余弦定理教案 人教版

余弦定理教案人教版主备人备课成员教学内容本节课为人教版高中数学必修⑤中的“余弦定理”章节。主要内容包括：

1.理解余弦定理的定义和表达式；

2.掌握余弦定理的应用，能够运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题；

3.能够运用余弦定理解决实际问题，如测量三角形的边长等。

教学重点为余弦定理的推导过程和应用，教学难点为理解余弦定理在解决实际问题中的运用。核心素养目标本章节旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过学习余弦定理，学生能够抽象出三角形的边角关系，运用逻辑推理推导出余弦定理，并能够将余弦定理应用于解决实际问题，建立数学模型。同时，通过小组合作探讨和问题解决，学生能够提升数学交流和数学思维的能力。教学难点与重点1.教学重点

本节课的核心内容是余弦定理的定义、表达式及其应用。具体包括以下几点：

（1）理解余弦定理的概念，掌握余弦定理的表述方式；

（2）熟练运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题；

（3）能够将余弦定理应用于实际问题，如测量三角形的边长等。

2.教学难点

本节课的难点在于理解余弦定理的推导过程以及在实际问题中的运用。具体包括以下几点：

（1）推导余弦定理：学生需要理解并掌握余弦定理的推导过程，包括正弦定理、余弦定理的引入以及推导出的过程；

（2）运用余弦定理解决实际问题：学生需要能够将余弦定理灵活运用到实际问题中，如测量三角形的边长、求解三角形的角度等；

（3）理解余弦定理在不同情境下的应用：学生需要理解在不同情境下，如直角三角形、等边三角形等，余弦定理的运用方法和注意事项。

例如，在解决实际问题时，学生需要注意到余弦定理的适用范围是三角形，且已知条件必须包含三角形的两边和夹角。同时，学生还需要了解在特殊情况下，如直角三角形和等边三角形，余弦定理的特殊性质和运用方法。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：通过教师的讲解，引导学生理解余弦定理的概念和推导过程，以及如何在实际问题中运用；

（2）讨论法：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法，互相学习和交流，提高解决问题的能力；

（3）实验法：通过数学实验，让学生亲自动手操作，验证余弦定理的正确性，培养学生的实践能力和创新思维。

2.教学手段

（1）多媒体设备：利用多媒体课件，生动形象地展示余弦定理的推导过程，以及实际问题的情境，提高学生的学习兴趣和理解能力；

（2）教学软件：运用教学软件，如数学模拟软件，让学生在虚拟环境中进行实验操作，加深对余弦定理的理解；

（3）在线资源：利用网络资源，提供相关的学习材料和实例，拓宽学生的知识视野，丰富学习内容。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解“余弦定理”的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习“余弦定理”内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确“余弦定理”教学目标和“余弦定理”重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保“余弦定理”教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习“余弦定理”的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入“余弦定理”学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的“三角函数”内容，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为“余弦定理”新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解“余弦定理”知识点，结合实例帮助学生理解。

突出“余弦定理”重点，强调“余弦定理”难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕“余弦定理”问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对“余弦定理”知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决“余弦定理”问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的“余弦定理”错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与“余弦定理”内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合“余弦定理”内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习“余弦定理”的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的“余弦定理”内容，强调“余弦定理”重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的“余弦定理”内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学期刊：《数学学报》、《数学年刊》等数学领域的期刊，可供学生了解余弦定理的研究前沿和应用实例。

（2）在线课程：国内外知名大学开设的线性代数课程，如MIT的《线性代数及其应用》等，可以帮助学生深入学习余弦定理的相关知识。

（3）数学软件：Mathematica、MATLAB等数学软件，学生可以通过这些软件进行余弦定理的实验验证和实际应用。

（4）数学博客、论坛：数学博客、论坛上有关余弦定理的讨论和文章，可以帮助学生了解不同的解题思路和方法。

2.拓展建议：

（1）让学生阅读数学期刊，了解余弦定理在数学研究中的应用和发展，提升学生的学术素养。

（2）鼓励学生参加线上线性代数课程，学习余弦定理的高级应用，提高学生的知识水平。

（3）指导学生利用数学软件进行余弦定理的实验验证，让学生在实践中掌握知识，提高学生的动手能力。

（4）鼓励学生在数学博客、论坛上参与有关余弦定理的讨论，分享自己的学习心得和解题方法，提升学生的交流和合作能力。

（5）为学生提供余弦定理相关的阅读材料，如数学故事、历史背景等，帮助学生了解余弦定理的来龙去脉，增强学生对数学的兴趣。

（6）建议学生关注数学在现实生活中的应用，如测量、工程等领域，让学生认识到学习余弦定理的实际意义，培养学生的应用意识。典型例题讲解本节课将讲解以下五个典型例题，帮助学生深入理解并掌握余弦定理的应用。

例题1：

已知三角形ABC中，AB=5，BC=8，AC=10，求角A的余弦值。

解：根据余弦定理，我们有

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

代入已知条件，得

cosA=(8²+10²-5²)/(2×8×10)

cosA=(64+100-25)/160

cosA=139/160

cosA=0.86875

答案：角A的余弦值为0.86875。

例题2：

在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=8，b=15，c=17，求角A的余弦值。

解：根据余弦定理，我们有

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

代入已知条件，得

cosA=(15²+17²-8²)/(2×15×17)

cosA=(225+289-64)/510

cosA=440/510

cosA=0.86341

答案：角A的余弦值为0.86341。

例题3：

已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且已知cosB=3/5，cosC=4/5，求cosA的值。

解：根据余弦定理，我们有

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

又因为cosB=3/5，cosC=4/5，可以得到

cosB=(b²+a²-c²)/(2ab)

cosC=(c²+a²-b²)/(2ac)

将cosB和cosC的表达式代入cosA的公式中，得

cosA=(cosB+cosC)/2

代入已知条件，得

cosA=(3/5+4/5)/2

cosA=7/10/2

cosA=7/20

答案：cosA的值为7/20。

例题4：

已知三角形ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，求三角形ABC的面积。

解：根据余弦定理，我们有

cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)

代入已知条件，得

cosA=(8²+10²-6²)/(2×8×10)

cosA=(64+100-36)/160

cosA=128/160

cosA=0.75

然后，我们可以用三角函数的关系求出sinA的值：

sinA=√(1-cos²A)

sinA=√(1-0.75²)

sinA=√(1-0.5625)

sinA=√0.4375

sinA=0.66197

最后，我们可以用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积：

S=1/2×ab×sinC

代入已知条件，得

S=1/2×6×8×0.66197

S=1/2×48×0.66197

S=28.88×0.66197

S≈18.98

答案：三角形ABC的面积约为18.98平方单位。

例题5：

在直角三角形ABC中，∠C为直角，AB为斜边，已知AC=3，BC=4，求斜边AB的长度。

解：根据余弦定理，我们有

cosA=BC/AB

代入已知条件，得

cosA=4/AB

又因为∠C为直角，所以cosA=cos(90°-B)=sinB

因此，我们有

sinB=4/AB

然后，我们可以用正弦函数的关系求出AB的值：

AB=sinB×BC

代入已知条件，得

AB=sinB×4

由于sinB=√(1-cos²B)，我们可以求出sinB的值：

sinB=√(1-(4/AB)²)

sinB=√(1-16/(AB²))

sinB=√((AB²-16)/(AB²))

sinB=√(AB²/(AB²)-16/(AB²))

sinB=√(1-16/AB²)

sinB=√(AB²-16)/AB

将sinB的表达式代入AB的公式中，得

AB=(√(AB²-16))×4

平方两边，得

AB²=(AB²-16)×16

AB²=AB²-16×16

AB²=AB²-256

256=AB²-AB²

256=0

这是一个矛盾的等式，说明在直角三角形ABC中，斜边AB的长度不能为0。因此，例题5的题目描述有误，无法求解斜边AB的长度。

答案：例题5的题目描述有误，无法求解斜边AB的长度。作业布置与反馈作业布置：

1.请学生独立完成以下练习题，以巩固本节课所学的余弦定理知识：

（1）在三角形ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=10，求角A的余弦值。

（2）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=8，b=15，c=17，求角A的余弦值。

（3）已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且已知cosB=3/5，cosC=4/5，求cosA的值。

（4）已知三角形ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，求三角形ABC的面积。

（5）在直角三角形ABC中，∠C为直角，AB为斜边，已知AC=3，BC=4，求斜边AB的长度。

2.请学生完成以下应用题，将余弦定理应用于解决实际问题：

（1）在测量一个未知边长的三角形中，已知三角形的三边分别为a、b、c，且a=5，b=12，c=13，求三角形中未知边长的长度。

（2）在建筑施工中，已知三角形支架的三边长度分别为a=4米，b=6米，c=8米，求支架的最大稳定性角度。

作业反馈：

1.对学生的练习题进行批改，检查学生对余弦定理的掌握情况，并指出存在的问题。对于计算