,2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝mx＋\f(1,2)，,x2＝2y，))得x2－2mx－1＝0，所以x1x2＝－1，所以yA＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)2．已知圆C过定点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))，且与直线x＝eq\f(1,4)相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．(1)求曲线E的方程；(2)当△OAB的面积等于eq\r(10)时，求k的值．解：(1)由题意，点C到定点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))和直线x＝eq\f(1,4)的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.(2)由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝－x，,y＝k（x＋1），))消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有y1＋y2＝－eq\f(1,k)，y1y2＝－1.设直线l与x轴交于点N，则N(－1，0)．所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq\f(1,2)|ON||y1|＋eq\f(1,2)|ON||y2|，＝eq\f(1,2)|ON||y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))\s\up12(2)＋4).因为S△OAB＝eq\r(10)，所以eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))\s\up12(2)＋4)＝eq\r(10)，解得k＝±eq\f(1,6).3．(2016·石家庄一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且与直线x＝－eq\f(1,2)相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设P是曲线E上的动点，点B，C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．解：(1)由题意可知圆心到eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离等于到直线x＝－eq\f(1,2)的距离，由抛物线的定义可知圆心的轨迹方程为y2＝2x.(2)设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，直线PB的方程为(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，又圆心(1，0)到PB的距离为1，eq\f(|y0－b＋x0b|,\r(（y0－b）2＋xeq\o\al(2,0)))＝1，整理得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，同理可得(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x