高中数学 第3章数系的扩充与复数的引入章末测试 苏教版选修2-2

章末质量评估(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上)1．下列命题正确的是________．(填序号)①纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；②复数z是实数的充要条件是z＝eq\x\to(z)；③复数z是纯虚数的充要条件是z＋eq\x\to(z)＝0；④i＋1的共轭复数是i－1.答案②2．复数z1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P、Q，则向量eq\o(PQ,\s\up6(→))对应的复数是________．解析eq\o(PQ,\s\up6(→))：z2－z1＝2－i3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2＝2＋i＋1＝3＋i.答案3＋i3．已知复数z1＝x＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数x的取值范围是________．解析∵|z2|＝eq\r(5)，∴x2＋4＜5，∴x2＜1，∴－1＜x＜1.答案(－1,1)4．已知复数z＝1－i，则eq\f(z2,z－1)＝________.解析∵z＝1－i，∴z2＝－2i，又z－1＝1－i－1＝－i，则eq\f(z2,z－1)＝eq\f(－2i,－i)＝2.答案25．已知z1＝3－4i，z2＝－7－2i，z1，z2对应点分别为P1、P2，则eq\o(P2P1,\s\up6(→))对应复数为________．解析∵eq\o(P2P1,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))－eq\o(OP2,\s\up6(→))，∴eq\o(P2P1,\s\up6(→))对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－7－2i)＝(3＋7)－(4－2)i＝10－2i.答案10－2i6．复数z＝eq\f(2i,1＋i)的共轭复数eq\x\to(z)＝________.解析z＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝i(1－i)＝1＋i.∴eq\x\to(z)＝1－i.答案1－i7．设eq\f(x,1＋i)＝eq\f(3,2－i)＋eq\f(y,1－i)(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.解析由已知可得eq\f(x1－i,1＋i1－i)＝eq\f(32＋i,2－i2＋i)＋eq\f(y1＋i,1－i1＋i)，所以eq\f(x1－i,2)＝eq\f(6＋3i,5)＋eq\f(y＋yi,2)，即eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i＝eq\f(6,5)＋eq\f(y,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋\f(y,2)))i.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(6,5)＋\f(y,2)，,－\f(x,2)＝\f(3,5)＋\f(y,2).))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝－\f(9,5).))答案eq\f(3,5)－eq\f(9,5)8．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m解析由已知得log2(m2－3m－3)－2log2(m∴log2eq\f(m2－3m－3,m－32)＝－1，∴eq\f(m2－3m－3,m－32)＝eq\f(1,2)，解得m＝±eq\r(15)，而m>3，∴m＝eq\r(15).答案eq\r(15)9．已知z是纯虚数，eq\f(z＋2,1－i)是实数，那么z＝________.解析设z＝yi(y∈R，且y≠0)，则eq\f(yi＋2,1－i)＝eq\f(2－y＋y＋2i,2)∈R，∴2＋y＝0，即y＝－2，∴z＝－2i.答案－2i10．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.解析(1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2由题意知：m2－3m即m＝1或m＝2时，z是实数．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－3m－2＝0，,m2－3m＋2≠0，))解得m＝－eq\f(1,2).∴当m＝－eq\f(1,2)时，z是纯虚数．答案(1)1或2(2)－eq\f(1,2)11．已知eq\f(m,1－i)＝1＋i，其中m是实数，i是虚数单位，则在复平面内复数－1＋mi对应的点在第________象限．解析∵m＝(1＋i)(1－i)＝2，∴－1＋mi＝－1＋2i，故其对应的点在第二象限．答案二12．设f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈Z)，则值域中元素有________个．解析f(n)＝in＋(－i)n，n取特殊值1,2,3,4，可得相应的值．f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2.答案313．若复数z＝eq\f(2i,1－i)，则|eq\x\to(z)＋3i|＝________.解析∵z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,2)＝－1＋i.∴eq\x\to(z)＝－1－i，∴|eq\x\to(z)＋3i|＝|－1＋2i|＝eq\r(5).答案eq\r(5)14．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若eq\f(z1,z2)为实数，则实数m＝________.解析eq\f(z1,z2)＝eq\f(m＋2i,3－4i)＝eq\f(m＋2i3＋4i,25)＝eq\f(3m－8＋6＋4mi,25)是实数，∴6＋4m＝0，即m＝－eq\f(3,2).答案－eq\f(3,2)二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)eq\f(2＋2i4,1－\r(3)i5)；(2)eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2012.解(1)eq\f(2＋2i4,1－\r(3)i5)＝eq\f(241＋i4,－2－2\r(3)i21－\r(3)i)＝eq\f(242i2,161＋\r(3)i)＝－1＋eq\r(3)i.(2)eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))2012＝eq\f(－2\r(3)＋ii,1＋2\r(3)ii)＋eq\f(21006,－2i1006)＝eq\f(－2\r(3)＋ii,i－2\r(3))＋eq\f(1,i1006)＝i－1.16．(本小题满分14分)已知z是复数，z＋2i，eq\f(z,2－i)均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，所以y＝－2.因为eq\f(z,2－i)＝eq\f(x－2i,2－i)＝eq\f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq\f(1,5)(2x＋2)＋eq\f(1,5)(x－4)i，且eq\f(z,2－i)为实数，所以x＝4，所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a根据条件，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋4a－a2＞0，,8a－2＞0，))解得2＜a＜6.所以实数a的取值范围是(2，－6)．17．(本小题满分14分)在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解如图所示：eq\o(AC,\s\up6(→))对应复数z3－z1，eq\o(AB,\s\up6(→))对应复数z2－z1，eq\o(AD,\s\up6(→))对应复数z4－z1，由复数加减运算的几何意义得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，∴AD的长为|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2eq\r(10).18．(本小题满分16分)若f(z)＝2z＋eq\x\to(z)－3i，f(eq\x\to(z)＋i)＝6－3i，求f(－z)．解∵f(z)＝2z＋eq\x\to(z)－3i，∴f(eq\x\to(z)＋i)＝2(eq\x\to(z)＋i)＋z－i－3i＝2eq\x\to(z)＋z－2i.又f(eq\x\to(z)＋i)＝6－3i，∴2eq\x\to(z)＋z－2i＝6－3i.设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴2(x－yi)＋x＋yi－2i＝6－3i，即3x－yi－2i＝6－3i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝6，,－y－2＝－3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))∴z＝2＋i，∴f(－z)＝－2z－eq\x\to(z)－3i＝－2(2＋i)－(2－i)－3i＝－6－4i.19．(本小题满分16分)复数z满足|z＋3－eq\r(3)i|＝eq\r(3)，求|z|的最大值和最小值．解析法一|z＋3－eq\r(3)i|≥||z|－|3－eq\r(3)i||，又∵|z＋3－eq\r(3)i|＝eq\r(3)，|3－eq\r(3)i|＝eq\r(12)＝2eq\r(3)，∴||z|－2eq\r(3)|≤eq\r(3)，即eq\r(3)≤|z|≤3eq\r(3)，∴|z|的最大值为3eq\r(3)，最小值为eq\r(3).法二|z＋3－eq\r(3)i|＝eq\r(3)表示以－3＋eq\r(3)i对应的点P为圆心，以eq\r(3)为半径的圆，如图所示．则|OP|＝|－3＋eq\r(3)i|＝eq\r(12)＝2eq\r(3)，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋eq\r(3)＝3eq\r(3)，|z|min＝|OB|＝|OP|－eq\r(3)＝eq\r(3).20．(本小题满分16分)已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹；(2)求方程实根的取值范围．解(1)设实根为t0，则teq\o\al(2,0)＋(2＋i)t0＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)，即(teq\o\al(2,0)＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0，根据复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2,0)＋2t0＋2xy＝0，①,