高中数学 5.1.1 归纳规范训练 湘教版选修1-2

5.1.1归纳eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()．A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大解析周期为5,36＝7×5＋1，第一个是白色．答案A2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为()．A．n B．n＋1C．2n D．2n－1解析集合{a1}的子集有∅，{a1}共两个，{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个，集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测n个元素的集合的子集有2n个，故选C.答案C3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析由数塔运算积的知识易得B为真．答案B4．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律为________．解析左边第n个式子首项是n，共2n－1个连续的正整数的和，右边为(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)5．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.答案6356．设Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．解n＝1,2,3,4时，S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，S4＝eq\f(4,5).猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1).证明如下：eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．设n是自然数，则eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()．A．一定是零 B．不一定是整数C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数解析当n＝0时，值为0.当n＝1时，值为0，当n＝2时，值为0，当n＝3时，值为2，当n＝4时，值为0，当n＝5时，值为6.答案C8．(·江西)观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为 ()．A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析55＝3125,56＝15625,57＝78125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125,510的末四位数字为5625，511的末四位数字为8125,512的末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，∴52011＝54×501＋7末四位数字为8125.答案D9．(·山东)设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.解析先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.∴fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案eq\f(x,2n－1x＋2n)10．(·陕西)观察下列等式：13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102……，根据上述规律等五个等式为________．解析由已知得：13＋23＝(1＋2)213＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，……所以第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212即：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212答案13＋23＋33＋43＋53＋63＝21211．观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin30°·cos60°＝eq\f(3,4)，sin240°＋cos270°＋sin40°·cos70°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°·cos45°＝eq\f(3,4).…写出反映一般规律的等式，并给予证明．解反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cosα·cos30°－sinα·sin30°)2＋sinα·(cosαcos30°－sinα·sin30°)＝sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(1,2)sinα))2＋eq\f(\r(3),2)sinα·cosα－eq\f(1,2)sin2α＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinα·cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα·cosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)(sin2α＋cos2α)＝eq\f(3,4).12．(创新拓展)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)，n∈N＋，求a2，a3，a4并猜想数列的通项公式，并给出证明．解在{an}中a1＝1，a2＝eq\f(2a1,2＋a1)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2a2,2＋a2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，a4＝eq\f(2a3,2＋a3)＝eq\f(2,5)，…，所以猜想{an}的通项公式an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N＋)．此猜想正确．证明如下：因为a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2＋an,2an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)