北师大版八下数学体验课-第02讲特殊三角形和平行四边形-教案

第02讲—特殊三角形和平行四边形趣味问答 新年过后，食品纷纷涨价，下面是三个人的对话：甲说：如果大米涨价的话，油也会涨乙说：如果油涨的话，鸡蛋也会涨丙说：如果鸡蛋涨的话，牛奶也会涨。从三个人的对话看，说法都正确，但四种商品只有两种涨了价，请问是哪两种？考点梳理 例题剖析考点1：垂直平分线、角平分线的性质例1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【解析】D．例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，BD是角平分线，则BC+CD的长（）．A．3 B．4 C．5 D．6【解析】B．考点2：等腰三角形和特殊角的直角三角形例3、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（）A．4 B．6 C．8 D．10【解析】C．例4、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=α，且AE=AD，则∠EDC=（）A．α B．α C．α D．α【解析】A．考点3：图形的平移和旋转例5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是2+2．【解析】解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°∴∠BCA=∠BAC=45°∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE又∵旋转角为60°∴∠BAD=∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形∴AC=CE=AE=4在△ABE与△CBE中，∴△ABE≌△CBE（SSS）∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°∴在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°∴∠AFB=∠AFE=90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF==2又在Rt△AFE中，∠AEF=30，°∠AFE=90°FE=AF=2∴BE=BF+FE=2+2故，本题的答案是：2+2例6、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）【解析】解：（1）如图所示：（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，∴AC==2，∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=4×2+3×2+﹣=14+π．考点4：全等三角形与平行四边形的判定与性质例6、如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．【解析】证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，∴△ABE≌△ACD．（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∵△BEF、△ABC是等边三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．例7、如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（易知AF=BF，延长EF交AD于H，△AEF的面积=•EF•AH=•CB•AD=••BC•AD，由此即可证明）（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．【变式训练】1．如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）求四边形ADFE的周长．【解析】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：∵∠BAC=30°，BC=2，∠ACB=90°，∴AB=AE=4，∵AF=BF=AB=2，则EF=AD=2，故四边形ADFE的周长为：2（4+2）=8+4．2．如图，在▱ABCD中，AE、AF是高，∠BAE=30°，BE=2，CF=1，DE交AF于点G．（1）求▱ABCD的面积；（2）求证：△AEG是等边三角形．【解析】（1）解：∵在Rt△AEB中，∠1=30°，BE=2，∴∠B=60°，AB=2BE=4，∴AE==2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD，∠ADC=∠B=60°，∵CF=1，∴DF=3，∴在Rt△ADF中，∠DAF=90°﹣60°=30°，则AD=2DF=6，∴BC=6，∴S平行四边形ABCD=BC×AE=6×2=12；（2）证明：由（1）知：∠DA