高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关文北师大版

PAGE第8讲直线与圆锥曲线的位置关系1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)＞2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).3．双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4eq\r(3)，则双曲线C1的实轴长为()A．6 B．2eq\r(6)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：选D.设双曲线C1的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意可知抛物线C2的焦点为(3，0)，准线方程为x＝－3，即双曲线中c＝3，a2＋b2＝9，将x＝－3代入双曲线方程，解得y＝±eq\f(b,a)eq\r(9－a2)，又抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4eq\r(3)，所以2×eq\f(b,a)eq\r(9－a2)＝4eq\r(3)，与a2＋b2＝9联立得，a2＋2eq\r(3)a－9＝0，解得a＝eq\r(3)，故双曲线C1的实轴长为2eq\r(3)，故选D.4．经过椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)或－3 D．±eq\f(1,3)解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程eq\f(x2,2)＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝eq\f(4,3)，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3).5．(2016·太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F(0，5eq\r(2))的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为eq\f(1,2)，则该椭圆方程为()A.eq\f(2x2,75)＋eq\f(2y2,25)＝1 B.eq\f(x2,75)＋eq\f(y2,25)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,75)＝1 D.eq\f(2x2,25)＋eq\f(2y2,75)＝1解析：选C.由已知得c＝5eq\r(2)，设椭圆的方程为eq\f(x2,a2－50)＋eq\f(y2,a2)＝1，联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2－50)＋\f(y2,a2)＝1，,y＝3x－2，))消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(12（a2－50）,10a2－450)，由题意知x1＋x2＝1，即eq\f(12（a2－50）,10a2－450)＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1，故选C.6．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为eq\f(4,3)的直线交抛物线于A，B两点，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))(λ＞1)，则λ的值为()A．5 B．4C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,2)解析：选B.根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－x1，－y1))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)，y2))，故－y1＝λy2，即λ＝eq\f(－y1,y2).设直线AB的方程为y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立直线与抛物线方程，消元得y2－eq\f(3,2)py－p2＝0.故y1＋y2＝eq\f(3,2)p，y1·y2＝－p2，eq\f(（y1＋y2）2,y1·y2)＝eq\f(y1,y2)＋eq\f(y2,y1)＋2＝－eq\f(9,4)，即－λ－eq\f(1,λ)＋2＝－eq\f(9,4).又λ＞1，故λ＝4.7．(2016·宜宾模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得|PF2|＝eq\f(b2,a)，又|F1F2|＝|PF2|，所以2c＝eq\f(b2,a)，因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±eq\r(2)，又0<e<1，所以e＝eq\r(2)－1.答案：eq\r(2)－18．(2016·辽宁省大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2（x－1），,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1x2＝0.则|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(（1＋22）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(2)－4×0)))＝eq\f(5\r(5),3).答案：eq\f(5\r(5),3)9．(2014·高考江西卷)过点M(1，1)作斜率为－eq\f(1,2)的直线与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))所以eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＋eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)＝0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因为eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,2)，所以a2＝2b2.又因为b2＝a2－c2，所以a2＝2(a2－c2)，所以a2＝2c2所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)10．已知双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足条件的l的条数为________．解析：因为a2＝4，b2＝5，c2＝9，所以F(3，0)，若A，B都在右支上，当AB垂直于x轴时，将x＝3代入eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1得y＝±eq\f(5,2)，所以|AB|＝5，满足题意；若A，B分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB|＝5的直线有2条，且关于x轴对称．综上，一共有3条．答案：311．(2016·北京模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，椭圆的短轴端点与双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围．解：(1)由题意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，所以a2＝eq\f(4,3)b2.因为双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的焦点坐标为(0，±eq\r(3))，所以b＝eq\r(3)，所以a2＝4，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,3x2＋4y2＝12))⇒(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．因为y1＋y2＝－eq\f(24m,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(36,3m2＋4)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝eq\f(116,3m2＋4)－4，因为m2>4，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(13,4))).综上所述，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(13,4))).1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＜0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))解析：选A.由题意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，所以F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)．因为eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＜0，所以(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)＜0，即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)＜0.因为点M(x0，y0)在双曲线上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，所以2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)＜0，所以－eq\f(\r(3),3)＜y0＜eq\f(\r(3),3).故选A.2．(2016·衡水调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为eq\f(12\r(2),7).求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．解：(1)由题意知c＝1，2a＝eq\f(3,2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22)＝4，a＝2，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①当直线l⊥x轴时，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，△AF2B的面积为3，不符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2).可得|AB|＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2)，又圆F2的半径r＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，所以△AF2B的面积为eq\f(1,2)|AB|r＝eq\f(12|k|\r(k2＋1),3＋4k2)＝eq\f(12\r(2),7)，化简得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，所以r＝eq\r(2)，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.3．(2015·高考湖南卷)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2eq\r(6).过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2eq\r(6)，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4