【吃透中考数学29个几何模型】模型06 半角模型

专题06半角模型

一、单选题

1.如图所示，在R3ABC中，AB=AC,D、E是斜边上的两点，且/D4E=45。，将AAOC绕点A按

顺时针方向旋转90。后得到△AFB,连接EF,有下列结论:①BE=DC；②NBAF=ZDAC；③NFAE=/DAE；

®BF=DC.其中正确的有（）

A.①②③④B.②③C.②③④D.③④

【答案】C

【分析】

利用旋转性质可得△ABE四△ACD,根据全等三角形的性质一一判断即可.

【详解】

解：：△AOC绕A顺时针旋转90。后得到△AFB,

：.AABF^AACD,

：.ZBAF=ZCAD,AF=AD,BF=CD,故②④正确，

AZEAF=ZBAF+ZBAE^ZCAD+ZBAE=ABAC-NZME=90°-45°=45°=N£）AE故③正确

无法判断BE=C。，故①错误，

故选：C.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

二、解答题

2.如图，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,点N在边BC上，且/M4N=45。.若BM=1,

CN=3,求MN的长.

710

【分析】

过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.通过证明△ABM之Z\ACE(SAS)

推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角/BAM=/CAE；然后由等腰直角三角形的性质和/MAN=45。

得到NMAN=/EAN=45。，所以△MAN咨AEAN(SAS),故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股

定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.

【详解】

解：如图，过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.

VAB=AC,ZBAC=90°,

；./B=NACB=45°.

VCE±BC,

.".ZACE=ZB=45°.

AB=AC

在4ABM和4ACE中|NB=NACE,

BM=CE

：.△ABMACE(SAS).

.\AM=AE,ZBAM=ZCAE.

：/BAC=90°,/MAN=45°,

ZBAM+ZCAN=45°.

于是，由/BAM=/CAE,得/MAN=NEAN=45。.

AM=AE

在^MAN和4EAN中|ZMAN=ZEAN,

AN=AN

：.AMAN^AEAN(SAS).

；.MN=EN.

在RtAENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.

.*.MN2=BM2+NC2.

VBM=1,CN=3,

.\MN2=l2+32,

.,.MN=7IO.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，掌握三角形的

全等的判定定理是解题关键.

3.在/M4N内有一点。，过点。分别作。DC±AN,垂足分别为8,C.且80=0,点E,尸分

别在边AM和AN上.

图2

(1)如图1,若/BED=NCFD,请说明。£=。下；

(2)如图2,若NBOC=120。，ZEDF=60°,猜想EF,BE,CP具有的数量关系，并说明你的结论成立的理

由.

(1)说明见解析；(2)EF=FC+BE.理由见解析.

【分析】

(1)根据题目中的条件和/BED=NCFD,可以证明△BDE丝ACDF,从而可以得到DE=DF；

(2)作辅助线，过点D作NCDG=NBDE,交AN于点G,从而可以得到△BDE04CDG,然后即可得到

DE=DG,BE=CG,再根据题目中的条件可以得到△EDF四Z\GDF,即可得到EF=GF,然后即可得到EF,

BE,CF具有的数量关系.

【详解】

(1)DBLAM,DCLAN,

ZDBE=ZDCF=90°.

在48。£和4C。尸中,

ZBED=ZCFD,

•：<ZDBE=ZDCF,

BD=CD,

：.ABDE^ACDF(AAS).

，DE=DF.

(2)过点。作NCDG=N2DE,交AN于点G.

在48。£和4CQG中，

ZEBD=ZGCD,

'：<BD=CD,

ZBDE=ZCDG,

：.△BDE^/XCDG(ASA)

：.DE=DG,BE=CG.

VZBDC=\20°,NEDF=60。,

ZBDE+ZCDF=60°.

：.ZFDG=ZCDG+ZCDF=60°.

：.ZEDF=ZGDF.

在4£八尸和4GO尸中,

DE=DG,

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF,

：.△EDF沿4GDF(SAS).

Z.EF=FG.

：.EF=FC+CG=FC+BE.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

4.如图，AB=AD^BC^DC,NC=/D=ZABE=/BAD=90。，点、E、尸分别在边BC、CD±,

NE4F=45。，过点A作NG4B=NE4D,且点G在CB的延长线上.

(1)AG钻与AE4D全等吗？为什么？

(2)若。尸=2,BE=3,求所的长.

(1)AGAB^/\FAD,理由见解析；(2)EF=5

【分析】

(1)由题意可得/ABG=ND=90。，进一步即可根据ASA证得△

(2)由(1)的结论可得AG=AF,GB=DF,易得/BAE+/D4F=45。，进而可推出/GAE=/EAF然后利

用SAS即可证明^GAE^AFAE,可得GE=EF,进一步即可求出结果.

【详解】

解：(1)/D=/A3E=90。，点G在CB的延长线上,

ZABG=ZD=90°,

在^GAB^DA£4。中，

VZGAB=ZFAD,AB=AD,ZABG=ZD,

二.△GAB注△FAD(ASA)；

(2)'：/\GAB^/\FAD,

：.AG=AF,GB=DF,

VZBAD=90°,/E4F=45。，

ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZBAE+ZGAB=45°,即NGAE=45°,

ZGAE=ZEAF,

在404石和八曲E中，

\'AG=AF,ZGAE=ZEAF,AE=AE,

：./\GAE^/\FAE(SAS),

GE=EF,

'：GE=GB+BE=DF+BE=2+3=5,

：.EF=5.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关

键.

5.如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90°,E,尸分别是BC,CD上的点，连接AE,AF,EF.

(1)如图①，AB=AD,ZBAD=120°,ZEAF=60°.求证：EF=BE+DF

（2）如图②，ZBAD=120°,当AER周长最小时，求/4EF+NAFE的度数；

（3）如图③，若四边形ABC。为正方形，点、E、P分别在边8C、CD上，且㈤产=45。，若BE=3,

DF=2,请求出线段石尸的长度.

【答案】（1）见解析；（2）ZAEF+ZAFE=120°■,（3）EF=5.

【分析】

（1）延长ND到点G,使DG=BE,连接AG,首先证明ABEmADG,则有AE=AG,NBAE=ZDAG,

然后利用角度之间的关系得出NE4/=NE4G=60°,进而可证明AEA产也,则

EF=FG=DG+DF,则结论可证;

(2)分别作点A关于和CD的对称点A',A",连接AA',交BC于点、E，交CD于点F,根据轴

对称的性质有AE=AE,A'F=AF，当点A'、E、F、A"在同一条直线上时，AA'即为AEF周

长的最小值，然后利用ZAEF+ZAFE=ZEAA+ZEAA+ZFAD+ZA'求解即可；

(3)旋转△ABE至△ADP的位置，首先证明△出尸会△£〃，则有所=尸尸，最后利用

EF=PF=PD+DF=6E+DF求解即可.

【详解】

(1)证明：如解图①，延长ED到点G,使DG=BE,连接AG,

在ZkABE和ADG中，

AB=AD,

<ZABE=ZADG,

BE=DG,

ABE名ADG(SAS).

:.AE=AG,NBAE=/DAG,

ZBAD=120°,ZEAF^60°,

ZBAE+ZFAD=ZDAG+ZFAD=60°.

:.ZEAF=ZFAG=a)°,

在AEAF和G4F中,

AE=AG,

<ZEAF=NGAF,

AF=AF,

EAF^GAF(SAS).

：.EF=FG=DG+DF,:.EF=BE+DF-.

(2)解：如解图，分别作点A关于BC和CD的对称点A',A",连接AA",交BC于点E，交CD于

点户.

由对称的性质可得AE=AE，A"F=AF，

,此时A石厂的周长为A石+郎+A尸=A'6+所+A'/=A'A”.

二当点A'、E、F、A"在同一条直线上时，AA"即为A石尸周长的最小值.

ZZMS=120°,

NA4'E+NA"=180。—120°=60°.

AEAA=ZEAA',ZFAD=NA〃，ZEAA+ZEAA=ZAEF,ZFAD+NA"=ZAFE,

ZAEF+ZAFE=ZEA^A+ZEAA+ZFAD+ZAV=2(ZA4'E+ZA")=2x60°=120°；

(3)解：如解图，旋转△ABE至△ADP的位置,

...NPAE=ZDAE+ZPAD=ZDAE+ZEAB=90°,

AP=AE^/PAF=/PAE—/FAF=90°—45°=45°=/EAF.

在和△应W中，

AP=AE,

<ZPAF=NEAF,

AF=AF,

:.^PAF^^EAF(SAS).

:.EF=FP.

EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

6.如图，A6C是边长为2的等边三角形，班)。是顶角为120。的等腰三角形，以点。为顶点作

NMDN=60°,点M、N分别在A3、AC±.

(1)如图①，当MNHBC忖,贝UAAW的周长为；

(2)如图②，求证：BM+NC=MN.

A

N

MM

B,cBC

DD

图①图②

(1)4；(2)见解析

【分析】

(1)首先证明△BDMgZXCDN,进而得出ADMN是等边三角形，ZBDM=ZCDN=30°,NC=BM=DM=

—MN,即可解决问题;

2

(2)延长AC至点E，使得=连接。E,首先证明△BDM0ZiCDE,再证明

△MDN94EDN,得出MN=NE,进而得出结果即可.

【详解】

解：(1)A6C是等边三角形，MN//BC,

ZAMN=ZABC^60°,ZANM=ZACB=«。

：.AAW是等边三角形，=则5M=NC,

：BDC是顶角ZBDC=120°的等腰三角形,

ZDBC=ZDCB=30°,

:.ZDBM=ZDCN=90°,

在瓦羽和△CDN中,

BM=CN,

<ZMBD=ZDCN,

BD=CD,

:.ABDMm^CDN(SAS),

:.DM=DN,ZBDM=ZCDN,

•••ZMDN=60°,

/.OMN是等边三角形，ZBDM=NCDN=30。,

.-.NC=BM=-DM=-MN,:.MN^MB+NC,

22

AAW的周长=AB+AC=4.

(2)如图，延长AC至点E，使得CE=BM,连接OE,

,/ABC是等边三角形，加C是顶角N5DC=120。的等腰三角形,

:.ZABC=ZACB=60°,ZDBC=ZDCB=30°,

:.ZABD=ZACD=90°,

;.NDCE=90。,

在和△CD£中，

BD=CD,

<ZMBD=ZECD,

BM=CE,

:.ABDM/△CDE(5AS),

:.MD=ED,ZMDB=ZEDC,

ZMDE=1200-ZMDB+ZEDC=120°,

/MDN=60°,

:.ZNDE^60°,

在△MDN和△矶)N中，

MD=ED,

<ZMDN=ZNDE=60°,

DN=DN,

:.AMDNmAEDN(SAS).

:.MN=NE,

又,：NE=NC+CE=NC+BM,

:.BM+NC^MN.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与

判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键.

7.问题背景

如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,NB=ZADC=90°,点E,尸分别是BC,CD

上的点，且NEAb=60°,连接石尸，探究线段鹿，EF,。尸之间的数量关系.

nD

探究发现

(1)小明同学的方法是将ZWE绕点4逆时针旋转120。至AOG的位置，使得与A。重合，然后

再证明△AEE乌△AFG,从而得出结论：；

拓展延伸

(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,N6+"=180°,点E,尸分别是边BC,CD上的点，

且NE4/连接族.(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说

2

明理由；

(3)如图③，在正方形ABCD中，点、E，尸分别是边BC,CD上的点，且NE4F=45。，连接所，已

知5E=3,DF=2,求正方形ABCD的边长.

(1)EF=BE+DF；(2)(1)中的结论石户=5石+。尸仍然成立.证明见解析；(3)正方形ABCD的

边长为6.

【分析】

(1)证明AEF^AGF,可得EF=FG,即可得出结论；

(2)要探究巫，EF,。产之间的数量关系，方法同(1)即可得出结论;

(3)根据(1)(2)的结论和勾股定理，即可求出正方形ABCD的边长.

【详解】

(1)解：由旋转得：AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,

,/ZBAD=120°,

：.ZEAG=120°,

'：ZEAF^60°.

•,.ZGAF=ZE4F=60°,

又：AF=AF,

AAFE咨AAFG,

；.EF=GF,

VGF=DG+DF,

：.EF=BE+DF，

故答案为：EF=BE+DF-,

(2)解：(1)中的结论石户=鹿+£)尸仍然成立.

证明：如解图，将ZkABE绕点4逆时针旋转至ADG的位置，使AB与AD重合.

则NADG=/B,DG=BE,AG=AE,/BAE=NDAG，

又「ZB+ZAZ)C=180°,

ZADG+ZADC=1SO°,

：.C,D,G三点共线.

,/ZFAD+ZDAG=ZFAD+ZBAE=/BAD-ZEAF=-ZBAD,

2

NFAG=NEAF,

又：AF=AF,

AEF冬AGF,

：.EF=FG,

又FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(3)解：由(1)(2)可知印=3石+。/=3+2=5.

设正方形ABCD的边长为x,

则CE=x—3,CF=x-2,

在RfCEF中，EF2=CE~+CF2，

25=(X-3)2+(X-2)2,

解得占=6,%=T(不合题意，舍去)，

故正方形ABCD的边长为6.

【点睛】

此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，正方形的性质，解题中注意类比方

法的运用，同样的类型题可以运用同样的思路及方法进行证明.

8.如图，ABC是边长为3的等边三角形，班)C是等腰三角形，且NH£>C=120。，以。为顶点作一

个60。角，使其两边分别交A5于点”，交AC于点、N,连接求AAW的周长.

D

【答案】

的周长为6.

【分析】

要求AAMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所

以需要作辅助线，延长AB至F,使BF=CN,连接DF,通过证明△BDF咨Z\CDN,及△DMN也△DMF,

从而得出MN=MF,△AMN的周长等于AB+AC的长.

【详解】

解：•.•△BDC是等腰三角形，且NBDC=120。

ZBCD=ZDBC=30°

AABC是边长为3的等边三角形

ZABC=ZBAC=ZBCA=60°

ZDBA=ZDCA=90°

延长AB至F,使BF=CN,连接DF,

在RtABDF和RtACND中，BF=CN,DB=DC

.".△BDF^ACDN,

AZBDF=ZCDN,DF=DN

ZMDN=60°

ZBDM+ZCDN=60°

/.ZBDM+ZBDF=60°,ZFDM=60°=ZMDN,DM为公共边

.,.△DMN^ADMF,

/.MN=MF

AAMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6.

【点睛】

此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键.

9.如图，已知：正方形ABCD,点E，产分别是BC,DC上的点，连接AE,AF,EF，且NE4F=45。,

求证：BE+DF=EF.

见解析.

【分析】

将△ABE绕点A逆时针旋转90。得到AADG,根据旋转的性质可得GD=BE,AG=AE,ZDAG=ZBAE,然

后求出NFAG=NEAF,再利用“边角边”证明△AEF^AAGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG,

即可得出结论.

【详解】

如解图，将/XABE绕点A逆时针旋转90°至ADG的位置，使A3与AD重合.

AG=AE,ZDAG=ZBAE,DG=BE.

"："4^=45°.

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°,

，ZEAF=ZGAF.

在4GF和AEF中,

AG=AE

<ZGAF=ZEAF,,

AF=AF

：.△AGF^AAEF(SAS).

：.EF=GF.

*/GF=DG+DF=BE+DF,

•*.BE+DF=EF.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角

形.

10.如图，正方形ABC。中，E、尸分别在边8C、CD±,且NEAF=45。，连接跖，这种模型属于“半角模

型''中的一类，在解决“半角模型''问题时，旋转是一种常用的分析思路.例如图中下与AABG可以看作

绕点A旋转90。的关系.这可以证明结论尸，，请补充辅助线的作法，并写出证明过程.

(1)延长CB到点G,使BG=,连接AG；

(2)证明：EF=BE+DF

【答案】见解析.

【分析】

将△ABE绕点A逆时针旋转90。得到AADG,根据旋转的性质可得GD=BE,AG=AE,ZDAG=ZBAE,然

后求出/FAG=/EAF,再利用“边角边”证明△AEFffAAGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG,

即可得出结论.

【详解】

如解图，将/XABE绕点A逆时针旋转90。至ADG的位置，使AB与AD重合.

AAG=AE,NDAG=NBAE,DG=BE.

ZE4F=45°.

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°,

：.ZEAF=ZGAF.

在AG歹和AE"中，

AG=AE

<ZGAF=ZEAF,,

AF=AF

：.△AGF^^AEF(SAS).

：.EF=GF.

*/GF=DG+DF=BE+DF,

BE+DF=EF.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角

形.

11.(1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=IOQ°,ZB=ZADC=90°.E,尸分别是BC,CD

上的点.且NE4尸=50。.探究图中线段所，BE,即之间的数量关系.

小明同学探究的方法是：延长ED到点G,使DG=8E,连接AG,先证明△ABE0AAOG,再证明

AAEF^AAGF,可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；

(2)如图2,若在四边形4BCO中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是BC,C£＞上的点，＞2ZEAF

=ZBAD,上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

(3)如图3,四边形A8CZ)是边长为7的正方形，/EBF=45°,直接写出的周长.

【答案】(1)DF；(2)见解析

【分析】

(1)由于△AOF与△ABG可以看作绕点A旋转90。的关系，根据旋转的性质知BG=DF,从而得到辅助线

的做法；

(2)先证明△尸0/XAgG,得到AG=AF,ZGAB=ZDAF,结合NEAF=45。，易知/GAE=45。，再证明

△AGE^AAFE即可得至ljEF=GE=BE+GB=BE+DF

【详解】

解：(1)根据旋转的性质知BG=DF,从而得到辅助线的做法：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG；

(2):四边形ABCD为正方形,

，AB=AD,ZADF=ZABE=ZABG=90°,

在△AO尸和△A8G中

AD=AB

<ZADF=ZABG

DF=BG

：.AADF^AABG(SAS),

；.AF=AG,NDAF=/GAB,

,/ZEAF=45°,

ZDAF+ZEAB=45°,

.".ZGAB+ZEAB=45°,

；./GAE=/EAF=45。，

在△AGE和△AFE中0

AG=AF

<ZGAE=ZFAE

AE=AE

(SAS),

；.GE=EF,

EF=GE=BE+GB=BE+OF

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利

用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型.

12.如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE,将DE绕着点E逆时针旋转90。，得到EG,过

点G作GFLCB,垂足为F,GH±AB,垂足为H,连接DG,交AB于I.

/

FBEC

(1)求证：四边形BFGH是正方形；

(2)求证：ED平分NCEI；

(3)连接IE,若正方形ABCD的边长为30,则ABEI的周长为.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)60

【分析】

(1)先证根据NF=/GHB=/ABF=90。证得四边形BFGH为矩形，再证明ADCEZAEFG进而可证得

BF=FG,根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得证；

(2)延长EC到点M,使得CM=AL连接DM,先证△ADI0ACDM可得DI=DM,ZADI=ZCDM,

进而可证4EDM^AEDI得/DEI=NDEC,即可得证；

(3)由(2)可知IE=EM=EC+CM=EC+AL则△BEI的周长为BI+BE+IE=BI+BE+EC+AI=AB

+BC,由此可求得答案.

【详解】

(1)证明：：将DE绕着点E逆时针旋转90。得到EG,

；.DE=EG,ZDEG=90°,

.".ZDEC+ZGEF=90°,

:在正方形ABCD中

.".ZC=ZABC=ZABF=90°,BC=CD,

.".ZDEC+ZCDE=90°,

.".ZCDE=ZGEF,

VGFXCB,GH±AB,

.".ZF=ZGHB=90°,

.*.ZF=ZGHB=ZABF=90°,

四边形BFGH为矩形，

在4口©£与4EFG中，

一NF=NC

<NCDE=NGEF

GE=DE

/.△DCE^AEFG(AAS)

；.EF=CD,FG=CE,

；.EF=BC,

；.EF—BE=BC—BE,

即BF=CE,

；.BF=FG,

...矩形BFGH为正方形；

(2)证明：如图，延长EC到点M,使得CM=AL连接DM,

;在正方形ABCD中

ZADC=ZA=ZDCE=ZDCM=90°,AD=CD,

在公ADI-^ACDM中,

AD=CD

<NA=/DCM

Al=CM

.*.△ADI^ACDM(SAS)

ADI=DM,ZADI=ZCDM,

・lDE=EG,ZDEG=90°,

:.NEDG=ZEGD=45°,

又,.,NADC=90。，

.*.ZADI+ZCDE=45°,

NEDM=NCDM+NCDE=45。，

・・・NEDM=NEDG,

在△EDM与△EDI中，

ED=ED

</EDM=/EDI

DM=DI

.*.△EDM^AEDI(SAS)

・・・NDEI=NDEC,

二•DE平分NIEC；

(3)解：由(2)可知△EDM2△EDI,

・・・IE=EM=EC+CM,

又・.・CM=AI,

・・・IE=EC+CM=EC+AL

，ABEI的周长为BI+BE+IE=BI+BE+EC+AI=AB+BC,

正方形ABCD的边长为3V2，

：.ABEI的周长为AB+BC=60，

故答案为：6J5.

FBEC~

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形

的判定及性质以及作出正确的辅助线是解决本题的关键.

13.请阅读下列材料：

己知：如图（1）在RtAABC中，/BAC=90。，AB=AC,点。、E分别为线段8c上两动点，若/。AE=

45°.探究线段80、DE、EC三条线段之间的数量关系：

BDECDBE

ADEB

图（1）图（2）图（3）

（1）猜想3。、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;

（2）当动点£在线段BC上，动点。运动在线段C8延长线上时，如图（2）,其它条件不变，（1）中探究

的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

（3）已知：如图（3）,等边三角形ABC中，点。、E在边上，且NQCE=30。，请你找出一个条件，使

线段。E、AD,殖能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.

【答案】（1）DE^BA+EC2；（2）关系式仍然成立，详见解析；（3）当AZ）=BE时，线段

DE、AD.E8能构成一个等腰三角形，且顶角4DFE为120。.

【分析】

（A）D-BU+EC2,将△AQB沿直线AD对折，得△AFD,连FE,得到△然后可以得到

AF=AB,FD=DB,ZFAD=ABAD,ZAFD=ZABD,再利用已知条件可以证明△APE咨△&（?£1,从而可

以得到/。尸£=/4即+/4/石=45。+45。=90。，根据勾股定理即可证明猜想的结论；

（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；

（3）当AO=8E时，线段。E、AD.E8能构成一个等腰三角形.如图，与（1）类似，以CE为一边，作

ZECF=ZECB,在CF上截取CF=CB,可得△CFE咨LCBE,△DCF^/\DCA,然后可以得到AD=。居

EF=BE.由此可以得到/£＞在=/1+/2=/4+/8=120。，这样就可以解决问题.

【详解】

解：（1）D^BD-+EC1-

证明：如图，将AAD8沿直线对折，得△AED,连PE,

△AFD/LABD,

：.AF=AB,FD=DB,ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD,

VZBAC=90°,ZDAE=45°

：.ZBAD+ZCAE=45°,ZFAD+ZFAE=45°,

：.ZCAE=ZFAE

又AE=AE,AF=AB=AC

・・・AAFE^AACE,

・•・ZDFE=ZAF£>+ZAFE=45°+45o=90°,

：.DE1=FD2+EF1

:.DSBD2+EC1；

（2）关系式仍然成立.

证明：将△ADB沿直线AO对折，得连尸E

JAAFD^AABD,

：.AF=AB,FD=DB,

ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD,

XVAB=AC,

：.AF=AC,

丁ZFAE=/FAD+/DAE=ZM£>+45°,

ZEAC=ZBAC-ZBAE=90°-(ZDAE-ZDAB)=450+NDAB,

：.ZFAE=ZEAC,

又：AE=AE,

AAFE^AACE,

：.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°,ZAFD=ZABD=\8Q°-ZABC=135°

ZDFE=ZAFD-ZAF£=135°-45°=90°,

.,.在RSOPE中，。尸+庄2=。庐，

即DE1=BD2+EC1；

(3)当时，线段。E、AD,能构成一个等腰三角形.

如图，与(2)类似，以CE为一边，作/ECF=NECB,在CF上截取CF=CB,

可得△CFE^/XCBE,△DCF^/\DCA.

：.AD=DF,EF=BE.

：.4DFE=Z1+N2=NA+NB=120°.

若使A£＞也为等腰三角形，只需DF=EF,即AO=BE,

.•.当AO=BE时，线段DE、AD,仍能构成一个等腰三角形，且顶角NDEE为120。.

【点睛】

此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关

键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据.

14.（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边AABC中，N8AC与/ACB的角平分线交于点。点M、N

分别在直线AC,AB上，且/MON=60。，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在A8取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

问题解决：（1）如图1,M、N分别在边AC,AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、

MN、AN三者之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）CM=AN+MN,详见解析；（2）CM=MN-AN,详见解析

【分析】

（1）在AC上截取CD=AN,连接OD,证明△CDOQAANO,根据全等三角形的性质得到OD=ON,ZCOD

=ZAON,证明得到。M=MN,结合图形证明结论；

（2）在AC延长线上截取CD=AN,连接OD,仿照（1）的方法解答.

【详解】

解：⑴CM=AN+MN,

理由如下：在AC上截取CD=AN,连接0。,

图1

：△ABC为等边三角形，/54C与/ACB的角平分线交于点0,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

：.OA=OC,

在4C£>。和△ANO中，

OC=OA

<ZOCD=ZOAN,

CD=AN

：./\CDO^/\ANO(SAS)

：.OD=ON,ZCOD=ZAON,

NMON=60°,

：.ZCOD+ZAOM^60°,

'：NAOC=120。，

ZDOM=60°,

在40Mo和小MWO中，

OD=ON

<ZDOM=ZNOM,

OM=OM

：.ADMO^ANMO,

：.DM=MN,

：.CM=CD+DM=AN+MN；

(2)补全图形如图2所示:

CM=MN-AN,

理由如下：在AC延长线上截取CO=AN,连接

在乙CDO和AANO中，

CD=AN

<ZOCD=NOAN=150°,

OC=OA

：./\CDO^AANO(SAS)

：.OD=ON,ZCOD=ZAON,

：.ZDOM=ZNOM,

在40Mo和^MWO中，

OD=ON

<ZDOM=ZNOM,

0M=0M

：.4DMO%ANMO(SAS)

：.MN=DM,

：.CM=DM-CD=MN-AN.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理.

15.(2019秋•东台市期末)在等边△ABC的两边A3、AC所在直线上分别有两点M、N,。为△ABC外一点，

且NM£)N=60。，ZBDC^120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线A8、AC上移动时，BM、NC、MN

之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.

(1)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM^DN^,BM、NC、MN之间的数量关系是

此时2=

L

(2)如图2,点M、N在边AB、AC上，且当。时，猜想(D问的两个结论还成立吗？若成立请直

接写出你的结论；若不成立请说明理由.

(3)如图3,当Af、N分别在边48、C4的延长线上时，探索BM、NC、之间的数量关系如何？并给出

证明.

2

【答案】(1)BM+NC=MN,--(2)结论仍然成立，详见解析；(3)NC-BM=MN,详见解析

3

【分析】

(1)由。M=ON,ZMDN=60°,可证得△MZW是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD,易

证得RS丝R3CON,然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、A/N之间的数量关系BM+NC

…。2

=MN,此时—=-；

L3

(2)在CN的延长线上截取CWi=BM,连接。Mi.可证△DBM咨LDCMi,即可得。肘=OM,易证得NCDN

=ZMDN=60°,则可证得△MLW之然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；

(3)首先在CN上截取连接可证△四△OCMi,即可得。0=功0,然后证得NCDN

=ZMDN=60°,易证得△MLW之△MON,则可得NC-BM=MN.

【详解】

(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN.

此时—

L3

理由：•;DM=DN,/MDN=6U。,

•••△MQN是等边三角形，

△ABC是等边三角形，

・•・乙4=60。，

♦：BD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

：.ZMBD=ZNCD=90°,

•；DM=DN,BD=CD,

ARtABDM0RtACDN,

：.ZBDM=ZCDN=3009BM=CN,

:.DM=2BM,DN=2CN,

・•・MN=2BM=2CN=BM+CN；

：.AM=AN,

•••△AMN是等边三角形，

：.AM：AB=2：3,

.Q2

.•—=—•

L3,

(2)猜想：结论仍然成立.

证明：在NC的延长线上截取连接DMi.

VZMBD^ZMiC£>=90°,BD=CD,

：.4DBM沿/XDCMi,

：.DM=DMi,NMBD=NMiCD,MiC=BM,

VZMDN=60°,ZBDC=\20°,

：.NMiDN=NMDN=60。,

：.AMDN沿AMiDN,

：.MN=M\N=MiC+NC=BM+NC,

LAMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

.Q2

..—=一；

L3

(3)证明：在CN上截取CMi=3M,连接。Mi.

VZMBD=ZMiCD=90°,BD=CD,

：.ADBM咨4DCM\,

：.DM=DMi,ZMBD=ZMiCD,MiC=BM,

VZMDN=60°,ZBDC=120°,

：.ZMiDN=ZMDN=60°,

：.AMDN咨AMiDN,

：.MN=MiN.

：.NC-BM=MN.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理.

16.(2019秋•九龙坡区校级月考)如图.在四边形A5CD中，ZB+ZAZ)C=180°,AB=AD,E、尸分别是

边BC、延长线上的点，且NEA尸二LNBAZ),求证：EF=BE-FD.

2

A

【答案】详见解析

【分析】

在BE上截取8G,使8G=。凡连接AG.根据SAS1证明△ABG等/得到AG=AF,ZBAG=ZDAF,

根据/EAF=L/BA。，可知NG4E=/EAF,可证明△AEGg^AEREG=EF,那么EF=GE=BE-BG

2

=BE-DF.

【详解】

证明：在BE上截取BG,®BG=DF,连接AG.

A

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZAr>C=180°,

：.ZB=ZADF.

在△ABG和△A£)/中,

AB=AD

<ZB=ZADF,

BG=DF

：.△ABG/AADF(SAS),

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=NEAF=-/BAD.

2

:.NGAE=NEAF.

在△AEG和△AEF中，

AG=AF

<ZGAE=ZEAF,

AE=AE

：./\AEG^/\AEF(SAS).

：.EG=EF,

•:EG=BE-BG

:.EF=BE-FD.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解.

17.如图，在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点，将AD尸绕点A顺时针旋转90°后，得到ABM,

连接EM,AE,且使得NM4E=45°.

(1)求证：ME=EF；(2)求证：EF2=BE2+DF2-

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)直接利用旋转的性质证明△AMEg^AFE(SAS),即可得出答案;

(2)利用(1)中所证，再结合勾股定理即可得出答案.

【详解】

证明：(1):将ADF绕点A顺时针旋转90。后，得到ABM,

：.MB=DF,AM=AF,ZBAM=ZDAF,

:.MALAF,

ZMAE=45°,

ZEAF=45°,

:.ZMAE=ZFAE,

在4AME和△至石中

AM=AF

<ZMAE=ZFAE,

AE=AE

AME=AFE(SAS),

:.ME=EF；

(2)由(1)得：ME=EF,

在RtMBE中，MB2+BE2=ME2>

又,：MB=DF,

:.EF2=BE2+DF2-

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确得出△AME04AFE是

解题关键.

18.(1)如图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，ZEAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,

连结EF,AG.求证：①/BEA=/G,②EF=FG.

(2)如图2,等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上，且/MAN=45。，若

BM=1,CN=3,求MN的长.

【答案】(1)①见解析②见解析(2)回

【分析】

(1)在八ABE和^ADG中，根据SAS得出△ABE^AADG则ZBEA=/G.然后在△FAE和八GAF中通过

SAS证明得出△FAE之AGAF,则EF=FG.

(2)过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.在AABM和AACE中，通

过SAS证明得出^ABM△ACE,AM=AE,ZBAM+ZCAN=45°.在仆EAN中，通过SAS证明得

出由勾股定理，得EN?=EC2+NC2得出最终结果.

【详解】

(1)证明：在正方形ABCD中，ZABE=ZADG,AD=AB,

AD=AB

在AABE和AADG中，\ZABE=ZADG,

DG=BE

：.AABE^AADG(SAS),ZBEA=ZG

AZBAE=ZDAG,AE=AG,

又/BAD=90°,

/.ZEAG=90°,ZFAG=45°

AE=AG

在AFAE和AGAF中，＜ZEAF=ZFAG=45°,

AF=AF

：.AFAE^AGAF(SAS),

；.EF=FG

(2)

图2

解：如图，过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.

VAB=AC,ZBAC=90°,

.".ZB=ZACB=45°.

VCE±BC,

.".ZACE=ZB=45°.

AB=AC

在4ABM和小ACE中，＜ZB=ZACE,

BM=CE

：.△ABMACE(SAS).

；.AM=AE,ZBAM=ZCAE.

VZBAC=90°,NMAN=45°,

/BAM+NCAN=45°.

于是，由/BAM=/CAE,得/MAN=/EAN=45。.

AM=AE

在4MAN和小EAN中，(AMAN=NEAN,

AN=AN

：.AMAN^AEAN(SAS).

；.MN=EN.

在R3ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.

.*.MN2=BM2+NC2.

VBM=1,CN=3,

.,.MN2=l2+32,

.,.MN=7IO.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定定理、勾股定理，做辅助线是本题的难点.

19.如图所示，在AA5C中，ZA=ZB=30°,ZMC7V=60°,/MOV的两边交AB边于E，尸两点,

将/MCN绕C点旋转

（1）画出A3CF绕点。顺时针旋转120。后的AACK；

（2）在（1）中，若AE?+石尸？=3/2,求证：BF=0CF；

（3）在（2）的条件下，若4。=6+1，直接写出硬的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）73

【解析】

【分析】

（1）旋转后CB与CA重合