第08讲直角三角形全等的判定（2类题型）

第08讲直角三角形全等的判定（2类题型）课程标准学习目标1.用HL判断三角形全等；2.全等的性质与HL的综合；3.1.掌握用HL证三角形全等；2.掌握全等的性质与HL的综合；知识点01：HL证明三角形全等定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【即学即练1】1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．【详解】解：，，在和中，，，，，cm，cm．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【即学即练2】2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（）A．28° B．59° C．60° D．62°【答案】B【分析】根据∠C=90°AD=AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE=∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，∴∠CAB=90°﹣28°=62°，∵∠AEC=90°﹣∠CAB=90°﹣31°=59°．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题．题型01用HL证明三角形全等1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形全等证明，掌握相关知识是解题的关键．2．（2023秋·八年级课时练习）在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法分别对进行逐一分析作答即可【详解】解：如图当因为①，；在和中，，所以；当②，；在和中，，所以；当因为③，；在和中，，所以；当因为④，；在和中，，所以；即能判定的条件的个数为4．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解题的关键．3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为.【答案】【分析】先证明，然后得到求解即可．【详解】解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．4．（2023秋·江苏南京·八年级校考开学考试）如图，在中，，线段两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点从点运动到点A，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为时，和全等．【答案】4秒或0秒【分析】当运动时间为4秒或0秒时，和全等，根据定理推出即可．【详解】解：当运动时间为4秒或0秒时，和全等，理由是：，，当运动时间为4秒时，的运动速度为每秒钟，，，，，在和中，，当运动时间为0秒时，点P与点C重合，，在和中，．故答案为：4秒或0秒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．5．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计测量、之间距离的方案．小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达、的点，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可．小红的方案如图②：先确定直线，过点作的垂线，在上选取一个可以直接到达点的点，连接，在线段的延长线上找一点，使，测的长即可．你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．【答案】都可以，理由见解析【分析】分别证明，，即可解决问题．【详解】解：以上两种方案可以，理由如下：甲同学方案：在和中，，∴，∴；乙同学方案：在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2023春·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校联考阶段练习）如图，点B、F、C、E存同一直线上，，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．(1)求证：；(2)．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求出，利用可直接证明；（2）根据直角三角形两锐角互余和全等三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质得出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，且和是直角三角形，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．题型02全等的性质和HL综合1．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于，，．则的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的性质可得，再证，推出，据此求解即可．【详解】解：∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是角平分线的性质和全等三角形的判定和性质．2（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分于，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据角平分线的性质，可得，证得，可得；由等角的余角相等，可证得；然后由的度数不确定，可得不一定等于；又由，和的高相等，所以：：．【详解】解：①正确，在中，，平分，于，；②正确，在与中，，所以，即；③正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以；④错误，因为的度数不确定，故不一定等于；⑤错误，因为，和的高相等，所以：：．故正确的个数为个故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，是的角平分线，于点，，分别是边，上的点，，则度．【答案】【分析】过点作于点，由是的角平分线可得，可证出，可得，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，∴．∵，∴．∵是的角平分线，∴．∵，∴．∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．4．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，是角平分线，于点E，，则的值为．【答案】5【分析】先利用勾股定理求出，根据角平分线的性质定理得到，由此证明，推出，设，则，利用勾股定理求出的值．【详解】解：∵，∴，∵是的平分线，，，∴，在和中，∴，∴，∴，∴设，则，∴，∴，即．故答案为：5．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．5．（2023秋·八年级课时练习）如图所示，平分，P是上一点，D是上一点，E是上一点，且．求证：．【答案】见解析【分析】过点P分别作，，垂足分别为,先证明和全等，易得，根据即可求解．【详解】证明：如图，过点P分别作，，垂足分别为．平分，∴．在和中，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形全等的判定和性质．6．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点D在上，点E在的延长线上，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到，，再利用证明即可；（2）根据等腰直角三角形的性质得到，继而求出，根据全等三角形的性质得到，再利用角的和差计算即可．【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角．A夯实基础1．（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）如图，已知，，．则的理由是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直角三角形中斜边直角边可判定即可求解．【详解】解：∵，，∴，即是直角三角形，在和中，，∴，故选：．【点睛】本题主要考查直角三角形中全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023春·湖南永州·八年级校考期中）如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的理由是（

）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【答案】D【分析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定．【详解】解：，，，在和中，．故选：D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，解题的关键是结合已知条件在图形上的位置选择恰当的判定方法．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，要用“”判断和全等的条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得出答案．【详解】根据全等三角形的判定方法来解决，可以发现选项A是“”；选项B是“”；选项C是“”；选项D是“”；故选：B．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，全等三角形的判定定理有“，，，”，直角三角形还有特殊的判定方法“”．4．（2023春·山东济南·八年级济南育英中学校考期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E为线段上一动点．若，当最小时，的面积是（）．A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】如图：过D作,由垂线段最短的性质可得当时，DE最短，根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．【详解】解：如图：过D作∵点E为线段上的一个动点，最短，∴，由基本尺规作图可知，是的角平分线，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的面积．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等性质，正确作出辅助线和利用角平分线的性质成为解答本题的关键．5．（2023春·湖南常德·八年级常德市第五中学校联考期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是．【答案】或【分析】根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答．【详解】解：∵，，∴，在和中，或，∴，故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知，是的两条高线，，，则度．【答案】40【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，．【详解】解：∵，是的两条高线，∴，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案为：40．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．7．（2023秋·八年级课前预习）如图，已知，边的垂直平分线交与点D，连接，如果，，那么的周长等于．【答案】【分析】边的垂直平分线交与点D，连接，由此可知，的周长的是，由此即可求解．【详解】解：边的垂直平分线交与点D，连接，如果，，∴，∴，的周长等于，故答案是：．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质求线段的关系，掌握垂直平行的性质是解题的关键．8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，则∠EDF＝．【答案】45°【分析】根据HL证明，得，根据得，则，即可得．【详解】解：∵，，∴，在和中，∴（HL），∴,∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知：如图，，，，．求证：．【答案】见解析【分析】利用HL证出即可．【详解】证明：∵，，∴．在和中，，∴．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键．10．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．小虎同学的证明过程如下：证明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．【答案】(1)二(2)见解析【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．（2）证明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．B能力提升1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“”的判定方法进行判定即可．【详解】解：，理由是：∵，∴，在和中，，∴，故选：B．【点睛】此题考查了根据“”判定三角形全等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】证明，得到，进而可得答案．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明是解题的关键．3．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定证明，得出，即可得出答案．【详解】解：延长，作，，，设，平分，，，平分，，，，，，，，在和中，，，．故选：C．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解决问题的关键．4．（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，设，根据勾股定理得，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，求出，得出．【详解】解：过点D作于点H，如图所示：平分，，设，在中，，，，，，，∴，在中，则有，解得：，．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．5．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，，若要使与全等，则添加的条件可以是：．（写出一个条件即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据两个直角三角形全等的判定添加条件即可得到答案．【详解】解：在与中，，，要使与全等，只需添加，再由两个直角三角形全等的判定定理即可判定，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查两个直角三角形全等的判定，熟记直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键．6．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，是的角平分线，于点，，分别是边，上的点，，则度．【答案】【分析】过点作于点，由是的角平分线可得，可证出，可得，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，∴．∵，∴．∵是的角平分线，∴．∵，∴．∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．7．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，是角平分线，于点E，，则的值为．【答案】5【分析】先利用勾股定理求出，根据角平分线的性质定理得到，由此证明，推出，设，则，利用勾股定理求出的值．【详解】解：∵，∴，∵是的平分线，，，∴，在和中，∴，∴，∴，∴设，则，∴，∴，即．故答案为：5．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．8．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且．若，，则AE的长为．【答案】4【分析】过点作于点F，由角平分线的性质得出，证明，得出，求出，由证明，得出，即可求出结果．【详解】解：过点作于点F，如图所示：∵，AD平分交BC于点D，，∴，在和中，，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴．故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据证明直角三角形的全等解答．9．（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点E在上，点F在的延长线上，且，求的度数．【答案】【分析】由题意可求出，从而可得．又易证，即得出，从而可求出．【详解】解：∵，∴，∴．∵点F在的延长线上，∴．又∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．10．（2023春·宁夏银川·八年级校考期中）如图，于点E，于点F，若平分，．(1)求证：；(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据“”证明即可；（2）由全等三角形的判定与性质可得，由此即可得到结论．【详解】（1）证明：∵于点E，于点F，若平分，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：由（1）知，∴，∴．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质定理是解决此题的关键．C综合素养1．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，已知，垂足为，，，则可得到，理由是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可。【详解】解：∵，∴.在RT和RT中，,∴(HL)。故选.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用判定两个三角形全等是解决此题的关键。2．（2023春·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（

）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③【答案】A【分析】过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确【详解】解：过E作于F，如图，∵，平分，∴，在和中，，∴，∴，，∵点E是的中点，∴，而，，故③错误；在和中，，∴，∴，，，故②正确；∴，故④正确；∴，故①正确．因此正确的有①②④，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．侧重考查知识点的理解、应用能力．学生在日常学习中应从以下3个方向（【逻辑推理】【直观想象】【数学运算】）培养对知识点的理解、应用能力．3．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作于点，由平分，于点，得，可证明，得，再证明，得，由，得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：作于点，平分，于点，，，在和中，，，，在和中，，∴，，，且，，，；故选：B．【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．4．（2023春·四川成都·八年级校考期末）如图，在中，平分，交于D，点E、G分别在边、上，连接，．过D作于F．已知，，，则的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】过点作于点，角平分线的性质得到，进而推出，，得到，，进而得到，进行求解即可．【详解】过点作于点，∵平分，，∴，，，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即：，∴；故选A．【点睛】本题考查角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，构造全等三角形．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为．【答案】或【分析】分、都在三角形内部，、有一个在三角形外部两种情况，再证明即可解答．【详解】解：若、都在三角形内部，如图1所示，∵、分别为、边的高，∴，都为直角三角形，在和中，，∴，∴；若、有一个在三角形外部，如图2所示，∵、分别为、边的高，∴，都为直角三角形，在和中，，∴，∴，∴，综上，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是运用分类讨论思想画出图形并熟练掌握三角形的判定定理与性质定理．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，平分交于点D，交的延长线于点E，交于点F．若，，则的长为．【答案】8【分析】根据角平分线的性质可，利用勾股定理求出，再证明，可得，即可求出的长．【详解】解：∵平分，，，∴；∴；∵，∴；在和中，，∴，∴，∴．故答案为：8．【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．7．（2023·四川成都·校考三模）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以小于的长为半径作弧．分别交、于点、；再分别以点、为圆心．以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；连接，交于点．若，，则的长为．【答案】【分析】过点作于点，由作图知平分，，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理得到，解方程即可得到结论．【详解】解：过点作于点，由作图可知平分，，，，，，，，设，在中，由勾股定理可得，，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t=秒．【答案】2或6/6或2【分析】依题意可知需要分两种情况进行讨论：（1）当点由点向点运动时，①当，时，求出，则可得到的值；②当时，时，由于，因此这种情况不存在；（2）当点折返时，又有以下两种情况：①时，时，不存在这种情况，②当，时，求出，则可得到的值．【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，有以下两种情况：（1）当点由点向点运动时，四边形为矩形，，，，，，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，，有以下两种情况：①当，时，此时和全等，，，，点运动的时间（秒；②当时，时，此时和全等，，，，又，，，即点在的延长线上，故不存在此种情况；（2）当点折返时，又有以下两种情况：①时，时，此时和全等，由（1）②可知：这种情况不存在；②当，时，此时和全等，由（1）①可知：，点运动的路程为：点运动的时间（秒．综上所述：若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则为2秒或6秒．