2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件【课件】

第2讲

充分条件与必要条件第一章

集合与常用逻辑用语、不等式1．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的 (

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件激活思维C2．“x∈A”是“x∈A∩B”的 (

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件B3．(多选)若“x2－x－2＜0”是“－2＜x＜a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是

( )A．1 B．2C．3 D．4BCD【解析】由x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2，所以(－1，2)

(－2，a)，所以a≥2，所以实数a的值可以是2，3，4.4．已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)充分不必要【解析】因为函数f(x)是奇函数，且x1＋x2＝0，所以x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)是奇函数，且当x1＝x2＝2时，满足f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．5．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的________条件，p是q的________条件．充要【解析】必要因为q⇒s⇒r⇒q，所以r是q的充要条件．又q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件．1．充分条件、必要条件与充要条件充分聚焦知识必要充分不必要充要既不充分又不必要2．命题(补充内容)命题能够判断真假的语句原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若¬p，则¬q逆否命题：若¬q，则¬p(1)已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件充要条件的判断举题说法1【解析】A解不等式x2＞1，可得x＞1或x＜－1，则由充分不必要条件的判定可知“x＜－1”是“x2＞1”的充分不必要条件．(2)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件【解析】B1当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即由sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要不充分条件．1．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件B【解析】由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．2．“x为整数”是“2x＋1为整数”的 (

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A【解析】3．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，则“M⊆N”是“a＝0”的 (

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】若M⊆N，则a＝0或a＝－1，故“M⊆N”推不出“a＝0”；反之，若a＝0，则M⊆N.故“M⊆N”是“a＝0”的必要不充分条件．B4．已知直线l：y＝kx和圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则“k＝0”是“直线l与圆C相切”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件【解析】C(1)已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1].若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是(

B

)A．(－∞，3] B．(2，3]C．∅ D．[2，3]结合充要条件确定参数2【解析】【解析】2(2，＋∞)变式

(1)已知a∈R，且“x＞a”是“x2＞2x”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______________．[2，＋∞)【解析】由x2＞2x，得x＜0或x＞2.因为“x＞a”是“x2＞2x”的充分不必要条件，所以a≥2.变式

(2)已知p：|x－1|＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________．(0，2]【解析】已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.充要条件的证明3【解答】先证明充分性：若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立，所以“a2－b2＝1”是“a4－b4－2b2＝1”成立的充分条件．再证明必要性：若a4－b4－2b2＝1，则a4－b4－2b2－1＝0，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，所以a4－(b2＋1)2＝0，所以(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0，因为a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1成立．所以“a2－b2＝1”是“a4－b4－2b2＝1”成立的必要条件．综上，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.【解答】随堂练习1．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a＜b－1”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件B【解析】如2＜2.9，但2＞2.9－1，所以由“a＜b”推不出“a＜b－1”；由a＜b－1可得a＜b－1＜b，所以由“a＜b－1”能推出“a＜b”．所以“a＜b”是“a＜b－1”的必要不充分条件．【解析】A3．设z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“ab＜0”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件

D．充要条件A【解析】当点M在第四象限时，a＞0，b＜0，可得ab＜0；当ab＜0时，a＞0，b＜0或a＜0，b＞0.从而可判断是充分不必要条件．4．已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的 (

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件D【解析】当a＝－1，b＝4时，p不能推出q；当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分又不必要条件．【解析】(－∞，0]配套精练一、

单项选择题1．a3＋a9＝2a6是数列{an}为等差数列的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件B【解析】如果数列{an}是等差数列，则一定有a3＋a9＝2a6；反之，由a3＋a9＝2a6不一定能得到数列{an}是等差数列.故a3＋a9＝2a6是数列{an}为等差数列的必要不充分条件．A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件【解析】C【解析】C4．关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等正根的充要条件是(

)A．a＜－1 B．－1＜a＜0C．a＜0 D．0＜a＜1B【解析】5．若1＜x＜2是不等式(x－a)2＜1成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是

(

)A．[1，2) B．(1，2]C．[1，2] D．(1，2)C【解析】二、

多项选择题6．下列说法正确的是

(

)A．“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件B．“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充要条件C．“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要条件D．“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件BD7．下列选项与“x2＞x”互为充要条件的是 (

)【解析】BCx2＞x的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).对于A，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A不符合；对于B，因为2x2＞2x等价于x2＞x，解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B符合；对于D，由|x(x－1)|＝x(x－1)，得x(x－1)≥0，解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D不符合．8．已知p：|2x－1|＜3，q：2x2－ax－a2≤0，若p是q的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围可以是

(

)A．(－1，0) B．(－2，0]C．(－1，1) D．(－1，2]【解析】综上，可得－1＜a＜2.故只要实数a的取值集合是集合{a|－1＜a＜2}的子集即可．【答案】AC三、

填空题9．“x＞1”是____________________的充分不必要条件．(请在横线处填上满足要求的一个不等式)x＞0(答案不唯一)【解析】根据充分条件和必要条件的定义，例如：由x＞1，一定有x＞0；而x＞0，不一定有x＞1.10．已知条件p：－1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．(－∞，－1]【解析】因为p是q的充分不必要条件，所以{x|－1＜x＜1}

{x|x＞m}，故m≤－1.乙：a为整数；丙：p是q成立的充分不必要条件；丁：r是q成立的必要不充分条件；甲：三位同学说得都对．则a的值为_______．【解析】【答案】－1四、

解答题12．已知集合A＝{x|m－1＜x＜m2＋1}，B＝{x|x2＜4}．(1)当m＝2时，求A∪B，A