【解析】江西省南昌市高三第三次模拟考试数学（文）试题

NCS20200707项目第三次模拟测试卷文科数学一､选择题（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数z，写出，即得对应的点所在的象限.【详解】，复数z的共轭复数对应的点是，在第四象限.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，，故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.3.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．【详解】由图知，众数是；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，所以中位数是；平均数是；∴．故选：D．【点睛】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题．4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】A【解析】【分析】由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1,依次递推，得到1，即得解.【详解】由题意：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.第一步：为奇数，则；第二步：偶数，则；第三步：为偶数，则；第四步：为偶数，则；第五步：为奇数，则；第六步：为偶数，则；第七步：为偶数，则；第八步：为偶数，则；第九步：为偶数，则.故选：A【点睛】本题考查了数学文化以及数列的递推关系，考查了学生数学应用，理解辨析，数学运算的能力，属于基础题.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得.【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.故其体积.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题.中，D为线段上一点，且，若，则()A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据，以为基底，根据向量的线性运算即可求解.【详解】，又，，，故选：B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了向量的加法、减法，基底的概念，属于中档题.的焦点，并与抛物线交于点，(在第一象限)，若的纵坐标为6，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得出点坐标，进而得出直线的方程，并代入抛物线方程，结合韦达定理以及弦长公式求解即可.【详解】设，，直线的方程为将代入中，整理得故选：B【点睛】本题主要考查了求直线与抛物线相交所得弦长，属于中档题.（且）的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：,仿此，若的“分裂数”中有一个是73，则m的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】由题意可得的“分裂数”为个连续奇数，设的“分裂数”中第一个数为，则由题意可得：，，…，，将以上个式子叠加可得∴∴当时，，即73是的“分裂数”中第一个数故选B中，角的平分线交边于点，，，，则（）.A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】设，用余弦定理表示出和，利用角平分线定理求得后可得，从而得．【详解】因为是的平分线，设，则，同理，∴，解得，∴，，∴．故选：A．【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形内角平分线定理，掌握余弦定理是解题关键．的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点.若，则的渐近线方程为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【详解】如图所示：设分别为三边与其内切圆的切点，圆心为.已知≌，≌,≌.即由双曲线的定义有：.则.所以,即.又.所以，又，解得.双曲线的渐近线方程为：.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题.满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.二､填空题，则________.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式以及商数关系求解即可.【详解】，故答案为：【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值，属于中档题.，，若，则对应的实数对有________对.【答案】2【解析】【分析】计算，根据讨论，，三种情况，计算得到答案.【详解】，，，当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则不成立.故对应的实数对有2对.故答案为：2.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.，，，，则m，n，p的大小关系是_________.【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性，结合自变量的大小，求解即可．【详解】解：∵，定义域，∴，∴函数为偶函数，且易知函数在上单调递增，∵，，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于基础题．中，，，，已知是矩形内一动点，，设点形成的轨迹长度为，则________；当的长度最短时，三棱锥的体积为________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先确定点的轨迹，然后利用诱导公式即可求解的值；根据圆外一点到圆上距离的最小值，即可找到所求的点，结合三棱锥的体积公式即可求解.【详解】如图，在长方体中，连接,则在△中，,所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆弧,故,，在△中，,所以；在△中，,所以的长度最短可转化为的长度最短，连接,则与圆弧的交点即为所求的点，,所以故答案为：；【点睛】本题主要考查圆的定义、两角和的正切公式及三棱锥的体积，属于能力提升题.三､解答题中，，(为常数).（1）若，，成等差数列，求的值；（2）若为等比数列，求的值及的前项和.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据递推公式得出值，再结合等差中项的性质，即可得出的值；（2）由等比数列的性质得出，最后由求和公式计算即可.【详解】（1）令，令，令，而，，成等差数列，则，即解得（舍），，即（2）由等比数列的性质可知，，即，解得设其公比为，则所以，数列前项和.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用以及求等比数列的前项和，属于中档题.18.全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具价值的城市品牌，作为普通市民，既是城市文明的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，皖北某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求样本的平均数；（Ⅱ）现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.【答案】（Ⅰ）74（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据小矩形的面积之和等于可求出，再根据平均数小矩形的面积小矩形底边中点横坐标之和，即可求解.（Ⅱ）根据分层抽样算出在内选取2人，在内选取4人，利用列举法求出从这6人中选取2人的所有选取方法，再求出2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（Ⅰ）因为所以，从而样本平均数为（Ⅱ）根据分层抽样，在内选取2人，记为，在内选取4人，记为.从这6人中选取2人的所有选取方法：，共15种.2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法：共8种.所以所求概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图中平均数的求法、古典概型的概率计算公式，属于基础题.中，，，，四边形为菱形，且，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由面面垂直的判定定理证明即可；（2）根据等体积法求解即可.【详解】（1）取中点，连接，，，，菱形中故三角形是等边三角形，则，，又，所以又，，平面，故平面因为平面，所以在中，所以故，又，，平面所以平面，又平面所以平面平面（2）由（1）知：在中，，设点到平面的距离为因为，所以，则【点睛】本题主要考查了证明面面垂直以及求点到平面的距离，属于中档题..（1）若，求函数的所有零点；（2）若，证明函数不存在的极值.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】（1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.【详解】（1）解：当时，，函数的定义域为，且．设，则．当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，（当且仅当时取等号）．即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点.因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有．（2）证法1：因为，函数的定义域为，且．当时，，由（1）知．即当时，所以在上单调递增．所以不存在极值．证法2：因为，函数的定义域为，且．设，则．设，则与同号．当时，由，解得，．可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．由（1）知．则．所以，即在定义域上单调递增．所以不存在极值．【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.xOy上取两个定点A1（，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.（1）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（2）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若（λ＞1），求证：.【答案】（1）1（x≠±）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意先写出两直线的方程，再根据条件化简即可求得答案；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设l：x＝ty+3，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得y1+y2且y1y2，根据题意得x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，再代入即可证明结论．【详解】（1）解：依题意知直线A1N1的方程为：y（x）…①；直线A2N2的方程为：y（x）…②设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2（x2﹣6）由mn＝2整理得：1∵N1、N2不与原点重合，可得点A1，A2不在轨迹M上，∴轨迹C的方程为1（x≠±）；（2）证明：设l：x＝ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2且y1y2，，可得（x1﹣3，y1）＝λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，证明，只要证明（2﹣x1，y1）＝λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1＝λ（x2﹣2），只要证明，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，由y1+y2且y1y2，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．22.在极坐标系中，曲线，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转得到曲线.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C与曲线的公共部分面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设点是曲线上任意一点，用点的极坐标表示出点旋转之后对应的点，而点在曲线上，代入即可求出曲线的极坐标方程；（Ⅱ）根据几何知识可知，四边形为菱形，即可求出，再根据曲线C与曲线的公共部分等于两个弓形面积，即可求出．【详解】（Ⅰ）设点是曲线上任意一点，旋转之后点，满足，即代入曲线，得曲线，即曲线．（Ⅱ）如图，两圆相交于点O，A，连接，，，，，显然四边形为菱形，故．由曲线知，圆的半径为，所以曲线C与曲线的公共部分的面积为两个弓形的面积，即.【点睛】本题主要考查相关