2019-2020学年高中数学课时分层作业13用样本的数字特征估计总体的数字特征含解析新人教B版必修

PAGE课时分层作业(十三)用样本的数字特征估计总体的数字特征(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90C[平均分为eq\f(1,10)(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.由众数的定义可知众数为85，中位数为85.]2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙；标准差分别是s甲，s乙，则有()A.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，s甲＞s乙B.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，s甲＜s乙C.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，s甲＞s乙 D．eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，s甲＜s乙C[观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．]3．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是eq\x\to(x)＝2，方差是eq\f(1,3)，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数和方差分别为()A．2，eq\f(1,3) B．2,1C．4，eq\f(1,3) D．4,3D[平均数为eq\x\to(x′)＝3eq\x\to(x)－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×eq\f(1,3)＝3.]4．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为()A．6 B.eq\r(6)C．66 D．6.5A[∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,11)(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝eq\f(1,11)(61＋x)＝6，∴x＝5.方差为：s2＝eq\f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11)＝eq\f(66,11)＝6.]5．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是()A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次的总体平均数与标准值接近程度不能确定A[eq\x\to(x)甲＝eq\f(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639,5)＝0.617，eq\x\to(x)乙＝eq\f(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620,5)＝0.613，∴eq\x\to(x)甲与0.618更接近．]二、填空题6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x＝________.21[由题意知eq\f(x＋23,2)＝22，则x＝21.]7．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是____________，成绩较为稳定的是________．甲甲[eq\x\to(x)甲＝70，eq\x\to(x)乙＝68，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋12＋22)＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×(52＋12＋12＋32)＝7.2.]8．某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：鞋号3435363738394041数量/双259169532如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是________．①平均数；②众数；③中位数；④方差．②[鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据的众数为37.]三、解答题9．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩．[解](1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.020×10＝0.04＋0.06＋0.20＝0.30，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.030×10＝0.30,0.3＋0.3＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，故中位数应约为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.020×10)＋75×(0.030×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？[解](1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\x\to(x)乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．[等级过关练]1．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．以上说法正确的是()A．③④ B．①②④C．②④ D．①③A[甲的中位数为81，乙的中位数为87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分eq\x\to(x)′＝eq\f(1,6)(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.]2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A．平均数 B．众数C．中位数 D．方差C[判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．]3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(8,9))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(77,4010x91))则7个剩余分数的方差为________．eq\f(36,7)[根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则eq\f(1,7)×[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，∴x＝4，∴s2＝eq\f(1,7)×[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).]4．若40个数据的平方和是56，平均数是eq\f(\r(2),2)，则这组数据的方差是________，标准差是________．0.9eq\f(3\r(10),10)[设这40个数据为xi(i＝1,2，…，40)，平均数为eq\x\to(x).则s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x40－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\x\to(x)2－2eq\x\to(x)(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9，∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).]5．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5]，2.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？[解](1)频率分布表分