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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为()A.3 B. C.6 D.2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.3.若复数(是虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则6.已知直四棱柱的所有棱长相等,,则直线与平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.7.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点8.将函数的图像向左平移个单位长度后,得到的图像关于坐标原点对称,则的最小值为()A. B. C. D.9.已知函数,则的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.202010.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.11.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.若集合,则=()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.14.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,,是边长为2的正三角形,,则球的体积为__________.15.展开式中项系数为160,则的值为______.16.某部门全部员工参加一项社会公益活动,按年龄分为三组,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该部门员工总人数为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)年,山东省高考将全面实行“选”的模式(即:语文、数学、外语为必考科目,剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试).为了了解学生对物理学科的喜好程度,某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示,男生喜欢物理的有人,不喜欢物理的有人;女生喜欢物理的有人,不喜欢物理的有人.(1)据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”;(2)为了了解学生对选科的认识,年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学(其中男女喜欢物理)中,选取名男同学和名女同学参加座谈会,记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为,求的分布列及期望.,其中.18.(12分)已知函数f(x)=ex-x2-kx(其中e为自然对数的底,k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.(1)求实数k的取值范围;(2)证明:f(x)的极大值不小于1.19.(12分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.20.(12分)已知圆M:及定点,点A是圆M上的动点,点B在上,点G在上,且满足,,点G的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点,与直线和分别交于P、Q两点.当时,求(O为坐标原点)面积的取值范围.21.(12分)设函数,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)若在上存在两个极值点,求的取值范围;(Ⅱ)若,函数与函数的图象交于,且线段的中点为,证明:.22.(10分)在极坐标系中,已知曲线C的方程为(),直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且,求r的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据焦点到渐近线的距离,可得,然后根据,可得结果.【详解】由题可知:双曲线的渐近线方程为取右焦点,一条渐近线则点到的距离为,由所以,则又所以所以焦距为:故选:A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程,以及之间的关系,识记常用的结论:焦点到渐近线的距离为,属基础题.2、A【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱,根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示:其中,底面为直角三角形,,,高为.∴该几何体的体积为故选:A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积,属于基础题.3、A【解析】
将整理成的形式,得到复数所对应的的点,从而可选出所在象限.【详解】解:,所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,考查了复数对应的坐标.易错点是误把当成进行计算.4、A【解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.5、C【解析】
在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.6、D【解析】
以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.求解平面的法向量,利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱,,取中点,以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设,则,.设平面的法向量为,则取,得.设直线与平面所成角为,则,,∴直线与平面所成角的正切值等于故选:D【点睛】本题考查了向量法求解线面角,考查了学生空间想象,逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.7、A【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,,,又,,平面,又平面,故在以为直径的圆上,又是内异于的动点,所以的轨迹是圆,但要去掉两个点A,B故选:A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定,圆的性质,轨迹问题,属于中档题.8、B【解析】
由余弦的二倍角公式化简函数为,要想在括号内构造变为正弦函数,至少需要向左平移个单位长度,即为答案.【详解】由题可知,对其向左平移个单位长度后,,其图像关于坐标原点对称故的最小值为故选:B【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换,还考查了余弦的二倍角公式逆运用,属于简单题.9、C【解析】
首先,根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,根据所求函数的周期性,得到其周期为4,然后借助于三角函数的周期性确定其值即可.【详解】解:.,,的周期为,,,,,..故选:C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键,属于中档题.10、A【解析】
由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),
∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,
设=(a,b),,则,即,
又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.11、D【解析】
先求出的值域,再利用导数讨论函数在区间上的单调性,结合函数值域,由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为,故,当时,,故在区间上单调递减;当时,,故在区间上单调递增;当时,令,解得,故在区间单调递减,在区间上单调递增.又,且当趋近于零时,趋近于正无穷;对函数,当时,;根据题意,对,且,使得成立,只需,即可得,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题,涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题,属综合困难题.12、C【解析】
求出集合,然后与集合取交集即可.【详解】由题意,,,则,故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、9【解析】分析:先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此当且仅当时取等号,则的最小值为.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.14、【解析】
由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直,则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,求出正方体的对角线的长,就是球的直径,然后求出球的体积.【详解】解:因为,为正三角形,所以,因为,所以三棱锥的三条侧棱两两垂直,所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球,因为正方体的对角线长为,所以其外接球的半径为,所以球的体积为故答案为:【点睛】此题考查球的体积,几何体的外接球,考查空间想象能力,计算能力,属于中档题.15、-2【解析】
表示该二项式的展开式的第r+1项,令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.【详解】该二项式的展开式的第r+1项为令,所以,则故答案为:【点睛】本题考查由二项式指定项的系数求参数,属于简单题.16、60【解析】
根据样本容量及各组人数比,可求得C组中的人数;由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数,即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则三组抽取人数分别.设组有人,则组中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为:60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用,古典概型概率的简单应用,由各层人数求总人数的应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)有的把握认为喜欢物理与性别有关;(2)分布列见解析,.【解析】
(1)根据题目所给信息,列出列联表,计算的观测值,对照临界值表可得出结论;(2)设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人,女同学有人,则,确定的所有取值为、、、、.根据计数原理计算出每个所对应的概率,列出分布列计算期望即可.【详解】(1)根据所给条件得列联表如下:男女合计喜欢物理不喜欢物理合计,所以有的把握认为喜欢物理与性别有关;(2)设参加座谈会的人中喜欢物理的男同学有人,女同学有人,则,由题意可知,的所有可能取值为、、、、.,,,,.所以的分布列为:所以.【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列.离散型随机变量的期望.属于中等题.18、(1);(2)见解析【解析】
(1)求出,记,问题转化为方程有两个不同解,求导,研究极值即可得结果;(2)由(1)知,在区间上存在极大值点,且,则可求出极大值,记,求导,求单调性,求出极值即可.【详解】(1),由,记,,由,且时,,单调递减,,时,,单调递增,,由题意,方程有两个不同解,所以;(2)解法一:由(1)知,在区间上存在极大值点,且,所以的极大值为,记,则,因为,所以,所以时,,单调递减,时,,单调递增,所以,即函数的极大值不小于1.解法二:由(1)知,在区间上存在极大值点,且,所以的极大值为,因为,,所以.即函数的极大值不小于1.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性,极值,考查学生综合分析能力与转化能力,是一道中档题.19、(1);(2)见解析.【解析】
(1)在中,计算出的值,可得出的值,进而可得出的值,由此可得出椭圆的标准方程;(2)设点、,设直线的方程为,将该直线方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,根据已知条件得出,利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式,代入直线的方程,即可得出直线所过定点的坐标.【详解】(1)在中,,,,,,,,因此,椭圆的标准方程为;(2)由题不妨设,设点,联立,消去化简得,且,,,,,∴代入,化简得,化简得,,,,直线,因此,直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中直线过定点的问题,考查计算能力,属于中等题.20、(1);(2).【解析】
(1)根据题意得到GB是线段的中垂线,从而为定值,根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,即可求出曲线C的方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,表示处的面积代入韦达定理化简即可求范围.【详解】(1)为的中点,且是线段的中垂线,,又,∴点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设椭圆方程为(),则,,,所以曲线C的方程为.(2)设直线l:(),由消去y,可得.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以,.①又由可得;同理可得.由原点O到直线的距离为和,可得.②将①代入②得,当时,,综上,面积的取值范围是
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