9.1.1离散型随机变量（练习）（解析版）

9.1.1离散型随机变量同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．下面是离散型随机变量的是（

）A．电灯泡的使用寿命XB．小明射击1次，击中目标的环数XC．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值XD．一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X【答案】B【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可.【详解】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；对于B，小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0,1,2,...,10，故X为离散型随机变量，故B符合题意；对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；对于D，一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.故选：B.2．袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（

）A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数【答案】B【分析】由离散型随机变量的定义即可得出结论.【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个，ACD错误；故选：B.3．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选：C4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则ξ=3表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，即得.【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ=3表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．5．下列说法正确的是（

）A．离散型随机变量的均值是0,1上的一个数B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平C．若离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=4D．离散型随机变量X的均值E(X)=【答案】B【分析】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；由离散型随机变量的均值为E(X)=i=1【详解】对于A，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在0,1上，故A错误，对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，故B正确，对于C，离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=2E(X)+1=5，故C错误，对于D，离散型随机变量X的均值E(X)=i=1故D错误．故选：B．6．在下列表述中不是离散型随机变量的是（

）①某机场候机室中一天的旅客数量X；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；

④某立交桥一天经过的车辆数X．A．①中的X B．②中的X C．③中的X D．④中的X【答案】C【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案.【详解】①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.故选：C7．下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性【答案】C【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.8．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）A．两次掷出的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次与第二次掷出的点数之差D．两次掷出的点数【答案】D【分析】根据随机变量的定义，结合试验结果，逐项判定，即可求解.【详解】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量，D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量．故选：D.9．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】根据题意，结合比赛得分规则，分析甲得3分的情况，即可求解.【详解】由题意知，甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，其中甲得3分，有两种情况：甲赢一局输两局，甲得分为3分；甲、乙平局三次，甲得分为3分.所以{ξ＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选：D.10．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（

）A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点【答案】D【分析】由随机变量的意义可解.【详解】A表示的是随机试验中ξ=8的其中一个结果，B，C中表示的是随机试验中ξ=4的部分结果，而D是代表随机试验中ξ=4的所有试验结果.故选：D.二、填空题11．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是．【答案】0,1,2,3【详解】∵在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，∴在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是0，1，2，3.故答案为0，1，2，3.12．从标有1∼10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有个．【答案】17【分析】根据题意，分析可得X的最小值为3，最大值为19，且X∈N【详解】根据题意，从标有1∼10的10支竹签中任取2支，当取出的2支标有1和2时，X的值最小，此时X=3，当取出的2支标有9和10时，X的值最大，此时X=19，X的可能取值为3，4，5，…，19，共17个．故答案为：17.13．10件产品中有2件次品，从中任取2件，其中次品数ξ的所有可能取值是．【答案】0，1，2【分析】根据题意结合随机事件变量的定义可解．【详解】题意可得，次品数ξ的取值最小为0，最大为2，且ξ为自然数，所以次品数ξ的所有可能取值是0，1，2.故答案为：0，1，2.14．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的可能取值是．（用集合表示）【答案】2,3,4,5,6,7,8,9,10【分析】本题考查随机变量的取值问题，注意题目中球是有放回的，结合列表法分析说明，【详解】因为两球号码和可出现同号相加，如下表所示：一二123451234562345673456784567895678910所以X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10.故答案为：2,3,4,5,6,7,8,9,10.15．下列随机变量中是离散型随机变量的是，是连续型随机变量的是（填序号）．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某水文站观察到一天中江水的水位X；③某景区一日接待游客的数量X；④某大桥一天经过的车辆数X.【答案】①③④②【分析】利用离散型随机变量的定义与连续型随机变量的定义判断求解．【详解】①③④中的随机变量X的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量．故答案为：①③④，②三、解答题16．先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω．(1)借助合适的符号，用列举法写出样本空间Ω；(2)求出随机变量X的取值范围．【答案】(1)Ω(2)0,1,2【分析】（1）根据生活经验列举可能结果即可；（2）由可能出现的结果直接写出随机变量的取值即可.【详解】（1）用F、则样本空间Ω={FF,FZ,ZF,ZZ}（2）因为有可能没有硬币正面朝上，也有可能恰有一个硬币正面朝上，还有可能两个硬币都正面朝上，因此X的取值范围是0,1,2．17．写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:（1）盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ;（2）从4张已编号(1~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）由题意，白粉笔和红粉笔的数量都大于3支，所以任取三支，可能都是白粉笔也可能都是红粉笔，所以ξ可取0,1,2,3，从而即可求解；（2）任取两张卡片，卡片不能重复，所以取得最小值是两个最小整数相加的和，最大取值是最大的两个整数相加的和，中间数字都能取到，从而即可求解.【详解】解：（1）ξ可取0,1,2,3.ξ=i表示取出i支白粉笔，3-i支红粉笔，其中i=0,1,2,3.（2）ξ可取3,4,5,6,7.其中ξ=3表示取出编号为1,2的两张卡片；ξ=4表示取出编号为1,3的两张卡片；ξ=5表示取出编号为2,3或1,4的两张卡片；ξ=6表示取出编号为2,4的两张卡片；ξ=7表示取出编号为3,4的两张卡片.18．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．在含有8件次品的50件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量．【答案】答案见解析【分析】由题设知X的可能值为{0,1,2,3,4}，结合题设描述写出对应X值所表示的含义即可.【详解】随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4．X=0表示“抽取0件次品”；X=1表示“抽取1件次品”；X=2表示“抽取2件次品”；X=3表示“抽取3件次品”；X=4表示“抽取的全是次品”．19．在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某同学跑1km(1)X是不是随机变量？(2)若只关心该同学能否取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？【答案】(1)是连续型随机变量；(2)具体见解析.【分析】（1）根据随机变量的定义即可得到答案；（2）记测试优秀为“1”，否则为“0”，进而定义随机变量Y只取0或1即可.【详解】（1）由随机变量的定义可知，X是连续型随机变量.（2）记测试优秀为“1”，否则为“0”，则定义随机变量Y=能力进阶能力进阶20．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值;(2)写出ξ=1所表示的事件.【答案】(1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3(2)ξ=1表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”【分析】（1）（2）利用离散型随机变量的定义即可求解.【详解】（1）因为一共有9个正品，3个次品零件，所以取得正品前已取出的次品数可能为0,1,2,3，即ξ的所有可能取值为0,1,2,3.（2）依题意，可知ξ=1表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”.21．下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)一瓶果汁的容量为500±2mL.【答案】(1)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析(2)是随机变量，也是