高中数学 3.2 数学证明同步练习 北师大版选修1-2

§2数学证明eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．“指数函数y＝ax(a＞1)是增函数，y＝xα(α＞1)是指数函数，所以y＝xα(α ＞1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是 ()． A．推理完全正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．推理形式不正确 解析y＝xα(α＞1)并非指数函数，犯偷换概念的错误，故选C. 答案C2．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是 ()． A．① B．② C．③ D．①和② 解析①是大前提，②是小前提，③是结论． 答案B3．“在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，求证∠ADE＝∠ABC”中， 包含了________层三段论推理 ()． A．1 B．2 C．3 D．4 解析三角形的中位线平行于底边， (大前提) AD＝DB，AE＝CE， (小前提) ∴DE∥AB， (结论) 两直线平行，同位角相等， (大前提) ∠ADE与∠ABC为同位角， (小前提) ∴∠ADE＝∠ABC， (结论) 故含有两层三段论推理，选B. 答案B4．补充下列推理的三段论： (1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且 ________，所以b＝8. (2)因为________________，又因为e＝2.71828…是无限不循环小数，所 以e是无理数． 答案(1)a＝－8(2)无限不循环小数是无理数5．由“(a2＋a＋1)x＞3，得x＞eq\f(3,a2＋a＋1)”的推理过程中，其大前提是 ________． 解析∵a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0， ∴(a2＋a＋1)x＞3⇒x＞eq\f(3,a2＋a＋1). 其前提依据为不等式的乘法法则： a＞0，b＞c⇒ab＞ac 答案a＞0，b＞c⇒ab＞ac6．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确． (1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c与向量d平行，所以c＝λd. (2)指数函数y＝ax(0＜a＜1)是减函数，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是指数函数，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) x是减函数． 解(1)大前提：a∥b一定有a＝λb(λ∈R)， 小前提：向量c与向量d平行， 结论是错误的，原因是大前提错误．因为当a≠0，b＝0时a∥b，这时 找不到实数λ使得a＝λb. (2)大前提：指数函数y＝ax(0＜a＜1)是减函数， 小前提：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是指数函数， 结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的少常数项的二次函 数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列”．上述推理中 ()． A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．正确 解析符合三段论的推理，故选D. 答案D8．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面上任一点，动点P满足 eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))](λ∈R，且λ≠0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的 ()． A．内心 B．垂心 C．重心 D．AB边的中点 解析λ≠0时，设AB的中点为D. eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))] ＝eq\f(1,3)[(1－λ)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))] ＝eq\f(1,3)[2(1－λ)eq\o(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]， 因为eq\f(2,3)(1－λ)＋eq\f(1,3)(1＋2λ)＝1. ∴P，D，C共线，即P点的轨迹为直线DC，故选D. 答案D9．α＜0，幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由“三段论”可得结论________． 解析“三段论”的结论是蕴涵于前提下的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案． 答案y＝x－2在区间(0，＋∞)上是减函数10．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝eq\r(2)，求得AC＝1时其大前提为 ________． 解析在△ABC中， eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)(大前提) 在△ABC中，A＝105°，C＝45°， AB＝eq\r(2)，(小前提) ∴eq\f(\r(2),sin45°)＝eq\f(AC,sin180°－105°－45°)， ∴AC＝1.(结论) 答案eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)11．在梯形ABCD中，如图，已知AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角 线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA. 解∵等腰三角形两底角相等，(大前提) △ACD是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提) ∴∠1＝∠2.(结论) ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等(大前提) ∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角(小前提) ∴∠1＝∠3.(结论) ∵等于同一个角的两个角相等，(大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3.(结论) ∴AC平分∠BCD. 同理，DB平分∠CBA.12．(创新拓展)小明是一名高二年级的学生，17周岁，迷恋上网络，沉迷于 虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，他便向父母要钱，但这仍 然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人索取钱财．被抓捕后， 小明却说自己是未成年人，而且就抢了50元，不能构成犯罪．如果你是 法官，你会如何判决呢