新北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理的应用》教案

第一章勾股定理

3勾股定理的应用

一、学情与教材分析

1.学情分析

本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了

解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动.学生在学习七年级上第一

章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而

学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.

2.教材分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股定

理》第3节.具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.当然，

在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、

操作等实践活动，这些都有助于培养学生的空间观念、发展学生的分析问题、解

决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作

交流，有助于发展学生合作交流的能力.

二、教学目标

1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单

的实际问题.

2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及

渗透数学建模的思想.

3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.

三、教学重难点

教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解

决生活实际问题.

教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理,

解决实际问题.

四、教法建议

1.教学方法

引导一探究一归纳

本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现

本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：

（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；

（2）从学生活动出发，顺势教学过程；

（3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程.

2.课前准备

教具：教材、电脑、多媒体课件.

学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.

五、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

根据课本P13的图1T1,自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿着圆柱画几条

路线，你觉得哪条最短呢？（拍照所做的圆柱和上面画线的图片上传）

想一想，什么情况下点A的蚂蚁沿着圆柱侧面到达点B所爬行的路径最短呢？像

图1-12一样展开并测量最短路径？如果不展开，你能直接计算最短路径吗？（拍

照上传测量的结果和计算过程）

2.预习自测

一、选择题

1.如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一

只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）

8m1

A.8米B.9米C.10米D.11米

答案：C

解析:如图所示，AB,CD为树,且AB=13,CD=8,BD为两树距离12米,

过C作CE_LAB于E,则CE=BD=8,AE=AB-CD=6,

在直角三角形AEC中，AC=10米,

答：小鸟至少要飞10米.

点拨：如图所示，AB,CD为树，且AB=13,CD=7,BD为两树距离12米，过C作

CE_LAB于E,则CE=BD=8,AE=AB-CD=6,在直角三角形AEC中利用勾股定理即

可求出AC.

2.如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把

这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）

C.12尺D.13尺

答案：D

解析：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺,

10

根据勾股定理得：x2+（2）2=（x+1）2,解得:x=12,

芦苇的长度=x+l=12+l=13（尺），故选D.

点拨：找到题中的直角三角形，设水深为x尺,根据勾股定理解答.

二、填空题

3.一个圆桶儿，底面直径为16cm,高为18cm,有一只小虫从底部点A处爬到上

底B处，则小虫所爬的最短路径长是(”取3).

FT

18cw

答案：30

解析：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.由题

意，得AC=3X16+2=24,在RtaABC中，由勾股定理，得ABMJAQ+BC2

=V242+182=30cm.

点拨：先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是

圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值.

(-)课堂设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；

第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结.

第一环节：情境引入

情景1：多媒体展示：

提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？

情景2：尸

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在

8处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬QAL

向8处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

意图：

通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景2的创设引入新课，激发学

生探究热情.

效果：

从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠

定了良好基础.

第二环节：探究发现

内容：

学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总

各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总

结出最短路线.让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎

么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的

方法.

意图：

通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距

离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸，

培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展

空间观念.

效果：

学生汇总了四种方案：

学生很容易算出：情形（1）中A—B的路线长为：AA'+d,

情形（2）中A-8的路线长为：

出1

所以情形（1）的路线比情形（2）要短.

学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母

线/U剪开圆柱得到矩形，情形（3）是折线，而情形（4）是线段，故根

据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可.

如图:

B

（1）中A-3的路线长为：„Z\..AJ,J

」卜

（2）中A-B的路线长为：＞AB.

A

(3)中A-B的路线长为：AO+OB>AB.

(4)中A-8的路线长为：AB.

得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解

决问题.在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体,

具体观察.接下来后提问：怎样计算

在RtAAA'B中，利用勾股定理可得

AB2=AA'2+AB2,若已知圆柱体高为12c?n,底面半径为3cm,兀取3,则

Afi2=122+(3X3)2,..AB=15.

注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅

仅是让学生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路

径究竟是哪条.因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱

侧面最短路径的探究上.

方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决

这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下:

1.审题一一分析实际问题；

2.建模一一建立相应的数学模型;

3.求解一一运用勾股定理计算；

4.检验一一是否符合实际问题的真实性.

做一做

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AO边和8c边是否分别垂直于底边

AB,但他随身只带了卷尺，

(1)你能替他想办法完成任务吗？

(2)李叔叔量得AO长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米,

AO边垂直于AB边吗？为什么？

(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验边是否

垂直于AB边吗？BC边与A3边呢？

解答：(2)AD?+AB?=3()2+4()2=2500

B£>2=2500

AD2+AB2=BD2

：.AD和AB垂直.

意图：

运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工

具灵活处理问题.

效果：

先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺

较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加

的方法量出AB,AD和8。的长度，或在AB,A。边上各量一段较小长度，再去

量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论.

第三环节：知识运用

1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h

的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：

00,甲、乙两人相距多远？

解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达3点，乙到达C点.则：

AB=2X6=12(km)

AC=1X5=5(km)呷

在RiAABC中：卜、

fiC2=AC2+AB2=52+122=169=132.

：.BC=\3(km).A..东

即甲乙两人相距13km.

2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到8处搬运食物，它怎么走最近？并求出最

近距离._______B

解答：二钻2=夕+202=625=252..一0不1/

3.有一个高为1.5m,半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔,

从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根铁棒有多长？

解答：设伸入油桶中的长度为x□.#

则最长时:-W.

x=2.5.

，最长是2.5+0.5=3(m).

最短时：一二一

，最短是1.5+0.5=2(m).

答:这根铁棒的长应在2〜3m之间.

意图:

对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算.

效果:

学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解.

*提高训练(根据学生程度适当添加课件中讲解)

1.如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶

点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变，问蚂蚁能否在

解:如图，在RtAABC中:

•.•500>2()2.

，不能在20s内从A爬到区

2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题

的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一

根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好

到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为

AD=AB=(x+1)尺，

在直角三角形ABC中，3c=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即52+/=(x+1)2.

25+/=W+2x+l.

2x=24.

AF12,X+1=13.

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.

意图：

第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是

将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应

用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程.

效果：

学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出A3位置，并正确计算.如有可能，

还可把正方体换成长方体进行讨论.

学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程.

注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂

教学任务.因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况

选用.

第四环节：随堂检测

一、选择题

1.一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米.如果

梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动()

A.9米B.15米C.5米D.8米

答案：D

解析：梯子顶端距离墙角地距离为后可之2碗，

顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为、252-(24-4)2=15m,15m-7m=8m.

故选D.

点拨：利用勾股定理进行解答.求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯

子低端滑动的距离.

2.已知蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那

么它所行的最短路线的长是()

B

A

A.8B.10C.12D.16

答案：B

解析：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8,

故矩形对角线长AB=G%NIO,即蚂蚁所行的最短路线长是10.

点拨：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开

为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB.

二、填空题

3.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B,然后把中点C向

1_

解析：RtZXACD中，AC=-2AB=4cm,CD=3cm；

根据勾股定理，得：AD=VAC2+CD2=5cm；

Z.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉长了2cm.

点拨：根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距

离.

4.小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m,当他把

绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米.

答案：12

解析：设旗杆高xm,则绳子长为（x+1）m,

•••旗杆垂直于地面，.•.旗杆，绳子与地面构成直角三角形，

由题意列式为r+5?=（x+1）2,解得x=12m.

点拨：由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定

理即可解答.

三、解答题

5.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不

得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻

刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B

处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，

（1）求BC的长；

（2）这辆小汽车超速了吗？

n小汽4^

5Q：：......oc

观测

答案：（1）40米；（2）小汽车超速了.

解析：（1）在直角AABC中，已知AC=30米，AB=50米，且AB为斜边，则

BC=VAB2-AC2=40米.所以小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米；

（2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒，20米/秒=72千

米/时，因为72>70,所以这辆小汽车超速了.

点拨：（1）在直角三角形ABC中，已知AB,AC根据勾股定理即可求出小汽车2

秒内行驶的距离BC；（2）根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的

平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速.

第五环节：课堂小结

教师提问：

通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.

师生相互交流总结：

1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解.

2.在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理

解决实际问题.

意图：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定

理的广泛应用及它们的悠久历史.

效果：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时,

往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解.并赞叹我国古代数学的

成就.

布置作业：

1.课本习题1.4T1,2,3t

2.如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，

现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流

设计方案？

注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题.

分层作业

基础型：

一、选择题

1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小

红和小颖行走的速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，小

红和小颖家的直线距离为（）

A.600米B.800米C.1000米D.1400米

答案：C

解析:根据题意得：如图:0A=3X200=600m.0B=4X200=800m.

在直角AOAB中，AB=VOA2+OB2=1000米.

故选C.

点拨：两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连

线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解.

2.如图，若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一

圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是()

A.80cmB.70cmC.60cmD.50cm

答案：D

解析：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD,则从圆柱底部A处沿侧面缠

绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长.

•••圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,

...AB2=302+40'=900+1600=2500,

AB=50(cm).

点拨：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得

出结果，在求线段长时，借助于勾股定理.

3.如图，是一扇高为2m,宽为1.5m的门框，现有3块薄木板，尺寸如下：①

号木板长3m,宽2.7m；②号木板长4m,宽2.4m；③号木板长2.8m,宽2.8m.可

以从这扇门通过的木板是（）

A.①号B.②号C.③号D.均不能通过

答案：B

22

解析：由题意可得：门框的对角线长为：^2+1.5=2.5（m）,

•①号木板长3m,宽2.7m,2.7>2.5,...①号不能从这扇门通过;

•.,②号木板长4m,宽2.4m,2.4V2.5,.•.②号可以从这扇门通过；

..•③号木板长2.8m,宽2.8m,2.8>2.5,...③号不能从这扇门通过.

故选：B.

点拨：根据勾股定理得出门框的对角线长，进而比较木门的宽与对角线大小得出

答案.

二、填空题

4.如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底

部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.

答案：8

解析：•••一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部

4米处，

...折断的部分长为V32+42=5,

折断前高度为5+3=8（米）.

点拨：由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜

边，从而得出这棵树折断之前的高度.

5.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，

A,B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物,

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米.

答案：2.5

解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为2,宽为(0.2+0.3)X3,

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x,

由勾股定理得：X2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.5%

解得x=2.5.

点拨：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

三、解答题

6.在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破.已知点C

与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400

米，且CA_LCB,如图所示.为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不

得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算

进行说明.

答案：需要暂时封锁

解析：公路AB需要暂时封锁.

理由如下：如图，过C作CD_LAB于D.

因为BC=400米，AC=300米，ZACB=90°,所以根据勾股定理有AB=500米.

1_1BOAC400X300

因为SAABC=7B・CD=5BC・AC,所以CD=AB=-500—=240米.

由于240米V250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁.

点拨：过C作CDLAB于D.根据BC=400米，AC=300米，ZACB=90°,利用根据

勾股定理有AB=500米.利用SAABC=7AB・CD=5BC・AC得到CD=240米.再根据240

米＜250米可以判断有危险.

能力型：

一、填空题

1.某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱.已知大

厅圆柱高4米，底面周长1米.由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从

上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米.

答案：5

解析：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方

形的对角线长

•••圆柱高4米，底面周长1米，.*.x2=(1X3)M2=9+16=25

所以，花圈长至少是5nl.

点拨：要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得

出结果，在求线段长时，借助于勾股定理.

2.图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）

剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行

到顶点B的最短距离为cm.

答案：3V2+3V6

解析：如图所示:

△BCD是等腰直角三角形，4ACD是等边三角形，

在RtABCD中，CD=7BC2+BD2=6V2cm,

，BE=2cD=3&cm,

在RtaACE中，AE=VAC2-CE2=3V6cm,

•••从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3&+3巫）cm.

点拨：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点

之间线段最短”得出结果.

二、解答题

3.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，

另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它

们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30）,问另一艘轮船的航行的方向是

北偏西多少度？

解析:由题意可知,0A=16+16X2=24（海里），0B=12+12X2=18（海里），AB=30

海里，

V242+182=302,即0A2+0B2=AB2,.'.△OAB是直角三角形,

VZA0D=40°，

即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度.

点拨：先根据题意得出0A及0B的长，再根据勾股定理的逆定理判断出aOAB的

形状，进而可得出结论.

探究型:

一、解答题

1.阅读下面材料:

实际问题：如图（1）,一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5

厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两

条路线.

图（1）

解决方案:

路线1：侧面展开图中的线段AC,如图（2）所示,

设路线1的长度为11：贝u]J=AC2=AB2+BC2=52+（5JT）2=25+25JT2；

路线2：高线AB+底面直径BC,如图（1）所示.

设路线2的长度为12：则1/=（AB+BC）=（5+10）=225.

为比较L，k的大小，我们采用“作差法”：

22222

VI,-12=25（n-8）>0.\11>12.\11>12,

小明认为应选择路线2较短.

（1）问题类比：

小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高

AB为5厘米.”.请你用上述方法帮小亮比较出L与L的大小：

（2）问题拓展：

请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h

r

厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,当M满足什么条件时，选择路线

2最短？请说明理由.

（3）问题解决：

如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当蚂蚁从点A出发

沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r.（注：按

上面小明所设计的两条路线方式）.

r410

2

答案：（1）选择路线1较短；（2）冗2一4；（3）r=7T-4.

解析：（1）如图（2）.

•••圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米，

22222

路线1：1,=AC=AB+BC=25+JT；

22

路线2：l2=AB+BC=5+2=7,12=（AB+BC）=49.

2222

VI,-12=25+n-49=n-24<0,

...选择路线1较短；

（2）如