2015届数学高考笔记

集合与简易逻辑

1集合的概念及运算

集合知识网络

---->定义•一A一组对象的全体形成一个集合

——>1特征卜►确定性、互异性、无序性

----表示法|_►列举法｛1,2,3,…｝、描述法｛x|P｝、图示法

———，分类卜►有限集、无限集

——d数集自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集巾

善———，关系[->属于€、不属于右、包含于屋、真包含于U、子集二、真子集

----,运算一A因纲ACB=｛x|xCA且xCB｝；ggAUB=｛x|xdA或xdB｝；

―那蛔Cu4=｛x|xeA且x£U｝,U为全集

----性质卜>A「A;<i>OA；假设A[B,BqC,那么A=C；

AGA=AUA=A；AC6=6；AU6=A；AOB=A<=^AUB=B<=>AOB；

AAC^A=4>;AUCtrA=l；C(/(C｛;A)=A：B)=CL.-AAC6-B

瓯:

①区别e与U、q与、a与｛a｝、6与｛巾｝、｛(1,2)｝与｛1,2｝；(属于与不属于的关系)

②A=B时，A有两种情况：A=<i>与AX"

③如果｛a>a,0｝,那么aWO,且a#1(元素的唯一性)

④小是任何非空集合的真子集，和任何集合的子集。6与｛巾｝是附属关系

⑤｛0｝是以0为元素的集合，不是空集。

定义补充：

真子集：如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集。

包含与真包含：

B中的元素都属于A,那么称A包含B.

B中的元素都属于A且A中至少有一个元素不属于B,那么称A真包含B.

不等式知识网络

|x|>a(a>0)=*>2或*<—a；(去绝对值)

不Ix|<a(a>0)=-a<x<a(去绝对值)

等

式邈:ax2+bx+c〉O或ax之+bx+c<0(aWO)；

豳方程的根一函数草图f观察得解

瓯:①含参数的不等式ax2+bx+c>0恒成立问题O含参不等式ax2+bx+c>0的解集是R；

方程：分a=O(验证bx+c>0是否恒成立)、aWO(a〈O且△<())两种情况

不等式：分a=O,a>0,a<0三种情况

②集合A是空集，△<()

集合A只有一个元素，△=()

集合A非空集，△》()

2四种命题及充要条件

—.四种命题：

1.原命题：假设p那么q

逆命题：假设rP那么iq，即交换原命题的条件和结论；

否命题：假设q那么P,即同时否认原命题的条件和结论；

逆否命题：假设［P那么rq,即交换原命题的条件和结论，并且同时否认.

2.四个命题的关系：

⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；

⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；

⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.

⑷两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。原命题与逆否命题：逆命题与否命题同真同假

⑸两个命题互为逆命题或否命题，他们的真假性没有关系

⑹原命题和逆否命题为等价命题.如果原命题成立，逆否命题成立.逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题

成立，否命题成立.

⑺命题的否认形式与原命题互异

—.充分条件与必要条件

1.“假设「那么""是真命题，记做

“假设「那么4"为假命题，记做，

2.假设夕="，那么称"是"的充分条件，g是。的必要条件

假设pnq,且puq,那么称P是夕的充要条件；

3.假设P的充分条件是4,那么qnp；

假设P的必要条件是q,那么pnq.

注意：①注意区分"命题的否认”与“否命题〃这两个不同的概念。命题?的否认为“非,记作「°,一般只

是否认命题p的结论，否命题是对原命题“假设P那么4"既否认它的条件，又否它的结论。

3逻辑连结词、全称量词与存在量词

一.全称量词与存在量词

含有一个量词的全称命题的否认，有下面的结论：

全称命题p：VxeM,p(x),它的否认「P：

全称命题的否认是存在性命题。

含有一个量词的存在性命题的否认，有下面的结论：

存在性命题P：它的否认：［P：

存在性命题的否认是全称命题

二.逻辑联结词：

1.命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题.如果不易判断

命题真假，可由它的逆否命题判断。

2.逻辑联结词有“或"、"且"、"非”.

3.不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题.

4.真值表：

Pq非Pp且qP或q

真真真真

假

真假假真

假真假真

真

假假假假

5.关键词的否认

多

关至

大(小)任何，所仔对任意xeZ

键是有全部「

于有的个使P(x)真

词

立>

不大不一个

有

否不全，某些，有两存在xe力使

(小)是无也没

认不都几个个P(x)假

函数于有

1函数及其关至任意表示

都

键p且q且=多有NN个

函数的是概念

词个

1.映射：至设A、B两个非空集

否或不少有存花如果按照某中对应

口，或

认都是(N+1)N个

那么/,对于集合A

法个

中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.

2.函数：在某种变化过程中的两个变量》、对于％在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法那么，y

都有唯一确定的值和它对应，那么称丁是》的函数，记做丁=/(》)，其中》称为自变量，工变化的范围叫做

函数的定义域，和％对应的歹的值叫做函数值，函数值夕的变化范围叫做函数的值域.

3.函数三要素：①定义域②值域③对应关系

函数的表示：①解析法②图像法③列表法

解析式：

(1)根据对应法那么的意义求函数的解析式；

例如：f(&+D=x+2&,求函数/(x)的解析式.

(2)函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：/(X)是一次函数，且/"(X)]=4X+3,函数/(x)的解析式.

(3)注明定义域(分段函数)

三.函数的定义域(树立定义域优先的思想)

(1)根据给出函数的解析式求定义域：

①整式：xeR

②分式：分母不等于0

③偶次方根：被开方数大于或等于0

④含0次暴、负指数累：底数不等于0

⑤对数：底数大于0且不等于1,真数大于0

⑥三角函数中的y=tanx：x/kn+k/2(kdZ)

(2)根据对应法那么的意义求函数的定义域：

①函数f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域，只需g(x)CD

例：y=/(x)定义域为[2,5],求y=/(3x+2)定义域；

②函数f数(x)]的定义域,求函数f(x)的定义域,只需xG{y|y=g(x)},即g(x)的值域

例：^=/(3X+2)定义域为[2,5],求V=/(x)定义域；

(3)实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域.

六.难点

(1)没有告诉定义域

同对应法那么y=f(x)中括号内范围相同(同对立法那么)

(2)相同函数

①定义域相同

②对应法那么相同恒等变换

2函数的根本性质

函数的单调性

①定义法

②两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增函数

③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性

④导数

2.单调区间的定义

假设函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D

叫做f(x)的单调区间.

3.复合函数的单调性：

对于复合函数y=/[g(x)L设"=ga),那么歹=/(〃)，可根据它们的单调性确定复合函数歹=/ig(x)],

具体判断如下表

y=./■(«)增增减减

"=g(x)增减增减

y=Zig*)]增减减增

假设/（x），g（x）均为某区间上的增（减）函数，那么/（x）+g（x）在这个区间上也为增（减）函数

假设/（X）为增（减）函数，那么一/（X）为减（增）函数

假设/（X）与g（x）的单调性相同，那么歹=/［g（x）］是增函数；假设/（X）与g（x）的单调性不同，那么

y=/［g（x）］是减函数。

奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

常用函数的单调性解答：比拟大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

4.判断单调性的常用方法

1.定义法

2.两个增（减）函数的和仍为增［减）函数：一个增（减）函数与一个增（减）函数的差仍为增（减）函数。

3.奇函数在对称区间上具有相同单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性。

4.利用导函数

函数的最值

前提设函数y=f（x）的定义域为I,如果存在实数

M满足

条件①于任意xGl,都有f（x）WM；②于任意xGl,都有f(x)》M

②存在*061,使得£&。）=1，1②在xOGI,使得f(xo)=M

结论M为最大值M为最小值

三.函数的奇偶性

1.判断函数/"）奇偶性的步骤：

①判断函数/（X）的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；

②验证/（X）与/（一刈的关系，假设满足/（r）=—/（x）,那么为奇函数，假设满足/（—x）=/（x）,那么为偶

函数，否那么既不是奇函数，也不是偶函数.

2.性质：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

3./⑴、g（x）分别是定义在区间“、N（〃nN*0）上的奇（偶）函数，分别根据条件判断以下函数的

奇偶性.

1

/（X）g(x)-/（X）y（x）+g（x）/(x)-g(x)/(x)-g(x)

/（X）

奇奇奇奇偶

奇

奇偶奇

偶奇奇

偶

偶偶偶偶偶

4.如果一个奇函数在》=°处有定义，那么/（°）二°,如果一个函数^=/（口既是奇函数又是偶函数，那么

〃x）=°（反之不成立）。奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。一个奇函数与一个偶

函数的积（商）为奇函数。

5.一次函数丁=任+6/*°）是奇函数的充要条件是6=0；

二次函数歹=+bx+c（a^0）是偶函数的充要条件是b=°

假设aWO,bWO时，，那么非奇非偶；假设b/0,a二c二0时，该正比例函数是奇函数

4、两个函数歹=/（〃）和"=g（x）复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函

数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、假设函数/(X)的定义域关于原点对称，那么"X)可以表示为

/(x)4[/(x)+/(-x)]+l[/(x)-/(-x)]

该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

6.判断奇偶性的常用方法

①函数的定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称，那么该函数为非奇非偶函数

②假设定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，那么对函数进行适当的化简，以便于判断

③利用定义域进行等价变形判断

④分段函数应分段讨论，要注意根据x的范围取得相应的函数表达式或者利用图像判断

3二次函数与塞函数

一.定义

一般地，自变量X和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(aWO),那么称y为x的二次函数。

二.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax2+bx+c(aWO)

顶点式：y=a(x-h)2+k(aWO),此时抛物线的顶点坐标为P(h,k),适用于顶点坐标和最大最小值

交点式：y=a(x-xl)(x-x2)(a^O)仅用于函数图像与x轴有两个交点时，xl、x2为交点的横坐标，所以两交

点的坐标分别为A(xl,0)和B(x2,0)),对称轴所在的直线为x=」——

2

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：_________

,b,4ac-b2-b+Vb2-4acb

=

h——------,k—；x.xx2---------------；x।+X,—----

2a4a122a122a

三.二次函数的图像

从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=,对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地,

2a

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

L.—h4h/|o—卜2

2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(一一，—---)o当x=一一时，Y最值=—------，当a>0

2a4a2a4a

时，函数y有最小值；当水0时，函数y有最大值。

当—B=0时，p在y轴上(即交点的横坐标为0)；当A=b2-4ac=0时，P在x轴上(即函数与x轴只有一

2a

个交点)O

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。

当a>0时，抛物线开口向上；当aVO时，抛物线开口向下。|a|越大，那么抛物线的开口越小。

对于两个抛物线，假设形状相同，开口方向相同，那么a相等；假设形状相同，开口方向相反，那么a互为相

反数。

4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：

当对称轴在y轴左边时，a与b同号(即ab>0)；

当对称轴在y轴右边时，a与b异号(即ab<0)。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点(0,c)。

6.实根分布

抛物线y=ax2+bx+c(a/0)与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：

△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；

△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。

△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。

分布：

x।+x2=——（xj—0）+（X?—0）＞0

＜a

xx=—=＞（七-0）（彳2-。）＞0

.{2a

替换0满足根在a的右侧＞0,左侧＜0

五.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a¥0）,当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即

ax2+bx+c=0,此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）

六.常用的计算方法：

1.求解析式的时候：实根分布

假设给定三个普通点的坐标，那么设为一般式y=ax2+bx+c（aWO）,分别将三点坐标代入组成三元一次方程组,

然后解此方程组求出a、b、c,再代回设的一般式中即可求出解析式；

假设给定有顶点坐标或对称轴、最值，那么设为顶点式y=a（x-h）2+k（aWO）,再找一点坐标代入即可求出a,

再代回设的顶点式即可求出解析式；

假设给定有与x轴的交点坐标，那么设为交点式y=a（x-xl）（x-x2）（aWO）,再找一点坐标代入即可求出a,再

代回设的交点式即可求出解析式。

以上方法特别要注意括号内的正负号。

2.假设求函数与x轴的交点坐标，让y=0,解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标；

3.假设求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式；

4.假设求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同顶点坐标）。

5.当需要判定函数y=ax2+bx+c（a#0）与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的A〈0,同理，与x轴只

有一个交点时，△=（），与x轴有两个交点时，AX）。对△的判定方法仍然是用配方的方法。

6.二次函数y=ax2+bx+c（不妨设a＞0）在区间［m,n］上的最大值或最小值

（1）当2a'，即对称轴在所给区间内时，/（X）的最小值在对称轴处取得，其值是2a4a,

/（X）的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是f（m）、f（n）中的较大者

（2）当而任上,L即给定的区间在对称轴的一侧时，/（X）是单调函数。假设一而/（X）在［外〃】上是

增函数，/（X）的最小值是f（m）,最大值是f（n）,假设“＜一而，/（》）在［"，上是减函数，八对的最小值是f⑺），

最大值是f（m）

七.嘉函数的概念

1.幕函数的定义：函数y=x"（ceQ）叫做暴函数。其中a是常数，X是自变量。幕函数的定义域由a的值

确定。

2.基函数的图像：

（1）图像都经过点（1,1）和第一象限；

（2）a〉0时图像过原点（0,0）；a〈0时图像不过远点；

（3）在第一象限内，当a＜0时图像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴；当时图像向上凸起；当。＞1

时图像向下凸起。

3.幕函数的性质:

（1）单调性：当。＞°时，在区间（0,+8）上是增函数；

当a＜°时，在区间（0,+8］上是减函数。

a~_m

（2）奇偶性：设〃且互质）

①当〃7、"都是奇数时，它是奇函数；

②当阳是偶数〃是奇数时，它是偶函数；

机是奇数〃是偶数时，它非奇非偶。

A.基函数图象特征：

（1）当左＜°时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线

(2)当％=°时，图象是一条不包括点(0,1)的直线；

(3)当°〈左＜1时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；

(4)当％=1时，图象是一、三象限的角平分线；

(5)当左〉1时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线.

(6)基函数图象不经过第四象限：

(7)当左＞°时，黑函数歹=一的图象一定经过点(0,0)和点(1,1)

(8)如果幕函数歹=/的图象与坐标轴没有交点，那么左W°；

—Ym

(9)如果基函数/一(〃?、"、P都是正整数，且〃7、〃互质)的图象不经过第三象限，那么P可

取任意正整数，〃?、〃中一个为奇数，另一个为偶数.

1111

qn>0n<0

n=PP是偶数

p，q都P是奇数，n=0p，q都P是奇数

(p，qP是偶数

是奇数q是偶数是奇数q是偶数

互质)

xeR,

定义域xeRx>0xWR»且xWOx>0

且xW。

(-8.ywR.

值域[0.+8]y=i(0J4-00)

+oo)且y*口

奇偶性奇函数偶函数非奇非偶偶函数奇函数偶函数非奇非偶

单调性在区间(。，+8)上是增函数在区间(0,+8)上是减函数

4指数与指数函数

指数的概念

1.分数指数基与根式:

如果x"=a,那么称X是a的〃次方根，°的〃次方根为0,假设那么当"为奇数时，。的〃次方根有1

个，记做折；当〃为偶数时，负数没有〃次方根，正数。的〃次方根有2个，其中正的〃次方根记做后.负的〃

次方根记做一折.

1.负数没有偶次方根；

后7_a"为奇数

2.两个关系式：丽)"=°；[⑷〃为偶数

a"=y[a^.q；_1

3.正数的正分数指数幕的意义:[a>0,m,neN*,且〃>1)

，后

m

1

an

正数的负分数指数幕的意义：痂[a>0,m,n£N*,且〃〉1)

4.分数指数基的运算性质：

⑴a=a.⑵a=a.

⑶(am)n=amn小(a-b)m=am-bm

⑸。°=1,其中〃?、〃均为有理数，。，b均为正整数

5.指数运算法那么：⑴优优=4；(2)(")”*；⑶(")

二.指数的图像

函数指数函数歹=4、a>0,aw1)

定义

X£R

域

值域

1;

0<1

图象\

>1

1a

1

过定点(0,1)

Mi的数增函数

xc(-oo,0)时，yG(1,y)工£(一<»,0)时，ye(0,1)

XE(0,+8)时，ye((),1)xw(0,+oo)时，J；G(1,4-00)

性质y=」

=a*J

/…，

11<

a>b

a<h

奇偶

非奇非偶

性

注意：恒成立问题

(1)函数y=f(x),假设f(x)》b恒成立，f(x)min》b

(2)相反,f(x)Wa恒成立，f(x)maxWa

5对数与对数函数

对数及其运算

1.定义：假设/=N』>0,且"1,N>0),那么6=log”.

2.指数式与对数式互化：l°g“N=6o/=N仅>0,aHl,N>0)

3.三条性质：

(1)1的对数是0,即I"/二°；

⑵底数的对数是1,即bg〃"=l；

⑶负数和零没有对数.

4.四条运算法那么：

(1)loga(ACV)=logaM+logoNlog”万=log“"Tog"N

⑶log。M"=nlogaM；⑷l°g“屈=7l°g“M

5.其他运算性质：

(1)对数恒等式：不少=6；

⑵对数的换底公式

.zlogN

log“N=•产w-

l°g,〃a(4〉0且QWl机>0,且〃7W1,N>0)

VI

logb"=—log”b

推论"m（〃〉0,且a>1,阳,〃>°,且加工1,〃W1,N>0）

6.设函数/（X）=log”,（一+bx+c）（a*°）,记△=〃一4ac.假设f（x）的定义域为K,那么a>0,且

△<°;假设/（X）的值域为尺，那么a>°,且△»°.对于a=°的情形,需要单独检验.

三.对数的图像

函数“监圾=lOgq%'a>0,aH1)

对数数函数a

定义

XG(0,4-00)

域

值域ywR

一

[0<a<1

图象-1-7-」

过定点（L°）

减函数增函数

X£（0,l）时，》£（0,+8）X£(0,l)时，G(-OO,0)

X£（l,+oo）时，y£（-0O,0）X£(l,+8)时，yG(0,+oo)

性质

y=iog,产

卜二log6、'~^^

a<ba>b

奇偶

非奇非偶

性

6函学的图像

N=/(x)->y=f(x)+k

将y=/（x）图像上每一点向上（左>0）或向下（左<0）平移|幻个单位,

N=/(x)->y=,f(x+h)

将y=f（x）图像上每一点向左（h>0）或向右（h<0）平移|加个单位,

N=/(x)-V=4(x)

将y=/(x)图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(。>1)或压缩

(0<。<1)为原来的。倍，

y=/(x)->y=/(ax)

将丁=/(x)图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(a>1)或拉伸

(0<a<l)为原来的工，

a

夕=/(x)fN=/(-X)

关于x轴对称

y=f(x)f_y=-/(x)

关于X轴对称

f(x)=-f(-x)

关于原点对称

y=fM-y=/(|x|)

去负翻正

y=/(x)-y=I/(x)I

将丁=/(x)位于X轴下方的局部沿X轴对称到上方，可得丁二I/(x)I的图

像

7函数的值域与最值

函数的值域：函数值的集合叫做函数的值域，求值域必须在其定义域内进行。

二.常见函数的值域

名称解析式值域

一次函数y=kx+hR

1

八LAac-b、

二次函数y=ax2-vbx+ca>0时，［------,-H»)

4a

2

八./4ac-b

4<0时，(-8,--------]

4Q

k

反比例函数y=-{y\yeR,且尸0}

X

指数函数y=a3y>0}

对数函数y=bg“工R

y=sinx

{y\-l<y<1}

三角函数y-cosx

y=tanxR

四.函数的最值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

1.对于任意的xGI,都有f(x)WM,且存在xOei,使得f(xO)=M,那么M就是函数y=f(x)的最大值

2.对于任意的xdl,都有且存在xOGL使得f(xO)=M,那么M就是函数y=f(x)的最小值

五.求值域的方法

1.配方法：对于求二次函数^=加+及+*。。)或可转化为形如/(x)=〃[g(x)]+怩&)+。(4/°)的函数的

值域(最值)一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解.

2.换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可

以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比拟复杂的函数转化

成易于求值域的函数进行求解.

1

/-----f(x)=g(x)+

3.单调性法：对于形如/(x)="x+b+Rx+d为常数，。。>0)或者形如g(x)

而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

/⑴_ax2++c

2

4判别式法.一般地，形如/(、)=奴+6±J。%?+办+c、f(x)=^ax+b+&x+d、dx+ex+f

的函数，我们可以将其转化为双刃・炉+4。)4+«回=°(p(N)H°)的形式，再通过

△=.(>)]-4P求得y的范围,但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出V的范围后，应将

端点值代回到原函数进行检验，防止发生错误.

5.数形结合法

2.8函数与方程

一.函数的零点

1.如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=O,那么a叫做这个函数的零点

2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的就是方程f(x)=g(x)的实根；即函数f(x)与函数g(x)的图像交点的横坐标

二.零点存在定理

1.在闭区间[a,b]上连续

2.f(a)•f(b)<0

三.二分法

第一步：确定区间[a,b],验证f(a)•f(b)VO,给定精确度

第二步：求区间(a,b)的中点xl

第三步：计算f(xl)

①假设f(xl)=O,那么xl就是函数的零点

②假设f(a)•f(xl)VO,那么令b=xl(此时零点xOe(a,xl))

③假设f(xl)•f(b)VO,那么令a=xl(此时零点xOe(xl,b))

此时长度减半了的新区间(a,b)

第四步：判断是否到达精确度e,即假设la-b|<e,那么得到零点或近似值a(b),否那么重复二、三、四部

立体几何

1空间几何体的结构、三视图和直观图

柱、锥、台、球的结构特征

二.斜二测画法：

①原来与X轴平行的线段仍然与X平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

2空间几何体的外表积与体积

一.体积公式：

17_k”2,V=-7tr2-hV=-S-hV=-nri

柱体：V=S-h圆柱体：圆锥体：3锥体：3球体：3

，=！（S'+而+S）*/;

圆台和棱台：3,其中S'和S分别为上、下底面积，力为高

二.侧面积：

圆柱侧面积：S=271rl圆柱外表积S=2H.er+/）

圆锥侧面积：S=兀rl圆锥外表积S=7ir（r+7）

圆台侧面积S=4"+r）l圆台外表积S=欣/+/+r'l+rl）

球的外表积：S=4%/

三.几个根本公式：

弧长公式：l=ar（a是圆心角的弧度数，«>0）；

S——Ir

扇形面积公式：2

S直棱柱侧面积=ch

S正棱锥侧而积=30”

s正棱台创面积=5（q+G）"'

3直线、平面平行的判定和性质

直线与平面平行

1.判定定理

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行一线线平行）

①直线a在平面□外②直线b在平面a内③两直线a、b平行a（Za,bua,a//b

2.性质定理

一条直线和一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行一线线平行）

a〃a,auB,acB=6,则a〃b

二.平面与平面平行

1.判定定理

判定定理1:如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行一面面平行）

Hua

bua

acb=P=a〃B

a〃8

8〃8

判定定理2：如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行

',0na〃日

713

判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行

a〃B〃

=>a〃■/

B〃丫

2.性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(面面平行一线线平行)

a〃6

丫〃a=a=a〃方

丫〃B=6

三.证明方法

1.证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点；

(2)转化为二直线同与第三条直线平行；

(3)转化为线面平行；

(4)转化为线面垂直；

(5)转化为面面平行.

2.证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点；

(2)转化为线线平行；

(3)转化为面面平行.

3.证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点；

(2)转化为线面平行；

(3)转化为线面垂直.

4直线、平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直

1.判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

mua

〃ua

1Vm

11.n

2.性质定理

性质定理1：垂直于同一个平面的两条直线平行

ala