《对数的运算》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《对数的运算》教学设计

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l♦教学目标

1.理解对数的运算性质，体会对数对简化运算的作用；

2.知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；

3.能够利用对数的运算性质、换底公式解决问题，提升数学运算核心素养.

♦教学重难点

教学重点：对数的运算性质，换底公式.

教学难点：对数运算性质的得出，对数换底公式的推导.

’♦课前准备

X.________________________Z

PPT课件，计算器.

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♦教学过程

(一)新知探究

1.对数的运算性质

问题1:因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号.在引入对数之后，

自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究？

师生活动：学生分组讨论交流，教师引导学生从对数与指数间的关系思考.

预设的答案：通过上节课的学习，我们知道了对数是通过指数塞的形式定义出来的，因

此对数运算是由指数事运算衍生出来的.对数运算与指数幕运算是两类重要的运算，正像加

法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学

习除法运算.对于对数运算，我们也可以通过指数基运算推导对数运算的性质.

设计意图：明确研究的内容，新旧知识产生联系，激发学生的探究欲望.

追问1:请回忆指数基的运算性质.

师生活动：个别提问回答.

预设的答案：对于任意实数r,s,均有下面的指数幕运算性质.

(1)aras=ar+s(a>0,r,seR)；

(2)(tf)'=a"(a>0,wR)；

(3)(ab)r=a'br(a>0,/?>0,reR).

设计意图：回忆指数寐的运算性质，为推导对数的运算性质提供理论上的支持.

追问2：根据对数与指数间的关系，结合指数基的运算性质(1)aras=(a>0,r,seR),

你能将指数式ama"=a"""转换为对数式的形式么？由此你可以得出的对数的运算性质是什

么？

师生活动：先由学生尝试解决，然后进行展示，教师予以补充完善.

预设的答案：

设MN=""，因为a'"a"=am+"，所以MN=am+".

根据对数与指数间的关系可得log”M=m,logaN=n,logu(MN)=m+n.

这样，就得到了对数的一个运算性质：log,,(MN)=log“M+log,,N.其中a>0,且a#

1,Af>0,N>0.

设计意图：从指数蕊运算的角度出发进行推导，便于学生理解.

追问3：仿照上述的推导过程，由a'^a'^a"""你能推出对数的其他运算性质吗？

师生活动：学生独立完成后展示交流，教师予以纠错并修改.

预设的答案：设A/="",N=a",因为屋+〃"=暧-",所以竺=暧-".

N

根据对数与指数间的关系可得k>g“M=加，log(JN=n,loga^=m-n.

于是：log“，=log"MTogaN・

设计意图：通过类比的方式让学生自行推导，加深理解对数的运算性质.

追问4：运用指数基的运算性质及对数的概念，推导对数的运算性质：log,W=〃log/.

师生活动：学生独立完成后展示交流，教师予以纠错并修改.

预设的答案：设M=〃"，因为.)"=a,nn,所以log"M"=log”[an,)〃=log”am,=mn.

根据对数与指数间的关系可得log.M=机，所以=nm.

于是：log.M"=/?logizM.

设计意图：与前面两个性质的推导不同，这个性质要求学生直接从结论出发，根据对数

的运算进行推导.让学生体会对数运算性质的推导有多种方法，但本质上都是充分运用指数

暴的运算性质及对数的概念.

问题2：总结对数的运算性质，谈谈对数的运算性质有什么特点？

师生活动：学生进行总结并讨论交流，教师予以完善.

预设的答案：对数有如下的运算性质.

如果a>0,且M>0,N>0,那么

（1）log,,（MN）=log„M+log,,N；

M

⑵log.R=log〃MTog“N;

（3）log,,M"=«log（,M（/;eR）.

从对数的运算性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法,把除法转化为减法,

把乘方转化为乘法.从运算角度看，力口、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是

三级运算.运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的

复杂度也越高.对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算.

教师讲解：现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这种作用

似乎有些微不足道,但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、

除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”.因

此，对数运算性质在数学发展史上是伟大的成就.

设计意图：通过总结对数的运算性质，体会对数对简化运算的作用.

2.对数运算性质的初步应用

例3求下列各式的值：

75

（1）IgVlOO；（2）log2（4x2）.

追问：根据题目中运算对象的特点，应该选择对数的哪条运算性质作为求解依据？

师生活动：学生独立完成后展示交流.

预设的答案：（1）应该选择第3条性质；（2）应该选择第1条性质，之后根据化简的

情况再进行选择.

212

解：（1）igVi55=igioos=gigioo=g；

7575

（2）log2（4x2）=log24+log22=71og24+51og,2=7x2+5x1=19.

设计意图：让学生直接运用对数的运算性质进行具体数值的计算，从中体会对数运算把

乘方转化为乘法，把乘法转化为加法的作用.

例4用Inx,Iny,Inz表示In

追问：类比例3中具体数值的计算，本题可以依据对数的哪些运算性质？

师生活动：学生独立完成后展示交流.

预设的答案：通过观察，本题需要综合运用对数的3条运算性质进行求解.

解：In=In#5/7)-心正=\nx2+Iny/y-Inifz=21nx+glny-glnz.

设计意图：通过对有字母的对数的运算，综合运用对数的运算性质进行求解，熟悉对数

的运算性质.

3.对数的换底公式

问题3：从历史上看，发明对数完全是计算的需要，但在计算过程中，我们无法穷尽所

有对数的运算，毕竟对数的运算数量级高、复杂度高.当时人们为了运算的方便，经过大量

的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自

然对数.现在利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.请思考：为

了方便地求出其他底数的对数，能否将其他底数的对数转换为以10或e为底的对数？

师生活动：学生进行思考.

设计意图：在引入对数的定义，研究了对数的运算性质之后，自然会想到如何简化运算，

引导学生进行探索.

追问1：首先从一个具体的问题开始研究.利用计算工具可以求出ln2,ln3的近似值,

那么根据对数的定义，你能利用ln2,ln3的值求出log23的值吗？我们应该对ln2,ln3和

log23做怎样的处理？

师生活动：学生尝试对k）g23进行代数变形，教师引导学生：变形的关键是灵活运用对

数与指数的关系以及对数的定义.

预设的答案：设log23=x,则2r=3,于是In2*=ln3.

根据性质（3）得xln2=ln3,BPlog3=—.

2In2

利用计算工具可以求出ln2=0.6931,ln3=1.0986,所以log,3=妃=1.5851.

In2

设计意图：从具体、特殊的问题开始研究，往往能启发思路、发现规律.从对数的定义

思考问题，加强“从定义、基本原理出发思考问题”的引导.

追问2；在上述具体问题及其解决过程的启发下，根据对数的定义，你能用log/,log,）

表示logj?（a>0,且“Wl；匕>0；c>0,且cWl）吗？

师生活动：学生仿照上述过程进行推导，个别提问回答，教师予以补充完善.

预设的答案：设k>g“6=x,则于是10gt,a*=log。A.

根据性质（3）得xlog,a=log,6,即

log,fo=^^（“>0,且〃W1；6>0；c>0,且cWl）.

log.a

我们把上式叫做对数换底公式.

利用对数的换底公式，可以把任意底数的对数的值转化为以10或e为底的对数，这样

就可以利用对数表或计算工具计算任意底数的对数的值.

设计意图:从特殊到一般的过程是数学中思考和解决问题时常用的方法.经历这一过程，

提高学生思考和解决问题的能力.

追问3：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就

是计算x=logiu2的值.利用计算工具，根据换底公式，求解x=log,“2的值.

师生活动：学生独立完成后展示交流.

预设的答案：由换底公式，可得x=log|“2=」吐.

lgl.ll

利用计算工具，可得x吐。6.64“7.

Igl.H

由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.

设计意图：现学现用，加强对换底公式的理解.

4.综合应用，巩固新知

例5尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解,

例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为

1g£=4.8+1.5M.

2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008

年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?

师生活动：学生独立完成后，个别提问回答.教师可以引导学生：本题求解的对象是地

震释放能量的倍数，即E的比值，给的条件是地震里氏震级M,需要用题中给的对数关系

式将二者建立联系.

预设的答案：

解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为Ei和Ei.

由lg£=4.8+1.5M,可得

lgEi=4.8+1.5X9.0,

lgE2=4.8+1.5X8.0.

E

于是，lg」=lg£-但七=(4.8+1.5x9.0)-(4.8+1.5x8.0)=1.5.

E2

利用计算工具可得，"=10'5X32.

虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约

32倍.

设计意图：通过本题，可以让学生体会地震的里氏震级虽然相差很小，但是地震释放的

能量波差别巨大，进一步感受对数运算的意义.

追问：想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？

师生活动：学生讨论交流，教师予以补充完善.

预设的答案：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小.这其

实相当于把指数幕运算中幕的结果反映在指数上,也就是说，在以10为底的指数幕运算中，

指数每增加1,其事的值就是原来的10倍；每增加2,其累的值就是原来的100倍；反之，

在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，

对数值就增加2.所以，在指数幕运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，”对

数增长”的变化就比较慢.

设计意图：初步感知不同运算导致的增长差异，为后面的课程“不同函数的增长差异”

作铺垫.

(二)归纳小结，布置作业

问题4：回顾本节课，我们是如何得到对数的运算性质的？这对我们有什么启示？谈谈

对数的换底公式为什么非常重要？

师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充完善.

预设的答案：(1)我们是根据对数的定义，以及对数与指数间的关系，通过指数辱运

算推导出对数的运算性质.这对我们的启示是，数学知识、数学运算不是相互孤立的，它们

之间有着密切的联系.所以我们在今后的学习中，也应当注重在现有知识的基础上，进行新

知识的拓展，并且注意新旧知识之间的联系.

(2)到目前为止，我们学习了加法、减法、乘法、除法、乘方、开方、指数塞、对数

等运算.以我们目前所掌握的知识来看，对数运算与其他运算的一个很大的不同点是：其他

运算基本上都可以仅靠纸笔来计算；而对数运算，除了特殊的一些情况(例如log24,log3l

等)，都必须借助指数幕来计算，即便如此，计算的过程也是相当的繁琐复杂.因此，人们

制作了常用对数表和自然对数表.但我们无法穷尽所有底数的对数表，所以对于其他底数的

对数，可以通过换底公式，转化为常用对数或自然对数，从而实现其他底数的对数的运算.所

以，对数的换底公式，将对数的计算大大简化.

设计意图：引导学生对所学知识进行梳理，培养学生联系新旧知识的能力，建立数学知