北师大版选择性3223空间向量的数量积课件（40张）

2.2.3空间向量的数量积学习目标1.理解空间向量夹角的概念及表示方法,培养直观想象素养.2.理解空间向量数量积的意义,掌握空间向量数量积的运算律,培养学生的数学运算素养.3.了解投影向量以及投影数量的概念,借助投影向量以及投影数量概念的学习,培养学生的直观想象和逻辑推理素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究1.两个向量的夹角a⊥b∠AOB<a,b>相同相反2.两个向量的数量积(1)空间向量的数量积.已知两个空间向量a,b,把|a||b|cos<a,b>叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=

.零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=

.①cos<a,b>=

(a≠0,b≠0);|a||b|cos<a,b>0③a⊥b⇔a·b=0.(2)运算律.数乘向量与数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b),λ∈R交换律a·b=b·a分配律a·(b+c)=a·b+a·c②|a|=

;|b|cos<a,b>a0·b师生互动·合作探究探究点一两个向量的数量积[例1]已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1,如图所示,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,求下列向量的数量积:[例1]已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1,如图所示,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,求下列向量的数量积:[例1]已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1,如图所示,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,求下列向量的数量积:方法总结在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解.解析:如图所示,若AA1=AD,则AD1⊥B1C,故A正确;若AB=AD,则BD1⊥AC,故B正确;因为AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥AD1,故C正确;因为BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,所以两者不可能垂直,故D错误.故选ABC.探究点二投影向量与投影数量答案:(1)-2e(2)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,则2a-b在a方向上的投影数量为

.

答案:(2)1方法总结(1)求投影向量的方法.①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.②以向量a在向量b方向上的投影向量为例,首先根据题意确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ,然后依据公式|a|cosθ·e计算.答案:(1)B

(2)已知|a|=3,|b|=5,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则a在b方向上的投影向量为

.

探究点三空间向量数量积的运算(1)求侧棱AA1的长;方法总结求向量的夹角和模(1)求对角线AC1的长;利用数量积求异面直线所成的角问题:如何求异面直线所成的角,步骤如何?学海拾贝结论:用数量积求两条异面直线所成的角,一般步骤如下:(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量);(2)异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;(3)利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小;(4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小.典例探究:如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,