高中数学 2.3第1课时数学归纳法同步检测 苏教版选修2-2

2.3第1课时数学归纳法eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.答案52．若f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)，则n＝1时，f(1)是________．解析由于n＝1代入eq\f(1,2n＋1)得eq\f(1,3)，所以f(1)的右端为从1加到eq\f(1,3).答案1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)3．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n＋1)(n∈N*)，从“k到k＋1”解析当n＝k时左端为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，即(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．观察比较它们的变化知增乘了eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．答案2(2k＋1)4．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1)”，在验证n＝1时，左端计算所得项为________．解析把n＝1代入an＋1得a2，所以左端的式子为从1加到a2为止．故为1＋a＋a2.答案1＋a＋a25．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)26．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中∈N＋)．证明(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)2＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π8．等式12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(5n2－7n＋4,2)，以下说法正确的是________(只填序号)．①仅当n＝1时成立②仅当n＝1,2,3时成立③仅当n＝1,2成立④n为任何自然数都成立解析当n＝1、2、3时，等式两边相等，n＝4时，左边＝30，右边＝28.等式不成立．答案②9．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是________(只填序号)．①P(6)成立则P(5)成立②P(6)成立则P(4)成立③P(4)成立则P(6)成立④对所有正整数n，P(n)都成立解析由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立．所以P(4)成立，则P(6)成立．答案③10．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形中共有________个顶点．解析当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，故第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，∴第n－2个图形共有顶点n(n＋1)个．答案n(n＋1)11．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝eq\f(1,3)×1×(4×1－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)，则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]＝eq\f(1,3)(2k＋1)(2k2＋5k＋3)＝eq\f(1,3)(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)(4k2＋8k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)[4(k＋1)2－1]，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)，(2)可知，对一切n∈N*等式成立．12．观察下列各式：1＝122＋3＋4＝323＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72试猜测一般结论，并用数学归纳法证明．解由题给的表达式，猜测一般结论为n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由题设条件知，显然成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.则当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋(k＋1＋1)＋…＋(3k－2)]＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝(2k－1)2－k＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2，右边＝[2(k＋1)－1]2＝(2k＋1)2，左边＝右边．故n＝k＋1时，命题也成立．由数学归纳法知，结论成立．13．(创新拓展)设正数数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))，试推测出an的表达式，并用数学归纳法加以证明．解∵S1＝a1，∴a1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，解得正数a1＝1.∵a1＋a2＝S2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，∴2＋a2＝eq\f(1,a2)，即aeq\o\al(2,2)＋2a2－1＝0.解得a2＝eq\r(2)－1.∵S2＋a3＝S3，即eq\r(2)＋a3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))，∴aeq\o\al(2,3)＋2eq\r(2)a3－1＝0，解得a3＝eq\r(3)－eq\r(2).观察a1＝1，a2＝eq\r(2)－1，a3＝eq\r(3)－eq\r(2)，猜想an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，由以上知猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝eq\r(k)－eq\r(k－1).由Sk＋ak＋1＝Sk＋1，有eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak)))＋ak＋1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))，即eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\r(k－1)＋\f(1,\r(k)－\r(k－1))))＋ak＋1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs