拓展二 圆锥曲线的轨迹问题 -

拓展二圆锥曲线的轨迹问题知识点1求圆锥曲线轨迹方程的方法解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.1、直接法求曲线轨迹方程（1）直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．（2）求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．（3）对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x,y的取值范围．注：基本步骤：（1）建系,建立适当的坐标系；（2）设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；（3）列式,列出动点P所满足的关系式；（4）代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；（5）证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.2、定义法求曲线轨迹方程如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。注：（1）平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：①若a>c,则集合P为椭圆；②若a＝c,则集合P为线段；③若a<c,则集合P为空集．（2）平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.①当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；③当2a>|F1F2|时,P点不存在．（3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．注意：①定直线l不经过定点F.②定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.(4)一般涉及到动圆与两定圆相切问题(包括内切、外切)，利用定义求圆心轨迹，轨迹为椭圆或双曲线，主要确定和还是差能消去动圆半径r。(5)如图，圆的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆。(6)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线和直线OP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线。(7)已知定点F和定直线，F不在直线上，动圆M过F且与直线相切，则圆心M的轨迹是一条抛物线。3、相关点法求曲线轨迹方程如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。注：“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝f（x，y），,y1＝g（x，y）；))(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．4、参数法求曲线轨迹方程有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响．注：1、参数法求动点的轨迹方程一般步骤（1）选择坐标系，设动点坐标；（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；（3）建立参数方程；（4）消去参数得到普通方程；（5）讨论并判断轨迹．常用的消参方法有：代人消参，加减消参，整体代换法，三角消参法（）等．要特别注意：消参前后变量的取值范围不能改变．2、参数法求动点的轨迹方程应用举例利用参数求动点轨迹方程，关键是如何合理地选择参数，以及使用参数求动点轨迹方程还应注意哪些问题题．（1）如何选择参数求动点轨边方程利用参数是求动点轨迹的重要方法，而参数选择的恰当与否，直接影响着解题速度和解题质量．若考察轨迹上点的变动因素，通常可取点的坐标或角度或有向线段作为参数；若所求的轨迹上的点可看作经过某定点的直线束上的点，常以直线束的斜率为参数．（2）选择参数的几点注意事项：①点的坐标、角、直线斜率等均可选作参数，且选择的参数越少越好；②所选参数最好能表示所有与动点有关的点的坐标或直线方程；③若选择了一个参数，则必须且只需列两个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；若选择了两个参数，则必须且只需列三个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；也就是说，若选择了个参数，则必须且只需列个方程，然后消去这个参数，即可得到动点轨迹方程．5、交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.注：（1）求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程，关键是参数的选取，困难是参数的消去．怎么把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程？如何选取参数？怎样消去参数？如果动点影响动点的轨迹，起制约作用，那么就选取动点为参数．如果动直线的斜率影响动点的轨迹，起制约作用，那么就选取动直线的斜率为参数．如果动直线在轴上的截距影响动点的轨迹，起制约作用，那么就选取动直线在轴上的截距为参数．如果动直线的倾斜角影响动点成迹，起制约作用，那么就选取动直线的倾斜角为参数类型一直接法求曲线轨迹方程1．（2022·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【解析】由已知可得，，且、、三点不共线，故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，由已知可得，得，，则，因此，点的轨迹方程为.故选：D.2．【多选】（2022·湖北黄冈·高二期末）已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（

）A．当时，点的轨迹为除去两点的椭圆B．当时，点的轨迹为除去两点的双曲线C．当时，点的轨迹为一条直线D．当时，的轨迹为除去两点的抛物线【解析】设点，，.当时，，.故点的轨迹为除去两点的椭圆，A正确；当时，，故点的轨迹为除去两点的双曲线，B正确；当时，.，即不含点，轨迹是一条直线不含，C错误；当时，则.故的轨迹为除去两点的抛物线，D正确.故选：ABD.3．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））平面直角坐标系内动点M（）与定点F（4，0）的距离和M到定直线的距离之比是常数，则动点M的轨迹是___________．【解析】动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，根据题意得，点的轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得．所以，动点的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、的椭圆．故答案为：．4．（2022·河北邯郸·高二期末）已知动点Q到点的距离与到直线的距离之比为，Q点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知，，A，B为曲线C上异于M，N的两点，直线，相交于点T，点T在直线上，问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.【解析】(1)设，则，化简，得，∴曲线C的方程为.(2)设，，则，，∴，，，.①当直线垂直于y轴时，由对称性可知，直线，交于y轴，不合题意，舍去.②当直线不垂直于y轴时，设直线的方程为.联立，得.依题意，，.∴，，∴.又，，∴直线的方程为，直线的方程为.依题意，设.∵点T为直线，的交点，∴，∴，即，，又∵，∴，化简，得.又满足，直线的方程为，∴直线过定点.5．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）已知平面内两点，，动点P满足．(1)求动点P的轨迹方程；(2)过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N，点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标．【解析】（1）设动点，由已知有，整理得，所以动点的轨迹方程为；（2）由已知条件可知直线和直线斜率一定存在，设直线方程为，，，则，由，可得，则，即为，，，因为直线过定点，所以三点共线，即，即，即，即，即得，整理，得，满足，则直线方程为，恒过定点.6．（2022·山东临沂·高二期末）已知动直线l垂直于x轴，与椭圆交于两点，点在直线l上，且满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作直线交曲线于两点，若点，求证：直线的斜率之和为定值.【解析】(1)解：设，则由题知，，即由点在椭圆上，故所以，即所以动点的轨迹C的方程为.(2)证明：设，当直线的斜率不存在时，与椭圆有且只有一个交点，不合题意，当直线的斜率存在时，设的方程为，所以联立方程整理得，、所以，由韦达定理得，则所以，所以.即直线的斜率之和为定值.7．（2022·江苏常州·高二期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点P到点F的距离是到直线的距离的，点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程(2)已知，，点M是曲线C上异于A、B的任意一点，①求证：直线AM，BM的斜率之积为定值：②设直线AM与直线交于点N，求证：.【解析】（1）设，因为动点P到点F的距离是到直线的距离的，故可得，化简得，即，故曲线的方程为.（2）①设，则，即故.②设，且在轴的上方时，若，不妨取，满足曲线的方程，则方程为，则，此时，又，故；若不垂直于，设，，则由，得，又直线的方程为：，联立可得：，故，则，又，则，又，，故即；当点在轴的下方时，根据对称性，显然也满足；综上：得证.类型二定义法求曲线轨迹方程8．（2022·四川·高二期末（文））若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A9．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末（文））已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.(1)若求圆心的轨迹的方程.(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【解析】（1）解：设动圆的半径为，依题意有，，．所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．所以轨迹的方程．（2）解：设，，联立直线与椭圆的方程，可得，所以，，，得，设原点到直线的距离为，所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．10．（2022·福建福州·高二期末）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A．B．C．D．【解析】圆：，圆心，半径.圆：，圆心，半径.设，半径为，因为动圆与圆，都外切，所以，所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支.所以，，解得，即的轨迹方程为：.故选：D11．（2022·天津河北·高二期末）已知圆：，圆：，动圆C与圆和圆均内切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程(2)点（）为轨迹E上的点，过点P作两条直线与轨迹E交于AB两点，直线PA，PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意得，.设动圆圆心C的坐标为，半径为r，则，.从而.∴动圆圆心C的轨迹E是焦点为，，长轴长等于4的椭圆，且，.又，得，∴动圆圆心C的轨迹E的方程为.(2)由（1）可得.设直线PA的方程为则直线PB的方程为.设，.由消去y，整理得，则，即.（1）同理可得.（2）∴.将（1）（2）代入上式，化简得.故直线AB的斜率为定值.12．（2022·山东聊城·高二期末）已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得：圆，则圆心，半径；设中点为，则为线段的垂直平分线，，，点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即，，，点轨迹方程为：；(2)①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线，由得：，设直线与曲线交于，，则，，；，直线，同理可得：，，设直线与轴交于点，则当直线斜率存在时，由得：，，即直线恒过点；当直线斜率不存在时，由得：，则，则直线恒过点；②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过；综上所述：直线恒过点；，在以中点为圆心，为直径的圆上，若，则为定值；存在点，使得为定值.13．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【解析】如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A．14．（2021·山东·日照青山学校高二期末）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过坐标原点的直线交曲线于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交曲线于点.证明：是直角三角形.【解析】(1)解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，则，即，因为，所以，，故，由题意可知，点不在轴上，故点的轨迹是以点、为焦点且去掉长轴顶点的椭圆，且，得，，得，则，故点的轨迹方程为.(2)证明：设点，其中、，则、，设点，因为点、都在曲线上，则，两式作差得，所以，，则，，，因为、、三点共线，则，即，则，故，因此，为直角三角形.类型三相关点法求曲线轨迹方程15．（2022·辽宁沈阳·高二期末）已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足．则点M的轨迹方程为______．【解析】设，由，有，得，所以，由得：，所以点的轨迹的方程是.故答案为：16．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）已知为圆上的一个动点，过作轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若不过原点的直线：与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值.【解析】(1)设，，由题意知①，由在圆上，故，将①代入化简可得.由M为线段PQ的中点，可知与Q不能重合，∴E的方程为.(2)由题设，联立，得，则，又不经过原点，∴.设A，B两点的坐标分别为，，则，，，又到直线的距离，∴平行四边形的面积，当且仅当，即（满足）时等号成立，故这个平行四边形面积的最大值为8.17．（2022·云南普洱·高二期末（理））设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.【解析】(1)解：依题意，由知，点是线段的中点，设，则，，又点在圆上，所以，即，所以点的轨迹的方程为：；(2)解：由题意，设直线的方程为，，，由，得，即，所以，则，所以，所以，而到的距离，所以，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为1，此时直线的方程为或，即或.18．（2022·河北唐山·高二期末）已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．(1)求曲线的方程；(2)已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．【解析】(1)设点，由，得，由点在圆上，所以，整理得，所以曲线的方程是(2)当直线的斜率为时，，，，当直线的斜率不存在时，，，，当直线的斜率存在且不为时，设：，则：点到直线的距离，所以，将代入曲线的方程，整理得，设，则，，则，所以，令，则，令，，则，所以在上单调递减，所以，即．综上所述，的取值范围是．19．（2022·湖北·高二期中）设点为圆上的动点，过点作轴垂线，垂足为点，动点满足（点、不重合）(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点的动直线与轨迹交于、两点，定点为，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）设点P为，动点M为，则Q点为，，，求得：又，即点M的轨迹方程为：，（2）设直线AB方程为：，由得，

或，设A点，B点，则，求得：，的值为定值，定值为．类型四参数法求曲线轨迹方程20．（2022·全国·高二专题练习）已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．【解析】设、，则，①，②在抛物线上，，把①②代入得，化简得，即，轨迹为抛物线.21．（2022·全国·高二专题练习）如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【解析】设，的斜率分别为．所以由，得由点在上，得直线方程由，得直线方程设点，则满足②、③两式，将②式两边同时乘，并利用③式整理得由③、④两式得由①式知，∴因为是原点以外的两点，所以．所以点M的轨迹方程为，的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，去掉坐标原点．22．（2022·全国·高二专题练习）过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．【解析】设直线的斜率为，则直线的斜率为．∵直线OA的方程为，联立方程，解得，即，同理可得．由中点坐标公式得，即，消去得∴点的轨迹方程为类型五交轨法求曲线轨迹方程23．（2022·全国·高二专题练习）如图，椭圆（，为常数），动圆，，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程.【解析】设，，又，，则直线的方程为…①；直线的方程为…②；由①②得：…③；由点在椭圆上可得：，，代入③得：.24．（2022·全国·高二专题练习）如图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状．