(人教版)高中数学必修四教案

第一章三角函数

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

一、教学目标：

1、知识及技能

（1）推广角的概念、引入大于360°角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义：（3）理

解任意角以及象限角的概念；（4）掌握所有及。角终边相同的角（包括a角）的表示方法：（.

二、教学重、难点

重点：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.

难点：终边相同的角的表示.

三、学法

回忆-观察-讲解-归纳-推广.

四、教学设想

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25

小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

［取出一个钟表，实际操作］我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转

一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0°~360°之间，这正是我们这节课要研冗的主要内容——任意角.

【探究新知】

1.初中时，我们已学习了0°〜360°角的概念，它是如何定义的呢？

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射

线由原来的位置。4,绕着它的端点。按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角a.旋转开始时的射

线。4叫做角的始边，03叫终边，射线的端点。叫做叫a的顶点.

2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720’”

（即转体2周），“转体1080°”（即转体3周）等,都是遇到大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角.

同学们思考一下：能否再举出几个现实生活中“大于360°的角或按不同方向旋转而成的角”的例子，这些

说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢？

如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角，这些都说明了我们研窕推广角概念的必

要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负

角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

如教材图1.1.3⑴中的角是一个正角，它等于750°：图1.1.3（2）中，正角a=210°,负角

/7=-150°,7=-660°；这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.为了简单

起见，在不引起混谓的前提下，“角a”或“Na”可简记为a.

3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象眼角这个概念.

角的顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，

我们就说这个角是第几象限角.如教材图1.1-4中的30°角、一210°角分别是第一象限角和第三象限角.

要特别注意：如果角的终边在坐标轴匕就认为这个角不属于任何•个象限，称为丰象限角.

4.练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

⑵(回答)今天是星期三那么7k(keZ)天后的那一天是星期几？7k(keZ)天前的那一天是星

期几？loo天后的那一天是星期几？

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角，就有唯一的一条终边及之对应.反之,对

于直角坐标系中任意一条射线。8(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一？如果不惟一，那么终边相同的

角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

［展示课件］不难发现,在教材图1.1-5中，如果-32°的终边是OB,那么328°,—392°…角的终边

都是OB，而328°=-32°+1x360°,-392°=-32°+(-l)x360°.

设S={尸|。=-32°+k•360°,AGZ］,则3281—392°角都是S的元素，一32°角也是S的

元素.因此，所有及一32°角终边相同的航连同一32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一

元素显然及一32°角终边相同.

一般地,我们有:所有及角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S={p\/3=a+h360；&GZ},即任一及角a终边相同的角，都可以表示成角a及整数个周角的

和.

6例题讲评

例1.例1在0°〜360°范围内，找出及一950。12'角终边相同的角，并判定它是第儿象眼角.(注:

0'—360°是指0046<360°)

例2.写出终边在y轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式一360"<a

<720°的元素月写出来.

7.练习教材凡第3、4、5题.

注意：(1)keZt(2)。是任意角(正角、负角、零角)：(3)终边相同的角不一定相等：但

相等的角，终边一定相同：终边相同的角有无数多个，它们相差360,的整数倍.

8.学习小结

(1)你知道角是如何推广的吗？

(2)象限角是如何定义的呢？

(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直

线y=x上的角的集合.

五、评价设计

作业：习题1.1A组第1,2,3题.

1.1.2弧度制

一、教学目标：

（1）理解并掌握弧度制的定义：（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公

式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制及弧度制的换算：（5）角的集合及实数集R之间建立的一一对

应关系.（6）使学生通过瓠度制的学习，理解并认识到角度制及弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统

一的，而不是孤立、割裂的关系.

二、教学重、难点

重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制及弧度制地互化换算；弧度制的运用.

难点：理解弧度制定义，弧度制的运用.

三、教学设想

【创设情境】

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那•种回答

是正确的？（己知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是

公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生，另外一个就是我们这节课

要研究的角的另外一种度量制--弧度制.

【探究新知】1.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于

180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少孤度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制及角

度制之间如何换算？请看课本1~A，自行解决上述问题.

2.弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1（单位可以省略不

写）.

3.探究:如图,半径为r的圆的圆心及原点重合,角a的终边及无轴的正半

轴重合，交圆于点A,终边及圆交于点B.请完成表格.y

弧AB的长OB旋转的方向N4OB的弧度数NAOB的度数

7ir逆时针方向

逆时针方向丁

r1

2r-2

-7T

0

180"

180°

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-丸，-2n等等，一般地，正角

的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

4.思考：如果一个半径为r的圆的圆心角a所对的弧长是/,那么。的弧度数是多少？

角a的弧度数的绝对值是：13=',其中，1是圆心角所对的弧长，，•是半径.

5.根据探究中180°=兀rad填空：

1°=___rad,\rad=____度

显然,我们可以由此角度及弧度的换算了.

6.例题讲解

例1.按照下列要求,把67"30'亿成弧度：

（1）精确值：

（2）精确到o.ooi的近似值.

例2.将3.14rad换算成角度（月度数表示,精确到0.001）.

注意：角度制及弧度制的换算主要抓住180°=RZ以，另外注意计算器计算非特殊角的方法.

7.填写特殊角的度数及弧度数的对应表:

度0。30°45c120°120°120°120°

兀K3万

弧度乃

~2T

角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合及实数集R之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯

一的一个实数（即这个角的弧度数）及它对应：反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这

个实数的角）及它对应.

8.例懑讲评例3.利用弧度制证羽下列关于扇形的公式：

（1）/=ctR（2）S=—cxR2：（3）S=—lR.

22

其中R是半径，/是弧长，a（O<a<2笈）为圆心角，S是扇形的面积.

例4.利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小.

注意:弧度制定义的理解及应用，以及角度及弧度的区别.

9.练习教材匕）.

五、作业：习题1.1A组第7,8,9题.

1.2任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数（一）

一、教学目标：

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）:

(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法：(3)了解如何利用及单位圆有关的有向线段，将任意角a的

正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；(4)掌握并能初步运用公式」

二、教学重、难点

重点：任鲁角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);

终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).

难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号):

三角函数线的正确理解.

三、教学设想

第一课时任意角的三角函数(一)

【创设情境】

提问：锐角。的正弦、余弦、正切怎样表示？

借助右图直角三角形，豆习回顾.

引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

如图,设锐角a的顶点及原点0重合,始边及x轴的正半轴重合,那

么它的终边在第一象限.在a的终边上任取一点P(a,Z?),它

及原点的此岛r=yja2+b1>0.过F作工轴的垂线，垂足

为M，则线段OM的长度为〃，线段MP的长度为人.则

MPb

sina=----=—；

OPr

思考：对于确定的角a，这三个比值是否会随点P在

a的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段。尸的长？*=1的特殊位

置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三

角函数：

思考：上述锐角a的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该

如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题一一任意角的三角

函数.

【探究新知】1.探究:结合上述锐角a的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角

的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中，我们称以原点。为圆心，以单位长度

为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意用的三角函数的定义？

如图,设a是一个任意角，它的终边及单位圆交于点P(x,y),那么：

(1)y叫做a的正弦(sine),记做sina,即sina=y；

(2)X叫做a的余弦(cossine),记做cosa,B|Jcosa=x；

(3)上叫做a的正切(tangent),记做tana,即tana=w0).

xx

注意：当a是锐角时，此定义及初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)：当a不是锐角时，也能

够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然及单位圆有交点尸(x,y),从而就必然能

够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点，而这个点不是终边及单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢？

前面我们已经知道,三角函数的值及点P在终边上的位置无关，仪及角的大小有关.我们只需计算点

到原点的距离r=Jx2+y2，那么sina=/),cosa=/人.

tana=工.所以，三角函数是以为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角

x

的集合及实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变嵌的函数.

4.例题讲评

54

例1.求一的正弦、余弦和正切值.

3

例2.已知角。的终边过点《(一3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值.

教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:

如例2：设x=-3,y=-4,则r=J(-3>+(Y)2=5.

.y4x3y4

于是sina=—=——,cosa=—=——,tana=—=—.

r5r5x3

5.巩固练习^7第1,2,3题

6.探究:请根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表：再将这三种函数

的值在各个象限的符号填入表格中:

定义域

三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限

角度制弧度制

sina

cosa

tana

7.例题讲评

sin^<0八

例3.求证：当且仅当不等式组(八八成立时，角。为第三象限角.

tan。〉。

8.思考:根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有和关系？

显然：终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一：

sin(a+2k^)=sinacos(a+=cosa(其中左wZ)

9.例题讲评例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证：

(1)cos250；⑵sin(-马；(3)tan(-672")；⑷tan3^

例5.求下列三角函数值:

（1）sin148010；（2）cos—：（3）tan（---—）

46

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2万（或0°到360°）角的三角函数值.

另外可以直接利用计算器求三角函数值，但要注意角度制的问题.

10.巩固练习^7第4,5,6,7题

五、评价

1.作业：习题1.2A组第1,2题.

2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关

于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.

第二课时任意角的三角函数（二）

【复习回顾】

1、三角函数的定义；

2、三角函数在各象限角的符号；

3^三角函数在轴上角的值：

4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；

5、三角函数的定义域.

要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合

定义进行分析：并要求在理解的基础上记忆.

【探究新知】

1.引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数一三角函数是一个数量

概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？

2.［边描述边画］以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：

这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角a为第一象限Av

0/0_1%轴交工轴于点加，则请你观察：T

根据三角函数的定义：|MP|=|y|=|sina|：___________

IOM|=|x|=|cosa|

随着。在第一象限内转动，MP、QM是否也跟着

变化?

3.思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能

否给线段A/尸、0M规定一个适当的方向，使它们的取值及点尸的坐标一致？

（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、一样的线段来表示角a的正切值吗？

我们知道，指标坐标系内点的坐标及坐标轴的方向有关.当角。的终边不在坐标轴时，以。为始点、

M为终点，规定：

当线段及五轴同向时，的方向为正向，且有•正值X：当线段0M及X轴反向时，OM

的方向为负向，且有正值x：其中x为P点的横坐标.这样，无论那种情况都有

问理，当角a的终边不在人轴上时，以M为始点、尸为终点，规定：

当线段MP及y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP及y轴反向

时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为尸点的横坐标.这样，无论那种情况都有

4.像A/尸、0M这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段(directlinesegment).

5.如何用有向线段来表示角a的正切呢？

如上图,过点A(1,O)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴，设它及a的终边交于点T,请根据

正切函数的定义及相似三角形的知识,借助有向线段04、AT,我们有

我们把这三条及单位圆有关的有向线段MROM、AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正

切线，统称为三角函数线.

6.探究：(1)当角a的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正

切线吗？

(2)当a的线边及x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？

7.例题讲解

例1.已知试比较a,tan。,sina,cosa的大小.

处理:师生共同分析解答，目的体会三角函数线的用处和实质.

8.练习《9第1,2,3,4题

9学习小结

(1)了解有向线段的概念.

(2)了解如何利用及单位圆有关的有向线段，将任意角。的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、

余茏线、正切线表示出来.

(3)体会三角函数线的简单应用.

【评价设计】

1.作业：

比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)

(1)sin15.tan15°(2)cos15018cos121(3)—.tan—

55

2.练习三角函数线的作图.

1.2任意角的三角函数

1.2.2同角三角函数的基本关系

一、教学目标：

1、知识及技能

(1)使学生掌握同角三角函数的基本关系：(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数

值；(3)利用同角三角函数关系式化筒三角函数式：(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；(5)牢

固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；(6)灵活

运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法：(7)掌握恒

等式证明的一般方法.

二、教学重、难点

smot

重点：公式sii？c+cos2a=1及^-----=tana的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、

cosa

余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

难点：根据角a终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.

三、教学设想【创设情境】

及初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函

数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化.

【探究新知】

1.探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的

几何性质出发，讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗？

如图：以正弦线MP,余弦线0M和半径0P三者的长构成直

角三角形，而且QP=1.由勾股定理由MF^+OM2=1,因此

x2+y2=1,即sin2cr+cos2a=\.

根据三角函数的定义，当〃。k^+—（keZ）时,有-in6Z=tana.

2cosa

这就是说,同一个角a的正弦、余弦的平方等于1,商等于角a的正切.

2.例题讲评

3

例6.已知sina=--，求cosa,tana的值.

sina,cosa,tana三者知•求二,熟练掌握.

3.巩固练习旦3页第1，2,3题

4.例题讲评

,,〜cosx1+sinx

例7.求证：--------=---------.

1-sinxcosx

通过本例题，总结证明一个三角怛等式的力法步骤.

5.巩固练习53页第4,5题

6.学习小结

（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此sir^a+cos?夕工1,tana工包上.

cos/

<2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分

类讨论.

五、评价设计

（1）作业：习题1.2A组第10,13题.

（2）熟练掌握记忆同角三角函数的关系式，试将关系式变形等，得到其他几个常用的关

系式;注意三角恒等式的证明方法及步骤.

第二章平面向量

§2.1平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示：掌握向量的模、零向量、单位向量、

平行向量、相等向量、共线向量等概念：并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3,通过学生对向量及数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习

向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？

（画图）c

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.Ab

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

1、数量及向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量处相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这走它们是不走平行向量？这时各向量的终点之

间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量及向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小:

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：,

①用有向线段表示；B

（终点）

②用字母a、bA（起点）

（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点及终点字母：AB；

④向量丽的大小一一长度称为向量的模，记作I标.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量及有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，及起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的

向量；

<2）有向线段有起点、大小和方向二个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线

段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫等向量，记作Q。的方向是任意的.

注意0及0的含义及书写区别.\/

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小./I\

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0及任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义：（2）向量a、b、c平行，记作&〃8〃c.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量“I相等向量.

说明：（1）向量a及6相等，记作&=6：（2）零向量及零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且及有向线段的

程卓不关

7、共线向量及平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（及有向线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平

行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：

例1书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）及零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）及任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3下列命题正确的是（）

A.a及b共线，b及c共线,则a及c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点及终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a及b不共线，则a及b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量及任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的

非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B

不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，及起点是否相同无关，所以D不正确：对于C,其条件以

否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a及b不都是非零向量，即a及b至少有一个是零

向量，而由零向量及任一向量都共线，可有a及b共线，不符合已知条件，所以有a及b都是非零向量，

所以应选C.

例4如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中及向量OA、OB、0c相等的向量.

变式一：及向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在及向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：及向量共线的向量有哪些？（而，丽，而）

课堂练习：

1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量Q及而是共线向量，则力、氏C、。四点必在一直线上;

②单位向量都相等：

③任一向量及它的相反向量不相笔；

④四边形4筋是平行四边形当且仅当AB=DC

⑤•个向量方向不确定当且仅当模为0：

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在

同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量及零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图

______ABC

区及前共线，虽起点不同，但其终点却相同.1------------'

2.书本88页练习

三、小结：

1、描述向量的两个指标：模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

第2课时

§2.2.1向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义：

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的

能力；

3、通过将向量运算及熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并

会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

教学难点：理解向量加法的定义.

学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、

力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受

向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量

加法运算的交换律和结合律.

教学思路：

一、设置情景：

1、复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是

及起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、情战设置:ABC

（1）某人从A到B,再从B按原方向到C,

则两次的位移和：AB+BC=AC

（2）若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,AB

则两次的位移和:AB+BC=AC

（3）某车从A到B,再从B改变方向到C,

则两次的位移和:AB+BC=AC

（4）船速为48,水速为BC,则两速度和：AB+

二、探索研究:

1、向量的加法：求两个向量和的运尊，叫做向量的加法.

2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、b.在平面内任取一点4,作而=a,BC=b,则向量怒叫做a及b的和,

记作a+b,即a+b=Q+51=衣，规定:a+0-=0+a

a

探窕：（1）两相向量的和仍是一

b

个向量;a力

a^b

（2）当向量2及分不共线

时，4+6的方向不同向，且|。+力＜|O1+I；

（3）当〃及6同向时，则4+6、〃、6同向，且

a|=|a\+\b\,当。及J反向时,若|〃|>b|,则S、

4+3的方向及。相同，且|。+3|=〃I-3:若

\a\<\b|,则a+b的方向及b相同，且|a+b|=b-a.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连

加

3.例一、已知向量4、b,求作向量4+Z?

作法：在平面内取一点，作OA=aAB=b,则08=。+/?.

4.加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中3+3的结果及Z+6是否相同？验证结果相同

从而得到：1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)

2)向量加法的交换律：a+Bb+a

5.向量加法的结合律：(4+b)+c=〃+(b+c)

证：如图：使AB=a,BC=b,CD=c

则(4+7)+c=AC+CD=AD,4+R+c)=AB+BD=AD

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

三、应用举例：

例二(P94—95)略练习：P95

四、小结

1、向量加法的几何意义；2、交换律和结合律;

3、注意：|。+匕|W|。|+|b|,当且仅当方向相同时取等号.

五、课后作业：P103第2、3题

七、备用习题

1、•艘船从A点出发以26kmih的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为

4kmih,求水流的速度.

2、一艘船距对岸4，5km,以2辰〃2/力的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际

航程为8km,求河水的流速.

3、•艘船从A点出发以％的速度问垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为V2,船的实际航行的

速度的大小为4%机/力，方向及水流间的夹角是60。，求0和V2.

4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是

km/h,最小是km/h

5、已知两个力R,0的夹角是直角，且已知它们的合力F及件的夹角是60。，|F|=1ON求件和R的

大小.

6、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

第3课时

§2.2.2向量的减法运算及其几何意义

教学目标：

1.了解相反向量的概念：

2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思

想.

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

教学难点：减法运算时方向的确定.

学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减

法运算；并利用三角形做出减向量.

教学思路：

一、复习：向量加法的法则：三角形法则及平行四边形法则

向量加法的运算定律：

例：在四边形中，+—.

解：CB+BA+BA=CB+BA+AD=CD

、提出课题：向量的减法

1.用“相反向量”定义向量的减法

(1)“相反向量”的定义：及a长度相同、方向相反的向量.记作a

(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.

任一向量及它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0

如果a、b互为相反向量，则a=b,b=a,ab=0

(3)向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a及b的差.

即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a,则X

叫做a及方的差，记作ab

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

注意：1A8表示&b.强调：差向量“箭头”指向被减数

2用“相反向量”定义法作差向量，a6=a+（6）

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

4.探究：

三、例题:

例一、（P97例三）已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.

解：在平面上取一点。，作0A=a,OB=b,OC=c,OD=d.

作BA,DC,则BA=ab,DC-cd

AC=a+b,DB=AB-AD=ab

变式一：当a，b满足什么条件时，卧b及ab垂直？（1ab)

变式二：当a,。满足什么条件时，I肃blab]?方互相垂直）

变式三：*b及ab可能是相当向量吗？（不可能，•；对角5向不同）

练习：P98

四、小结：向量减法的定义、作图法I

五、作业：P103第4、5题

六、板书设计（略）

一匕、备用习题：

1.在AABC中，BC=a,CA=b,则AB等于()

A.a+bB.-a+(-b)C.abD.ba

2.0为平行四边形ABCD平面上的点，设QAa,06=b,OC=c,OD=d,则

A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.abc+d=0

3.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：

a+b=，b+c=»c-d=,a+b+c-d=.

4、如图所示，。是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头

表示）,使a+b=4B,c-d=DC,并画出b-c和a+d.

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

第4课时

§2.3.1平面向量基本定理

教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表

示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解及应用.

教学过程：

复习引入:

1.实数及向量的枳：实数A及向量2的积是一个向量，记作：入2

（1）A,a=1人Ia\；（2）人》o时2.G及。方向相同：入＜0时入2及G方向相反；入=0时入2=0

2.运算定律

结合律：x(u^)=(xu)a；分配律：(入+n)五=入五+u五，x(a+b)=xa+xh

3.向量共线定理向量加及非零向量值共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使囚=入2.

二、讲解新课：

平面向量基本定理：如果％,g是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向

量5，有且只有一对实数3，入2使/=[,+入2«2•

探究:

(1)我们把不共线向量/、62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底：

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底入、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式推.入”