专题02 实际问题与一元二次方程 （考点清单1考点9题型）（解析版）

专题02实际问题与一元二次方程（考点清单）【考试题型1】传播问题与一元二次方程【解题方法】明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．【典例1】（2021秋·广东湛江·九年级统考期末）有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了12个人(2)第三轮将又有2028人被传染【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有169人患了流感，可求出x，（2）由（1）所得可求出第三轮过后，又被感染的人数．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则（x＋1)2＝169．解得，(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人；（2）解：由题意得：169×12＝2028(人)．答：第三轮将又有2028人被传染．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．【专训1-1】（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？【答案】(1)；(2)不会，理由见解析．【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．【详解】（1）解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数人，（2）解：设在每轮传染中一人将平均传给人，根据题意得：，整理得：，解得：，，∵，都不是正整数，∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．【专训1-2】（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．(1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示）(2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由．【答案】(1)(2)第二轮传染后不会有63人患病的情况发生【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案；（2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有63人患病的情况．【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是，故答案为：；（2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下：依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），∵不为正整数，∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键．【考试题型2】参赛球队数量问腿与一元二次方程【解题方法】如果有n只球队参加比赛，比赛规则如下：1）若采取单循环比赛赛制，则比赛场次为：n（n2）若采取双循环比赛赛制，则比赛场次为：n（n【典例2】（2022秋·北京西城·九年级北京育才学校校考期末）学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？【答案】（1）6；（2）9支【分析】根据赛制为单循环形式场，即可求解；（2）设有支球队参加比赛，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）（场），答：共进行6场比赛；（2）设有支球队参加比赛，根据题意得：，解得：（不合题意，舍去），答：有9支球队参加比赛．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【专训2-1】（2023秋·新疆阿克苏·九年级校考期末）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？【答案】共有10个队参加比赛．【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．故共有10个队参加比赛．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元一次方程是解题的关键．【专训2-2】（2021秋·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答）（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？【答案】（1）6；（2）13【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为15场建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球队比赛的总场数即可．【详解】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，依题意得：，解得：或（不合题意，舍去）．答：应邀请6支球队参加比赛；（2）由题可得：（场）．答：实际共比赛13场．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键．【考试题型3】握手问题与一元二次方程【解题方法】握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2【典例3】（2021秋·湖北荆州·九年级校考期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？【答案】（1）15；；（2）参加聚会的有9人．【分析】（1）根据每一人与其它五人握手，可得6×5次，其中每两人重复一次握手，共有，根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；（2）设有x人参加聚会，由（1）的结论结合共握手36次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：（1）若参加聚会的人数为，则共握手（次）；参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次．故答案为：15；；（2）设有人参加聚会，根据题意得，，整理得，因式分解得，解得：，（不合题意，舍去），答：参加聚会的有9人．【点睛】本题考查了有理数的乘法，列代数式，一元二次次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【专训3-1】（2022秋·湖北十堰·九年级统考期中）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？【答案】40个【分析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据题意得：x（x﹣1）＝1560，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．答：九（2）班有40个同学．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【专训3-2】（2019秋·河北石家庄·九年级统考期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手次；若参加聚会的人数为5，则共握手次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．【答案】（1）3；10；（2）；（3）参加聚会的人数为8人；（4）.【分析】（1）（2）（3）根据题意每个人要与他自己以外的人握手一次，当两人只握手一次，所以握手次数为：×聚会人数×（聚会人数-1），故可进行计算求解；（4）由线段上AB上共有m个点（不含端点A，B），则相当于聚会人数为m+2,则根据公式即可写出线段数.【详解】（1）若参加聚会的人数为3，则共握手3次；若参加聚会的人数为5，则共握手10次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次（3）由题意得：=28，即解得，，（舍去）答：参加聚会的人数为8人．（4）由线段上AB上共有m个点（不含端点A，B），则相当于聚会人数为m+2,则根据公式即可写出线段数为【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解.【专训3-3】（2022秋·湖南湘潭·九年级统考期末）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．（2）∵，∴，当时，．故答案为：；1128．（3）依题意，得：，化简，得：，解得：（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．【考试题型4】变化率问题与一元二次方程【解题方法】①如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数量为a(1＋x)2．②如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为a(1-x)，第二次下降后的数量为a(1-x)2．【典例4】（2023春·山东烟台·八年级统考期末）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20%(2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，，，经检验，符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得．∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．【专训4-1】（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价后价格为8.1元/kg，并且两次降价的百分率相同．时间/天x销量/kg120－x储藏和损耗费用/元3x2－64x＋400(1)求该水果每次降价的百分率；(2)从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x＜10）的利润为377元，求x的值．【答案】(1)10%(2)9【分析】（1）设该水果每次降价的百分率为y，根据题意列出一元二次方程即可求解；（2）根据题意列出一元二次方程即可求解．(1)设该水果每次降价的百分率为y，依题意，得10（1－y）2＝8.1，解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该水果每次降价的百分率为10%．(2)依题意，得，解得x1＝9，x2＝11（舍去）．答：x的值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意列出一元二次方程是解答本题的关键．【专训4-2】（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：，解得：，（舍去），答：亩产量的平均增长率为20%．（2）第四阶段的亩产量为（公斤），∵，∴他们的目标可以实现．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．【考试题型5】图形问题与一元二次方程【解题方法】①常见几何周长面积是等量关系.②解决课本封面、小路宽度常采用图形平移列方程.【典例5】（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析．【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论；（2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论．【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，依题意，得：x（33-3x）=90，解得：x1=6，x2=5．当x=6时，33-3x=15，符合题意，当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．（2）不能，理由如下：设BC=ym，则AB=（33-3y）m，依题意，得：y（33-3y）=100，整理，得：3y2-33y+100=0．∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【专训5-1】（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出BC长；若不能，说明理由．【答案】(1)当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由见解析【分析】（1）根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=（60-x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．（2）利用根的判别式进行判断即可．【详解】（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：（60﹣x+2）x＝300，x2﹣62x+600＝0，解这个方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合题意，舍去），∴x＝12．答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：（60﹣x+2）x＝500，x2﹣62x+1000＝0，△＝622﹣4000＝﹣156＜0，则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．答：不能围成500平方米的矩形花园．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．【专训5-2】（2022秋·辽宁营口·九年级期末）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．【答案】【分析】设道路的宽为，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：道路的宽为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【专训5-3】（2022秋·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成26000平方米的绿化任务．某施工队在按计划施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1．5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．(1)该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？(2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆．若此时花画的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽．【答案】(1)该绿化项目原计划每天完成2000平方米(2)花圃的长为6米，宽为12米．【分析】（1）直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，再用4天完成了该项绿化工程，进而得出方程求出答案；（2）设花圃的宽AB为x米，它的面积为72米2，进而列出方程求出答案即可．【详解】（1）解：设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：＝4，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）解：设花圃的宽AB为x米，则BC＝28+2﹣3x＝30﹣3x，根据题意，得（30﹣3x）x＝72，解得：x1＝4，x2＝6．∵当x＝4时，30﹣3x＝18＞16，∴不符合题意，舍去．∴宽为6米，长为12米．答：花圃的长为6米，宽为12米．【点睛】此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确找到等量关系，列出方程是解题关键．【考试题型6】行程问题与一元二次方程【解题方法】基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置.基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量.相遇问题解题思路：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间追击问题题解题思路：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间【典例6】（2020秋·江苏盐城·九年级统考期末）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．（1）甲运动后的路程是多少?（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可；（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案.【详解】解：（1）当t=4s时，cm.答：甲运动4s后的路程是．（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆，甲走过的路程为，乙走过的路程为，则.解得或（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s．（3）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆，则解得或（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.【专训6-1】（2019秋·湖南永州·九年级统考期末）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值．【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；（2）根据题意得出：进而求出即可．【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：，解得：，（不合题意舍去），答：m的值为20．【考试题型7】图表问题与一元二次方程【解题方法】理解题干内容，从题干中获取信息.【典例7】（2021·四川巴中·九年级统考期中）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”．该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N(N<12)．【答案】起步价是10元．【详解】试题分析：表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是N元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付元．根据题意列出方程即可求解．试题解析：依题意，得N+（6-3）×+（11-6）×=29.10，整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10．由于N＜12，所以N=10．答：起步价是10元．【专训7-1】（2020秋·江苏苏州·九年级统考期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？【答案】参加旅游的人数40人.【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可.【详解】设有人参加这次旅游∵∴参加人数依题意得：解得：，当时，，符合题意.当时，，不符合题意答：参加旅游的人数40人.【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程.【考试题型8】数字问题与一元二次方程【解题方法】①若个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则十位数字表示为10b+a.百位数字表示100c+10b+a②日历中的某个日期，左右相差1，上下相差7.【典例8】（2022秋·广东广州·九年级校考期末）两个相邻正奇数的积为143，求这两个正奇数．【答案】11和13【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是143列出方程求解即可．【详解】解：设这两个连续奇数为x，，根据题意，∴（舍去），，∴这两个正奇数为11和13．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．【专训8-1】（2022秋·湖南常德·九年级统考期中）已知三个连续偶数的平方和是，求这三个偶数．【答案】或【分析】设中间的偶数为，则这三个连续的偶数依次为：，根据题意，列出方程并求解，然后分类讨论：当时，当时，进而即可得出三个连续的偶数．【详解】解：设中间的偶数为，则这三个连续的偶数依次为：，根据题意，可得：，整理可得：，解得：，当时，三个连续的偶数依次为：，当时，三个连续的偶数依次为：，∴这三个连续偶数为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键是设未知数，用代数式表示三个连续的偶数，即可列方程求解．【专训8-2】（2020秋·全国·九年级期末）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0．【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4整理得：2x2－19x+24=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是找等量关系．【专训8-3】（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．【答案】原两位数为74．【分析】等量关系为：原来的两位数-新两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．【详解】设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2－9）．

∴10（x2－9）+x－10x－（x2－9）=27，

解得x1=4，x2=－3（不符合题意，舍去）．

∴x2－9=7，

∴原两位数为74．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练的掌握一元二次方程的应用是解题的关键.【考试题型9】动点问题与一元二次方程【解题方法】在动点中观察图形的变化情况，需理解动点在图形不同位置情况，才能做好计算推理过程。在变化中找到不变的性质是解决动点问题的基本思路。【典例9】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；(2)若时，求x的值；(3)当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形．【答案】(1)，(2)或(3)当为或时，是以为斜边的直角三角形【分析】（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案；（2）在中，根据勾股定理即可求出答案；（3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案．【详解】（1）由题可得：，，∴，，故答案为：，；（2）在中，，即，解得：或；（3），，，∵是以为斜边的直角三角形，∴，解得：或，∴当为或时，是以为斜边的直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键．【专训9-1】（2022秋·湖南张家界·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．【答案】（1）1秒；（2）不能，理由见解析【分析】当运动时间为ts（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2tcm．（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-3＜0可得出该方程没有实数根，进而可得出△PBQ的面积不能等于7cm2．【详解】解：7÷2=（s）．当运动时间为ts（0≤t≤