2025高考数学一轮复习-37.3-空间的距离【课件】

2025高考数学一轮复习-37.3-空间的距离(1)已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，则点C到直线AB的距离为 (

)点到直线的距离举题说法1C【解析】(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为

(

)1【解析】如图，取PA的中点M，连接BM，CM.因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC.又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA.因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA.又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM.又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离．【答案】

A如图，三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M是BC的中点．(1)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值；点面距如图(1)，过M作MP⊥AC，垂足为P，过P作PF⊥AC1，垂足为F，连接MF，C1P.2-1图(1)由MP⊂平面ABC，A1A⊥平面ABC，知AA1⊥MP.又MP⊥AC，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以MP⊥平面ACC1A1.【解答】又AC1⊂平面ACC1A1，所以MP⊥AC1.又PF⊥AC1，MP∩PF＝P，MP，PF⊂平面MPF，所以AC1⊥平面MPF.又MF⊂平面MPF，所以AC1⊥MF.于是平面C1MA与平面ACC1A1所成的角为∠MFP.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M是BC的中点．(2)求点C到平面C1MA的距离．2-1如图(2)，过C1作C1P⊥AC，垂足为P，作C1Q⊥AM，垂足为Q，连接PQ，PM，过P作PR⊥C1Q，垂足为R.【解答】图(2)方法一：由C1P⊥平面AMC，AM⊂平面AMC，得C1P⊥AM.又C1Q⊥AM，C1Q∩C1P＝C1，C1Q，C1P⊂平面C1PQ，所以AM⊥平面C1PQ.又PR⊂平面C1PQ，所以PR⊥AM.又PR⊥C1Q，C1Q∩AM＝Q，C1Q，AM⊂平面C1MA，所以PR⊥平面C1MA.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是等边三角形，PA＝PB＝PD，BC＝CD.(1)求证：BD⊥PC；如图，连接AC，交BD于点O，连接PO.由AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC，可得△ABC≌△ADC，所以∠BAC＝∠DAC.又AO＝AO，所以△AOB≌△AOD，所以BO＝OD，即O为BD中点．2-2【解答】在等腰三角形PBD中，可得BD⊥OP.在等腰三角形BCD中，BD⊥OC.因为OP∩OC＝O，OP，OC⊂平面POC，所以BD⊥平面POC.又PC⊂平面POC，所以BD⊥PC.【解答】如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是等边三角形，PA＝PB＝PD，BC＝CD.2-2如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD.空间距离中探究性问题3因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥AB，CD⊥AD.因为PB⊥BC，BC⊥

AB，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以PA⊥BC.因为PD⊥CD，CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥CD.又因为BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.【解答】【解答】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点．3配套精练【解析】【答案】C【解析】C【解析】由∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，知OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，【答案】A【解析】将三棱锥S-ABC放在正方体中，如图所示，以B为原点，BM，BQ，BS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，【答案】C二、

填空题5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是______．【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1).【答案】6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为______．【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，三、

解答题7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)求证：平面A1CO⊥平面BB1D1D；【解答】因为A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1O⊥BD.因为底面ABCD是菱形，所以CO⊥BD.因为A1O∩CO＝O，所以BD⊥平面A1CO.因为BD⊂平面BB1D1D，所以平面A1CO⊥平面BB1D1D.7．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(2)若∠BAD＝60°，求点D到平面B1BC的距离．【解答】(1)求证：AP⊥CM；图(1)图(2)又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊥AC，CB⊂平面ACB，所以CB⊥平面PAC.又AP⊂平面PAC，所以CB⊥AP.又因为PA⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB⊂平面PCB，所以AP⊥平面PCB.又CM⊂平面PCB，所以AP⊥CM.【解答】图(1)图(2)【解答】取AC的中点O，AB的中点E，连接OP，OE，以O为原点，OA，OE，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝3，F是棱PD的中点，E是棱DC上一点．(1)求证：AF⊥EF;【解答】在正方形ABCD中，AD⊥CD.因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD，所以CD⊥