7.4等差数列与等比数列的应用（解析版）

7.4等差数列与等比数列的应用同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．一张报纸，其厚度为，面积为，现将报纸对折次，这时报纸的厚度和面积分别是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据对折一次后所得厚度和面积与此前厚度和面积的比例关系可直接得到结果.【详解】每对折一次，厚度变为原来的倍，则对折次后的报纸厚度为；每对折一次，面积变为原来的，则对折次后的报纸面积为.故选：A.2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（

）A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个【答案】B【分析】先算出分裂的次数，即可求得总个数.【详解】20分钟分裂一次，经过3个小时，总共分裂了九次，也就是29=512个，故选：B．3．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（

）．A．1 B．3 C．9 D．81【答案】D【分析】先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，把4直接代入即可.【详解】由题意知，第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂，第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，第n天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3的等比数列，所以其通项公式为：，所以，第四天共有只蜜蜂.故选：D4．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（

）A．35 B．75 C．155 D．315【答案】C【分析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.5．夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（

）．A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m【答案】C【分析】求出温度差，利用从山脚起每升高降低，即可求得结论.【详解】山顶与山脚的温度差为，因为每升高100m，气温降低，所以山顶相对于山脚的高度为（m）.故选：C.6．2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列，结合等差数列的前项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列，则是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有，解得．故选：D.7．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（

）A．石 B．石 C．石 D．石【答案】B【分析】根据题意可得数列中的项，根据等差数列的计算公式可得解.【详解】依题意，设甲､乙､丙分得的米重量分别为，，，则，且，解得，，所以，故选：B.8．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，得到各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，前项和，设第层的灯数为，则由等差数列前项和公式得，解得，∴.故选：C.9．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为A．9 B．10C．19 D．29【答案】B【详解】试题分析：∵把根相同的圆钢管堆放成一个正三角形垛，∴正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为，公差是的数列，∴正三角形垛所需钢总数为,令，解得是使得不等式成立的最大整数，此时取最大值，由此可以推出剩余的钢管有根．故选B．考点：等差数列的实际应用.10．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成（

）A．64 B．128 C．256 D．255【答案】C【分析】先判断经过2小时，共分裂8次，再根据等比数列通项公式求解即可.【详解】某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成，故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，解题关键是判断出分裂次数，属于基础题.二、填空题11．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了支铅笔．【答案】7260【分析】将题意转化为等差数列的求和问题即可.【详解】从下向上各层所放铅笔数依次为1，2，3，…，120，从下向上各层所放铅笔数是首项为1，公差为1的等差数列，所以共放了铅笔（支）．故答案为：726012．已知等差数列的前n项和为，若，则.【答案】1【分析】由等差中项性质可求，又依据等差数列的前n项和公式及通项公式列方程即可求得公差【详解】由有，而∴结合等差数列的前n项和公式及通项公式即可得故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n项和公式、通项公式求公差13．已知数列的前项和（），则此数列的通项公式为．【答案】【分析】由数列的前n项和得，再由an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得an，验证即可．【详解】由Sn=n2，得a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n-1．当n=1时

=1代入上式成立，∴an=2n-1．故答案为2n-1．【点睛】本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式的问题，应用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是关键，属于基础题．14．已知数列的前项和为，且，则．【答案】14【分析】由可得结果.【详解】由题意得．故答案为：.【点睛】本题考查由求，考查计算能力，属于基础题.15．设为等差数列的前项和，若，，则.【答案】9【详解】在等差数列中，成等差数列，成公差为2的等差数列，即三、解答题16．在1，2，3，…，200中，被5除余1的数共有多少个？【答案】40【分析】构造等差数列，求项数即可.【详解】被5除余1的数是，是首项为1，公差为5的等差数列的通项公式，，，，∴在1-200个数字中，有40个数被5除余1，故答案为：40.17．一种变速自行车后齿轮组由5个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为12和28，求中间三个齿轮的齿数．【答案】【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，结合通项公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由最小和最大的齿轮的齿数分别为12和28，可得，即，解得，所以，即中间三个齿轮的齿数分别为.18．培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，那么到第5代可以得到这个新品种的种子多少粒？【答案】到第5代可以得到这个新品种的种子粒.【分析】由等比数列定义写出通项公式，进而求到第5代可以得到这个新品种的种子数量.【详解】由题意，各代的种子数所成的数列是以为首项、公比的等比数列，所以，则到第5代可以得到这个新品种的种子有粒.19．求数列，，，…，，…的前n项和．【答案】【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式分组求和即可【详解】能力进阶能力进阶20．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足(1)求数列和的通项公式；(2)令求数列的前n项和；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；（2）分组求和即可.【详解】（1）设的公差为,由已知,有解得，所以的通项公式为,的通项公式为.（2