1.2.1等差数列及其通项公式（2知识点5题型强化训练）

1.2.1等差数列及其通项公式课程标准学习目标（1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义;（2）能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题。（1）掌握等差数列的概念，会证明某数列是等差数列;（2）掌握等差数列的通项公式，会求某等差数列通项公式.（难点)知识点01等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为d.代数形式：an-解析(1)公差是每一项减前一项，常数指的是与n无关；(2)公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d(3))an-aan+1-aan+1-【即学即练1】以下数列是等差数列的.(1)2,,4,8,16；(2)1,3,5,7,9；(3)数列an满足a答案(2)(3).知识点02等差数列的通项公式等差数列an的首项为a1，公差为d，则an解析(1)证明若等差数列an的首项为a1，公差为由等差数列的定义可得，an+1所以a2把以上n-1项等式累加可得an当n=1时，上式为a1=a故an等差数列的通项公式由等差数列的定义证明，以上证明方法为累加法.(2)等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个变数，即a1，【即学即练2】已知等差数列an中，首项a1=4，公差d=-2，则通项公式anA．4-2n B．2n-4C．6-2nD．2n-6答案C【题型一：等差数列的判定与证明】例1．已知数列an满足：a1=1，a(1)证明：an+1-a(2)设bn=an+k【答案】(1)证明见解析，a(2)k<4【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到an+1（2）由（1）得bn=n2+kn2【详解】（1）因为an+2所以an+2又a2-a1=3，所以数列an+1所以an+1当n≥2时，(a所以an-a1=n2-1，又所以数列an的通项公式为a（2）由（1）知bn=n所以bn+1-b得到k<(n+1)2n2对变式11．下列数列中等差数列的是（

）A．an=3n+1 B．an=3n【答案】A【分析】利用等差数列的定义判断.【详解】对于A，an+1对于B，an+1对于C，an+1对于D，an+1故选：A变式12．若数列an是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（A．an B．C．pan+q（p,q为常数）【答案】A【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解.【详解】因为数列an为等差数列，设公差为d，可得a对于A中，例如：等差数列an=n-2，则此时数列an不是等差数列，所以A对于B中，数列an+1-an中，可得所以数列an+1-a对于C中，数列pan+q所以数列pan+q对于D中，数列2an+n所以数列2an+n一定是等差数列，所以故选：A.变式13．已知数列an满足a1=(1)证明数列1an-1(2)若数列bn满足，bn=an-1a【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根据数列递推公式进行合理变形得出1a（2）依题求得bn=1【详解】（1）由a1=32，即1an+1-1故数列1an-1是等差数列，其首项为1则1an-1（2）由bn=an-1则Sn=b1+【方法技巧与总结】1证明某数列是等差数列，可利用定义法：an-an-1=d2由递推公式证明等差数列，若直接对递推公式进行变形有时候有些难度，而直接去求an-3判断某数列是等差数列，若是选择题，可采取取前三项检验是否可能为等差数列来排除选项.【题型二：利用等差数列的定义求通项公式】例2．已知数列an中，a1=1且an+1=A．18 B．17 C．16【答案】D【分析】采用倒数法可证得数列1an为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到a【详解】由an+1=3又1a1=1，∴数列1an∴1∴an=∴a故选：D．变式21．在数列an中，an>0,a1A．12 B．23 C．24【答案】C【分析】根据题目条件得到2an2为等差数列，公差为1，并求出首项，从而得到通项公式，求出【详解】因为2an+12-2an故2an2因为an>0，所以an故选：C变式22．已知数列an中，a1=1，a2=2，aA．3 B．113 C．213 D【答案】D【分析】分析出数列an中的奇数项依次构成首项为1，公差为2的等差数列，可求得a19的值，分析可知an+4=an【详解】当n为奇数时，an+2-an=2，即数列a所以，a19当n为偶数时，an+2+an=2所以，a18故a18故选：D.变式23．已知数列an满足a1=13，aA．121 B．112 C．12 D【答案】A【分析】由数列的递推关系式推出{1an【详解】正项数列an满足a1=13可得1an+1-1an=2所以1a10=3+9d=21故选：A．变式24．在数列an中，a1=1,a2=1A．18 B．24 C．30 D．36【答案】A【分析】由已知可得2an+1=1an+2+1an【详解】由2anan+2=所以数列1an是等差数列，且首项为1a所以1an=1+由ak=1故选：A．【方法技巧与总结】要对常见的递推公式较为熟练，方能辨识出等差数列；往往是对递推公式通过作差、作商等方式进行变形，得到an【题型三：等差数列通项公式的基本量计算】例3．已知{an}为等差数列，a2+a3A．56 B．58 C．59 D．62【答案】A【分析】设出等差数列的公差，由题意列方程组求出首项和公差，再代入等差数列的通项公式得答案．【详解】设等差数列an的公差为da1+d+a1+2d=7∴a故选：A.变式31．设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】设出前三项为a-d，a，a+d，并结合题意得到方程组a-d+a+a+d=12aa-d【详解】由题意设前三项为a-d，a，a+d，所以得a-d+a+a+d=12a解得a=4，d=±2，又因为an是递增的等差数列，所以d=2所以首项a1=4-2=2.故B故选：B.变式32．若an是正项无穷的等差数列，且a3+a9=6，则A．1，2 B．0，35 C【答案】D【分析】由a3+a9=6表示出a1，然后由a【详解】由a3+a9=6因为an所以a1>0d≥0，所以3-5d>0即an的公差d的取值范围是0故选：D变式33．在等差数列an中，p，q∈N*，且p≠q，若ap=q2A．-p+q B．-12p+q C．【答案】C【分析】设出首项和公差并表示出ap和a【详解】设等差数列an的公差为d，则ap=两式相减得d=-p+q，则ap+q故选：C．【方法技巧与总结】1等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，说明a2等差数列的基本量计算，可采取列方程组的方法，若学了等差数列的一些基本性质，则有时候会简便些.【题型四：实际问题中的等差数列】例4．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为.【答案】1322升201【分析】由题意可知a1+a解得d=766，a1=【详解】解：将自上而下各节竹子的容积分别记为a1，a2，…，依题意可得a1+a即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，把d=766代入①，得【点睛】本题考查数学文化与等差数列，考查运算求解能力与应用意识.变式41．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为10.5尺，立夏当日日影长为4.5尺，则春分当日日影长为（

）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．7.5尺【答案】D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为an，利用等差数列的性质即可求解【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为an，则立春当日日影长为a4=10.5，立夏当日日影长为a故选：D变式42．我国古代数学著作(九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为()A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤【答案】B【分析】根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质即可求出中间三项的和.【详解】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1=4，则则d=a由等差数列性质得a2a3∴中间三尺的重量为9斤．故选B．【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解有很多种方法，一种是将已知条件都转化为a1和d的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用d=a变式43．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，那么此数列的项数为（

A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【分析】由am=3m-1，ak=5k-2，a【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……，故am=2+3m-1被5除余3的数为3，8，13……，故ak=3+5k-1被7除余1的数为1，8，15……，故at=1+7t-1由am=3m-1=3m-3+8，故an=105n-1令1≤105n-97≤2022，解得：98105因为n∈N*，所以n=1,2,3,⋯,20故选：D【方法技巧与总结】实际问题中，要先理解题意，提取出“等差数列”的信息，把其化为等差数列的基本量问题进行求解.【题型五：等差数列通项公式的运用】例5．已知公差不为0的等差数列an满足am+an=2a4A．6 B．16 C．32 D．【答案】D【分析】设等差数列an的公差为d，代入am+an=2【详解】设等差数列an的公差为d，则由aa1则(m+n-2)d=6d，因为d≠0，所以m+n=8（m,n∈N所以9m+1当且仅当9nm=m所以9m+1故选：D变式51．如果a1,aA．a1a8C．a1+a【答案】B【分析】根据等差数列的基本量，通过作差比较大小即可.【详解】因为如果a1所以a8对于A，B，a1因为d≠0，所以d2>0，所以a1a8-a对于C，D，a1因为d≠0，所以-d≠0，-d大于0或者小于0不能确定，所以a1+大小关系无法确定，故C,D错误，故选：B.变式52．在等差数列an中，a1=-11, a5=-3A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】C【分析】根据题意求出an，根据等差数列an的各项符号得到数列T【详解】解：依题意可得公差d=a5-所以当n≤6时，an<0，当n≥7时，因为T1=-11<0，T2T4=-11×(-9)×(-7)×(-5)=3465>0，T6又当n≥6时，Tn=a1a2a3a所以数列Tn无最大项，数列Tn有最小项故选：C变式53．设数列an的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1A．10111012 B．10111013 C．40474049【答案】C【分析】由已知递推式可得数列{1Tn}是等差数列，从而可得【详解】因为an所以a1+2T1=1所以TnTn-1所以1T所以数列{1Tn}是首项为所以1T即Tn=1故选：C．变式54．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a(1)求数列{a(2)设数列{bn}满足；bn=(an【答案】(1)a(2)存在，m=2【分析】（1）根据已知条件及等差数列的等差中项，再利用等差数列的通项公式即可求解；（2）根据已知条件及（1）的结论，得出数列{bn}的通项公式，假设存在正整数m，使得bm【详解】（1）∵a1=6-a3，即a1+a设等差数列{an}的公差为d∵a52=a∴d2=2d．解得d=0（舍）或∴a1所以数列{an}（2）由（1）知，an所以bn假设存在正整数m，使得bm即4m(m+1)+8=4(m+2)(m+3)-4(m+1)(m+2)．化简整理，得m2-m-2=0，即(m-2)(m+1)=0，解得m=2或所以存在正整数m=2，使得bm【方法技巧与总结】利用题中的已知条件把等差数列的基本量求出，把问题转化为其他的问题，根据具体的要求进行求解.一、单选题1．已知数列2an+1为等差数列，且a1=1,A．20212023 B．-20212023 C．2019【答案】B【分析】由题意求出数列2an+1是以首项为1，公差为1的等差数列，进而求出【详解】因为数列2an+1设数列2an+1的公差为d所以3d=2a4所以2an+1所以a2023故选：B.2.在等差数列{an}中，a5=1，a8+aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用等差数列的基本量运算，列出方程组，解之即得.【详解】因为a5=1，a8+a13=24故选：B.3.已知等差数列an各项均为正整数，a11=a1+aA．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】先根据已知条件求出公差d的范围，再根据等差数列an各项均为正整数，可确定公差d的值【详解】因为等差数列an中，a所以a2+a所以2a1=7d因为等差数列an各项均为正整数，所以公差d因为a2<10，所以所以0<d<20因为公差d为正整数，所以d=1或d=2，当d=1时，由a1当d=2时，a1所以d=2，故选：C4.已知数列an满足an+1+anA．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】利用相减法得出数列的偶数项成等差数列，从而可把a6用a2表示，然后利用【详解】由an+1+an=6n+1，可得an+2+an+1=6n+则a6=a故选：B．5.若数列an满足递推关系式an+1=2anaA．11012 B．22023 C．11011【答案】A【分析】利用取倒数法可得1an+1【详解】因为an+1=2所以1an+1-1a故数列{1an}是以则1an=所以a2024故选：A6.已知等差数列an的公差为π2，若集合S=sinanA．22 B．-12 C．1【答案】B【分析】由公差可得通项公式an的解析式，再由集合S种仅有两个元素，可得元素的值，再求出结果即可【详解】根据题意，an最小正周期为T=2要使集合中仅有两个元素，则sina1≠不妨取a1则a=sin所以ab=2故选：B7.在等差数列an中，a3能被3整除，a4能被7整除，则下列各项一定能被21A．a16 B．a17 C．a18【答案】C【分析】一方面假设a3=3,a4=7，结合数列是等差数列算出a16=55,a【详解】一方面若a3=3,a4=7此时a16=55,a另一方面我们考虑一般情况，若a3=3p,a从而an所以a18又p,q∈Z，所以5q-2p∈Z，也就是说a18一定能被故选：C.8.已知数列an的通项公式为an=97-3nn∈N*，那么当数列anA．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】根据数列an的通项公式判断该数列为递减数列，从而可判断数列an【详解】由题意知数列an的通项公式为a故an为等差数列，且公差为d=-3，a当n≤32时，an>0；当n≥33时，设bn=anan+1a当n≥33时，bn故anan+1an+2又b31+b32=2>0故选：C二、多选题9．若正项数列an是等差数列，且a2=5A．当a3=7时，a7=15 BC．当a7为整数时，a7的最大值为29 D．a【答案】AC【分析】利用等差数列的定义与性质计算一一判定选项即可.【详解】设an的公差为d对于A，由题意可知d=a3-对于B，由题意可知若d=0⇒an=对于C，因为an各项为正数，所以a1>0,d≥0则a7=a2+5d∈5,30，当a7对于D，由B项结论可知D错误.故选：AC10.数列an的前n项和为Sn，已知Sn=-A．an是递减数列 B．aC．当n>4时，an<0 D．当n=3或4时，【答案】CD【分析】由数列的通项公式与前n项和的关系即可求出an=【详解】当n=1时，a1当n≥2时，ana1所以an对于A，由于a1=3，a2=4，所以对于B，由于a1=3，a2=4，所以an不是等差数列，所以B对于C，由-2n+8<0，得n>4，所以当n>4时，an<0，所以对于D，Sn=-n所以当n=3或4时，Sn取得最大值，所以D故选：CD.11.已知等差数列an的首项a1=2，公差d=8，在an中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列A．aB．当k=3时，bC．当k=3时，b29不是数列aD．若b9是数列an中的项，则k【答案】ABD【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列an与bn【详解】对于A，由题意得an=2+8n-1对于B，新数列的首项为2，公差为10-24=2，故bn对于C，由B选项知b29=58，令8n-6=58，则n=8，即b29是数列an的第对于D，插入k个数，则a1则等差数列an中的项在新的等差数列bn中对应的下标是以1为首项，于是an=b1+n-1k+1，而b9是数列an的项，令1+故选：ABD三、填空题12.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．【答案】2【分析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，根据题意得到方程组，解得答案.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，则根据题意有a-2d+解得a=1d=-16故答案为：2313.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列an，则（1）a33=；（2）若an【答案】581028【分析】研究图乙可得第k行有k个数，第k行最后一个数为k2，前k行共有k(k+1)2个数，所以第k行末位数为第k(k+1)【详解】图乙中第k行有k个数，第k行最后一个数为k2前k行共有k(k+1)2个数，所以第k行末位数为第k(k+1)故第8行末位数即64第36个数，即a36由每一行都为公差为2的等差数列，所以a33由442所以an=2011在第第45行第一个数为1937，设an为第45行的第m有2011=1937+(m-1)×2，m=38，所以n=44(44故答案为：58,1028.14.设数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，对于任意的n∈N+,an,Sn,an2成等差数列，设数列bn的前n项和为T【答案】2【详解】由题意2Sn=an+an∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0，∵an>0，∴an∴Tn≤1+122+132+⋯+故答案为2．点睛：本题考查数列的综合应用，首先题意翻译为2Sn=an+an2，这是常见的已知数列前n项和Sn与项an四、解答题15．已知等差数列an中，a3=4(1)求这个数列的第10项；(2)-56和-40是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．【答案】(1)-17(2)-56是这个数列中的项，是第23项，-40不是这个数列中的项，理由见解析【分析】（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，根据条件联方程，得到a1=10，（2）利用an=13-3n，得到-56=13-3n和-40=13-3n，解出相应的n值，再利用n∈【详解】（1）设等差数列an的首项为a1，公差为则a3=a1+2d=4a7故a10（2）由（1）知an=13-3n，由-56=13-3n，得到由-40=13-3n，得到n=53所以-56是这个数列中的项，是第23项，-40不是这个数列中的项.16.已知数列an满足a(1)求证：1an(2)求数列an的通项公式【答案】(1)证明见解析(2)a【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证，（2）根据等差数列的通项即可求解.【详解】（1）1a所以1an-2（2）由于1an-2为公差为1所以1an17.如图，点Aii∈N*均在x轴的正半轴上，△OA1B1，△A1A(1)求第n个等边三角形的边长an(2)求数列1an⋅an+1【答案】(1)a(2)T【分析】（1）记数列an前n项和为Sn，则顶点Bn坐标为Sn-1+12an,32a（2）根据裂项相消求和即可．【详解】（1）记数列an前n项和为Sn，则顶点Bn坐标为S因为点Bn在函数y=所以32an则34an两式相减得，34