2024-2025学年新教材高中数学单元素养检测四第五章三角函数含解析新人教A版必修第一册

PAGE单元素养检测(四)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.设a=sinQUOTE,b=cosQUOTE,c=tanQUOTE,则 ()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【解析】选D.因为a=sinQUOTE=sinQUOTE,b=cosQUOTE,所以a>0,b>0,且QUOTE=QUOTE=tanQUOTE>tanQUOTE=1,所以c=tanQUOTE>1,1>a>b>0,所以b<a<c.2.若f(x)=cosx-sinx在QUOTE上是单调递减的,则a的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.π【解析】选C.由题意,f(x)=cosx-sinx=-QUOTEsinQUOTE,当x-QUOTE∈QUOTE,即x∈QUOTE时,y=sinQUOTE单调递增,则f(x)=-QUOTEsinQUOTE在QUOTE上单调递减,所以x∈QUOTE是f(x)在原点旁边的单调递减区间,结合条件得QUOTE⊆QUOTE,所以0<a≤QUOTEπ,即a的最大值为QUOTEπ.3.已知角α的始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(-3,4),则sinα+cosα=()A.1 B.-1 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题得sinα=QUOTE=QUOTE,cosα=-QUOTE=-QUOTE,所以sinα+cosα=QUOTE.【补偿训练】将y=sin2x的图象怎样变换得到函数y=cosQUOTE的图象?【解析】y=sin2x=cosQUOTE=cosQUOTE.在y=cosQUOTE中以x-a代x,有y=cosQUOTE=cosQUOTE.依据题意,有2x-2a-QUOTE=2x-QUOTE,得a=-QUOTE.所以将y=sin2x的图象向左平移QUOTE个单位长度可得到函数y=cosQUOTE的图象.4.已知函数y=sin(ωx+φ)QUOTE的部分图象如图所示,则()A.ω=1,φ=QUOTE B.ω=1,φ=-QUOTEC.ω=2,φ=QUOTE D.ω=2,φ=-QUOTE【解析】选D.T=π,所以ω=2,由五点作图法知2×QUOTE+φ=QUOTE,φ=-QUOTE.5.已知关于x的方程x2-xcosAcosB+2sin2QUOTE=0的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】选B.设已知方程的两根分别为x1,x2,依据根与系数的关系得:x1+x2=cosAcosB,x1x2=2sin2QUOTE=1-cosC,因为x1+x2=QUOTEx1x2,所以2cosAcosB=1-cosC,因为A+B+C=π,所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB,所以cosAcosB+sinAsinB=1,即cos(A-B)=1,所以A-B=0,即A=B,所以△ABC为等腰三角形.6.(2024·天津高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gQUOTE=QUOTE,则fQUOTE=()A.-2 B.-QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选C.因为f(x)为奇函数,所以f(0)=Asinφ=0,φ=kπ(k∈Z),因为|φ|<π,所以k=0,φ=0;又g(x)=AsinQUOTEωx,所以T=QUOTE=2π,所以ω=2,又gQUOTE=QUOTE,所以A=2,所以f(x)=2sin2x,fQUOTE=QUOTE.7.若将函数y=tanQUOTE(ω>0)的图象向右平移QUOTE个单位长度后,与函数y=tanQUOTE的图象重合,则ω的最小值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.y=tanQUOTEy=tanQUOTE=tanQUOTE所以QUOTE-QUOTEω+kπ=QUOTE所以ω=6k+QUOTE(k∈Z),又因为ω>0,所以ωmin=QUOTE.8.设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期 ()A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关【解析】选B.f(x)=sin2x+bsinx+c=-QUOTE+bsinx+c+QUOTE,其中当b=0时,f(x)=-QUOTE+c+QUOTE,f(x)的最小正周期为π;当b≠0时,f(x)的最小正周期为2π.c对f(x)的最小正周期无影响,所以f(x)的周期与b有关但与c无关.【拓展延长】三角函数的周期公式y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=Acos(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Asin(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Acos(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Asin(ωx+φ)+b|,A>0,ω>0,b≠0,T=QUOTEy=|Acos(ωx+φ)+b|,A>0,ω>0,b≠0,T=QUOTEy=Atan(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=Acot(ωx+φ),A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Atan(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTEy=|Acot(ωx+φ)|,A>0,ω>0,T=QUOTE【补偿训练】下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=QUOTE对称的是 ()A.y=sinQUOTEB.y=sinQUOTEC.y=sinQUOTED.y=sinQUOTE【解析】选D.y=sinQUOTE最小正周期为π,x=QUOTE时sinQUOTE=QUOTE≠±1;y=sinQUOTE最小正周期为π,但x=QUOTE时sinQUOTE=0≠±1;y=sinQUOTE最小正周期为π,但x=QUOTE时sinQUOTE=QUOTE≠±1;y=sinQUOTE最小正周期为π,x=QUOTE时sinQUOTE=1.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间QUOTE上单调递增,且fQUOTE>fQUOTE,则ω的可能值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选CD.因为函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间QUOTE上单调递增,所以QUOTE≤QUOTE⇒ω≤QUOTE.由fQUOTE>fQUOTE,又QUOTE=QUOTE,得QUOTE>QUOTE,ω>QUOTE.所以QUOTE<ω≤QUOTE.10.下列关于函数y=2cos2QUOTE-1的叙述正确的是 ()A.最小正周期为π,奇函数B.最小正周期为π,偶函数C.最小值为-3,最大值为1D.最小值为-1,最大值为1【解析】选AD.因为y=2cos2QUOTE-1=cosQUOTE=sin2x为奇函数,T=QUOTE=π,最小值为-1,最大值为1.11.(2024·海口高一检测)设α,β是同一个钝角三角形的两个锐角(α≠β),下列四个不等式中正确的是 ()A.tanαtanβ<1B.sinα+sinβ<QUOTEC.cosα+cosβ>1D.QUOTEtan(α+β)<tanQUOTE【解析】选ABC.设0<α<β<QUOTE且α+β<QUOTE,所以0<β<QUOTE-α,所以0<tanβ<tanQUOTE=cotα,所以tanαtanβ<tanαcotα=1,A正确;sinβ<sinQUOTE=cosα,所以sinα+sinβ<sinα+cosα=QUOTEsinQUOTE,因为α+β<QUOTE且α<β,所以0<α<QUOTE,所以QUOTE<α+QUOTE<QUOTE,所以1<QUOTEsinQUOTE<QUOTE,所以sinα+sinβ<QUOTE,B正确;cosβ>cosQUOTE=sinα,所以cosα+cosβ>cosα+sinα=QUOTEsinQUOTE>1,C正确;QUOTEtan(α+β)=QUOTE,因为0<α+β<QUOTE,则0<QUOTE<QUOTE,所以0<tanQUOTE<1,所以0<tan2QUOTE<1,所以0<1-tan2QUOTE<1,所以QUOTE>1,所以QUOTE>tanQUOTE,即QUOTEtanQUOTE>tanQUOTE,D错误.12.关于函数f(x)=2cos2x-cosQUOTE-1的描述正确的是 ()A.其图象可由y=QUOTEsin2x的图象向左平移QUOTE个单位长度得到B.f(x)在QUOTE上单调递增C.f(x)在QUOTE有2个零点D.f(x)在QUOTE上的最小值为-QUOTE【解析】选A、C、D.f(x)=2cos2x-cosQUOTE-1=cos2x+sin2x=QUOTEsinQUOTE,由y=QUOTEsin2x的图象向左平移QUOTE个单位长度,得到y=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE,所以选项A正确;令2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,得其增区间为QUOTE,k∈Z,f(x)在QUOTE上单调递增,在QUOTE上单调递减,所以选项B不正确;令f(x)=0,则2x+QUOTE=kπ,k∈Z,得:x=QUOTE-QUOTE,k∈Z,x∈[0,π],所以x取QUOTE,QUOTE,所以选项C正确;x∈QUOTE,2x+QUOTE∈QUOTE,sinQUOTE∈QUOTE,f(x)∈QUOTE,所以选项D正确.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若锐角α满意tanQUOTE=3tanα+1,则tan2α的值为________.

【解析】由题意可知:QUOTE=3tanα+1,则tanα=QUOTE或tanα=0(舍去),则tan2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.已知函数f(x)=2sinQUOTE的部分图象如图所示,其中fQUOTE=1,QUOTE=QUOTE,则fQUOTE=________.

【解析】因为fQUOTE=2sinφ=1,φ∈QUOTE,所以φ=QUOTE.QUOTE=QUOTE=QUOTE,ω=QUOTE,所以函数f(x)=2sinQUOTE,所以fQUOTE=2sinQUOTE=-1.答案:-115.QUOTE=________.

【解析】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.若QUOTE<x<QUOTE,则函数y=tan2x·tan3x的最大值为________.

【解析】令tanx=t,因为QUOTE<x<QUOTE所以t>1,所以y=tan2xtan3x=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=-8.答案:-8【补偿训练】如图,函数y=2sin3xQUOTE与函数y=2的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是________.

【解析】函数y=2sin3xQUOTE图象的对称轴为直线x=QUOTE,由函数图象的对称性,利用面积“割补法”,得函数y=2sin3xQUOTE图象与函数y=2的图象围成封闭图形的面积是S=4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知0<α<QUOTE,sinα=QUOTE.(1)求tanα的值.(2)求cos2α+sinQUOTE的值.【解析】(1)因为0<α<QUOTE,sinα=QUOTE,得cosα=QUOTE,所以tanα=QUOTE.(2)cos2α+sinQUOTE=1-2sin2α+cosα=1-QUOTE+QUOTE=QUOTE.18.(12分)已知函数f(x)=sinωx(ω>0).(1)当ω=1时,写出由y=f(x)的图象向右平移QUOTE个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式.(2)若y=f(x)图象过点QUOTE,且在区间QUOTE上单调递增,求ω的值.【解析】(1)由已知,所求函数解析式为f(x)=sinQUOTE.(2)由y=f(x)的图象过QUOTE点,得sinQUOTEω=0,所以QUOTEω=kπ,k∈Z.即ω=QUOTEk,k∈Z.又ω>0,所以k∈N*.当k=1时,ω=QUOTE,f(x)=sinQUOTEx,其周期为QUOTE,此时f(x)在QUOTE上单调递增;当k≥2时,ω≥3,f(x)=sinωx的周期为QUOTE≤QUOTE<QUOTE,此时f(x)在QUOTE上不单调递增.所以ω=QUOTE.19.(12分)已知函数f(x)=sin4x-cos4x+2QUOTEsinxcosx+1,(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心.(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间.【解题指南】(1)利用正余弦的二倍角公式和协助角公式将函数解析式进行化简,然后利用正弦函数的周期公式和对称中心公式可得答案;(2)先利用正弦函数的单调性写出函数f(x)在R上得单调增区间,再由x∈[0,π],对k取值,即可求得函数在[0,π]上的单调增区间.【解析】(1)f(x)=sin4x-cos4x+2QUOTEsinxcosx+1=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+QUOTEsin2x+1=QUOTEsin2x-cos2x+1=2sinQUOTE+1.所以该函数的最小正周期T=QUOTE=π;令2x-QUOTE=kπ,则x=QUOTEπ+QUOTE,所以对称中心为QUOTEk∈Z.(2)令2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,则kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,k∈Z.当k=0时,由QUOTE,解得0≤x≤QUOTE;当k=1时,由QUOTE,解得QUOTE≤x≤π.所以,函数在[0,π]上的单调增区间是QUOTE,QUOTE.20.(12分)已知函数f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)探讨f(x)在QUOTE上的单调性.【解析】(1)f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x=cosxsinx-QUOTE(1+cos2x)=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x-QUOTE=sinQUOTE-QUOTE,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为QUOTE.(2)当x∈QUOTE时,0≤2x-QUOTE≤π,从而当0≤2x-QUOTE≤QUOTE,即QUOTE≤x≤QUOTE时,f(x)单调递增,当QUOTE≤2x-QUOTE≤π,即QUOTE≤x≤QUOTE时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在QUOTE上单调递增;在QUOTE上单调递减.21.(12分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上全部点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移QUOTE个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程.(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m的取值范围;②证明:cos(α-β)=QUOTE-1.【解析】方法一:(1)将g(x)=cosx的图象上全部点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移QUOTE个单位长度后得到y=2cosQUOTE的图象,故f(x)=2sinx.从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+QUOTE(k∈Z).(2)①f(x)+g(x)=2sinx+cosx=QUOTE=QUOTEsin(x+φ)QUOTE.依题意,sin(x+φ)=QUOTE在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当QUOTE<1,故m的取值范围是(-QUOTE,QUOTE).②证明:因为α,β是方程QUOTEsin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解.所以sin(α+φ)=QUOTE,sin(β+φ)=QUOTE.当1≤m<QUOTE时,α+β=2QUOTE,即α-β=π-2(β+φ);当-QUOTE<m<1时,α+β=2QUOTE,即α-β=3π-2(β+φ).所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2QUOTE-1=