2020届二轮复习 概率与统计 教案

2020届二轮复习概率与统计教案（全国通用）

一、统计与统计案例

1.抽样方法

三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

总体中的个体数较

简单随机抽样从总体中逐个抽取

少

抽样过程中

将总体均分成几部分，

每个个体被在起始部分抽样时采总体中的个体数较

系统抽样按事先确定的规则在各

抽取的概率用简单随机抽样多

部分抽取

相等

将总体分成几层，分层分层抽样时采用简单总体由差异明显的

分层抽样

进行抽取随机抽样或系统抽样几部分组成

2.统计图表

（1）在频率分布直方图中：

频率

①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高=京京：②各小矩形面积之和等于1;③中位数左右

两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值.

⑵茎叶图

当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第

二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做

茎叶图.

当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位（个位）为叶（其余类推）.

3.样本的数字特征

⑴众数

在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（或出现次数最多的那个数据）.

（2）中位数

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均

数作为中位数.学-科网

（3）平均数与方差

样本数据的平均数X=[（X]+x2+...+X"）.

方差52—~fUl—X尸+（》2—X/+…+（即-XA].

注意：（1）现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道（或不可求）的，所以

我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差.

（2）平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方

差越大，数据的离散程度越大，越不稳定.

4.变量间的相关关系

（1）利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关.如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直

线的附近，我们说变量X和y具有线性相关关系.

（2）用最小二乘法求回归直线的方程

设线性回归方程为£=源+2,则

n__n___

AZXi-xyi-y^jayi-nxy

产1i=\

b==

<n_n_

XXi~x2Y^—nx2

z=i尸i

A——A—

IQ=y—bx

注意：回归直线一定经过样本的中心点（三，7）,据此性质可以解决有关的计算问题.

5.回归分析

y：~y

,叫做相关系数.

yi-y2

/=!

相关系数用来衡量变量X与y之间的线性相关程度；H<1,且仍越接近于1,相关程度越高，仍越接近于0,

相关程度越低.

6.独立性检验

假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛»,通｝和｛9，），2｝，其样本频数列联表（称为2x2列联表）

为

总计

X1aba+b

X2Cdc+d

总计h+da+h+c+d

a+b+c+dad—be2

则K2=

a~Vbc+da+cb+d

若K>3.841,则有95%的把握说两个事件有关;

若六>6.635,则有99%的把握说两个事件有关；

若蜉<2.706,则没有充分理由认为两个事件有关.

7.随机事件的概率

随机事件的概率范围：O<P(A)<1；

必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.

8.古典概型

①计算一次试验中基本事件的总数小②求事件A包含的基本事件的个数加③利用公式尸(4)=蓝计算.

9.一般地，如果事件A、8互斥，那么事件A+B发生(即A、8中有一个发生)的概率，等于事件A、8分

别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B).

10.对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和4不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(Z)

=1一尸(A).

11.互斥事件与对立事件的关系

对立必互斥，互斥未必对立.

12.几何概型

一般地，在几何区域。内随机地取一点，记事件”该点落在其内部区域d内”为事件A,则事件A发生的概

d的测度

率P(A)=

。的测度.

高频考点突破

高频考点一事件与概率

例1.(2018年江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中

2名女生的概率为

.3

【答案】一

10

【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概

率为一.

10

【变式探究】某险种的基本保费为。(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保

费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数01234>5

保费0.85。a1.25a1.5a1.75a2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

【解析】(1)设A表示事件：“•续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次

数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数

大于3,故尸(8)=0.1+0.05=0.15.

又P(AB)=P(B),

故槽)；；；=麒=+因此所求概率为普.

(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为

X0.85〃a1.25〃1.5a1.756/2a

P0.300.150.200.200.100.05

EX=0.85ax0.30+ax0.15+1.25ax0.20+1.5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05=1.23a.

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为宁=1.23.

【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，

所取的2个球中恰有1个白球，I个红球的概率为()

A,105

解析从袋中任取2个球共有Ct=105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C|oCi=50种取法，所以

所取的球恰好1个白球1个红球的概率为喘=第.

答案C

高频考点二古典概型

例2.12017山东，理8】从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则

抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

5、457

（A）—（B）—（C）—（D）—

18999

【答案】C

【解析】标有1,2,…，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片

2C；C：5

上的数奇偶性不同的概率是，选C.

9x89

【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，

所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）

A.得C.^YD.I

【解析】（1）方法一：从袋中取出2个球的方法有C?5=105（种），取出I个白球的方法有clo=10（种），取出

1个红球的方法有C,=5（种），故取2个球，1白1红的方法有C|（）C!=50（种），所以尸=盛=卷.

方法二（间接法）：从袋中取出2个球的方法有C15=105（种），若取出的2个球是同色的，则取出的方法有C石

+Cg=55（种）.

记“取出的2个球同色”为事件4,则即）=盖=养

因此，取出的2个球不同色的概率为尸=1—P（A）=$.

【变式探究】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边

长的概率为（）

1234

A.gB.gC.jD.g

解析从这5个点中任取2个，有&=1。种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有仪=6种,

因此所求概率P端=|.故选C.

答案C

高频考点三随机数与几何概型

例3.（2018年全国I卷理数）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，

三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,4c.△ABC的三边所围成的区域记为I,

黑色部分记为II,其余部分记为HI.在整个图形中随机取一点，此点取自I,H,III的概率分别记为0，02,

P3,则

A.P1=P2B.pi=P3

C.P2=P3D.p尸P2+P3

【答案】A

［解析】设AC=b、AB=c.BC=a,则有心一

从而可以求得国d的面积为卜

黑色部分的面积为S*■jr,(-)**x■■(-)'be]=+-——)+-be=3t-*二2~—+-4K=Ac>

22224442422

其余部分的面积为S「《（¥」bc=里」be，所以有Bi=司,

2242

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到Pi=n，故选A.

【变式探究】【2017课标1,理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑

色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

71

A.B.

48

71

C.D.-

24

【答案】B

【解析】设正方形边长为。，则圆的半径为全正方形的面积为区圆的面积为等.由图形的对称性可

知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分

1TlCf

的概率是口一=1，选B.

a8

【变式探究】某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班

车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

A.gB.；C.,D.1

【答案】B【解析】由题意知，小明在7：50至8：30之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30

发的车，所以他等车时间不超过io分钟的概率

【变式探究】从区间［0,1］随机抽取2〃个数为，12，…，xn,y\t”，…，加，构成〃个数对但，yi）,（及，

丫2），…，（斯，丹），其中两数的平方和小于1的数对共有机个，则用随机模拟的方法得到的圆周率兀的近似

值为（）

上4〃-2n

A・蔡B.蔡

c-4-机〜DT2m

【答案】c【解析】由题意知，故兀=等，即圆周率兀的近似值为学.

高频考点四条件概率与相互独立事件的概率

例4.【2017课标II,理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽

取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产

量不低于50kg”，估计A的概率;

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量V50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

P（K2>k）

附：0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

2_n(ad-bc)

一(a+bXc+dXa+cX"d)

【答案】(1)0.4092;(2)见解析;(3)52.35(kg).

【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于

50kg”

由题意知P^=P[BC]=P[B]P{C}

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.040+0.034+0.024+0.014+0.012)x5=0.62

故尸(8)的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66

故P(C)的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为862x0.66=0.4092

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量＜50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

K，=200x(62x66-34*38y5705

100x100x96x104

由于15.705>6.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044)x5=0.34<0.5

箱产量低于55kg的直方图面积为

（0.004+0.020+0.044+0.068）x5=0.68>0.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+瑞335(kg)

【变式探究】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为

0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

解析该同学通过测试的概率为p=0.6x0.6+ax0.4x0.62=0.648.

答案A

【变式探究】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概

率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

解析由条件概率可得所求概率为黑=0.8,故选A.

答案A

高频考点五正态分布

例5.【2017课标1,理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽

取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零

件的尺寸服从正态分布N（〃,b2）.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（4-354+3。）之外的零件数，求

P(X21)及x的数学期望；学一科网

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(4-354+3。)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的

生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

1K11i«n~

经计算得元=7汇入=9.97,s=l—t(jG-x)2=l—(yx2-16x2)2^0.212,其中七为抽取的第

16小R16a，yl6rj,

i个零件的尺寸，i=L2,6.用样本平均数元作为〃的估计值衣，用样本标准差s作为o"的估计值3,

利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(。-3上。+3万)之外的数据，用剩下的数据估计

〃和b(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布"(〃,/),则尸(4-3b<Z<4+3b)=0.9974,

0.9974lf=0.9592-J0.008%0.09.

【答案】(1)0.0416.(2)(i)见解析；(ii)0.09.

【解析】

⑴抽取的一个零件的尺寸在("-35〃+3°)之内的概率为o.9974,从而零件的尺寸在-3G〃+3oj

之外的概率为0.0026,故(1600026)因此

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.9974=0.0408

X的数学期望为EV=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在+之外的概率只有00026,一天内抽取的16

个零件中，出现尺寸在I"-354+30)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这

种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程

进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由于=9.97<v0.212,得M的估计值为。=9.97,o■的估计值为S=0.212,由样本数据可以看

出有一个零件的尺寸在(“一35。+3°)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

«+W-(16x9.97-9.22)=10.02

剔除｛〃一R'〃十‘°，之外的数据9.22,剩下数据的平均数为15,因此〃的估

计值为10.02.

16

Tx；=16x0.2122+16x9.9721591.134

』‘，剔除I"-J""3°)之外的数据9.22,剩下数据的样本方

—(1591.134-9.22:-15xl0.02:)^0.008

差为15,

因此b的估计值为必。。8x0.09

【变式探究】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布M0，1)的

密度曲线)的点的个数的估计值为()

附：若X〜N〃，(r),则Pa—c<Xq+o)=0.6826,

Pa-2«Xq+2c)=0.9544.

A.2386B.2718C.3413D.4772

解析由X〜N(0，D知，P(-1<X<1)=0.6826,

.,.P(0<X<l)=^x0.6826=0.3413,故拆0.3413.

•••落在阴影部分中点的个数x估计值为湍孤=*占典概型)，

，x=10000x0.3413=3413,故选C.

答案C

【变式探究】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如

下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s?(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布刈《,a2),其中〃近似为样本平均数x,心

近似为样本方差

(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)

的产品件数.利用(i)的结果，求E(X).

附：灰限12.2.

若Z~NQi,<r),贝!J<7<Zv〃+o)=0.6826,

P(/i—2a<Z<fi+2<r)=0.9544.

解(D抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差『分别为

x=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,

小=(一30声0.02+(-20)2x0.09+(-10/0_22+0x0.33+l(PxO.24+20、0.08+3(Fx0.02=150.

(2)(i)由(1)知，Z〜M200,150),从而

P(187.8<Z<212.2)=P(200-122<Z<200+12.2)=0.6826.

5)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187&2122)的概率为0.6826,依题意X〜3(100,0.6826),

所以£(^)=100x0.6826=68.26.

高频考点六离散型随机变量的分布列

例6.(2018年浙江卷)设0<p<l,随机变量4的分布列是

012

一工

P1PP

222

则当P在(0,1)内增大时，

A.D(4)减小B.D(岑)增大

C.D(。)先减小后增大D.D(。)先增大后减小

【答案】D

1PI

O+2-+

X1-一PXX

一

【解析】E(£)22一22

1-p1I,1P-1、221

•••D(9・~y(0-p-5)2+/-丐)2+,2-p-^)*-p+p+j，

•••；G(0,1),，DQ先增后减,因此选D.

【变式探究】【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且

在各路口遇到红灯的概率分别为

234

(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

(II)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【答案】(I)见解析；(H)—.

48

【解析】

(I)解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

尸(*=o)=Hb(Tb(W

111

产(X=1)=]X；：

424

尸(X=2)=1一；1

4

P(^=3)=lxlxl=—

723424

所以，随机变量X的分布列为

X0123

]_111

P

424424

八1,11、11,113

E(X)=0x—+1x—+2x—+3x—=—

随机变量X的数学期望42442412.

(H)解：设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

尸(1'+z=i)=尸(y=o,z=i)+尸位=LZ=o)=p(y=o)p(z=i)+p(y=i)p(z=o)

11111111

——X+X——

42424448

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为".

48

【变式探究】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,

如果两人都猜对，贝『‘星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”

得。分.已知甲每轮猜对的概率是3京乙每轮猜对的概率是?东每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮

结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求:

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.

解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对“，记事件B：“乙第一轮猜对“，记事件C：“甲第二轮猜对“，记事件6

“乙第二轮猜对“，记事件公，“星队，至少猜对3个成语”.

由题意，E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

由事件的独立性与互斥性，得

尸⑻=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)P(O-P(D)

3232,^<1232,3132、2

=4X3X4X3+2X1?T4X3+4X3X4X§J=于

2

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为(

(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,I,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

「(x=o)=丹44=击,

怨=i)=2xgx144+抬44)=揩=

…〜3131.3112,1231.121225

尸。=2)=行为+行不/行有+行江市

311132□

=j----

3)43343

4X144

n23160_=_^

P(X=4)=2xHx-x-x-+144=-12,

3

4-232361

xx4x-4-4,

可得随机变量X的分布列为

X012346

1525151

P

U472M412124

所以数学期望EX=Ox占+|x:^+2x鼻+3X1+4X"^+6XJ=M.

144/Z1441Z1Z4O

【变式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，

检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检

测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望).

解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品“为事件A

P(A)=错误!=错误!.

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X=200)=错误!=错误!，

P(X=3()0)=错误!=错误!，

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=I一七一亲

故X的分布列为

X200300400

136

P

161610

1OZ：

£(X)=200xy^+300x—+400x^—350.

高频考点七均值与方差

例7.(2018年北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.

(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(II)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

cm)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“&3,表示第4类电影得到

人们喜欢，^0”表示第4类电影没有得到人们喜欢(E，2,3,4,5,6).写出方差区国，区，国,

国，国的大小关系.

【答案】(1)概率为0.025

⑵概率估计为0.35

⑶国也引国禺区四

【解析】(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200x0.25=50.

故所求概率为理-=0.025.

|2000

(II)设事件4为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，

事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.

故所求概率为P(|AB+A^)=P(园)+P(国)

=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).

由题意知：P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.

故所求概率估计为0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

(Ill)国画＞反胞＞色＞因

【变式探究】已知一组数据4.7,4.851,5.4,5.5,则该组数据的方差是▲.

【答案】().1

-(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1

【解析】这组数据的平均数为5,

.-.S2=lr(4.7-5.1):+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2'|=0.1

5故答案应填：0.1,

【变式探究】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，

从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=()

126

A125Bt

r168

J125忌

解析由题意可知涂漆面数》的可能取值为0,1,2,3.

由于P（》=0）=忌，2尤=1）=言，尸（尤=2）=言,

叩=3）=舟故砂尸。，恁+lx急+2x鬻+3乂摄=需奇.

答案B

高频考点八抽样方法

例8.（2018年天津卷）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的

方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望;

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工“，求事件A发生的概率.

【答案】（I）从甲、乙、丙二个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.（II）⑴答案见解析；（/7）4

【解析】（I）由己知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,

因此应从甲、乙、内三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

（II）（/）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=k)=(D,1,2,3).

所以，随机变量X的分布列为

X0123

T12187

P

35353535

随机变量X的数学期望E(X)0x—+1*—+2x—+3•—

(，)设事件8为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；

事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，

贝|JA=BUC,且8与C互斥，

由(/)知，P(B)=P(X=2),尸(0=P(X=1),

故P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=\)=|.

所以，事件A发生的概率为心.

【变式探究】【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且

在各路口遇到红灯的概率分别为

234

(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

(n)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【答案】(I)见解析；(H)—.

48

【解析】

(I)解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(AT=3)=lxlxl=—

723424.

所以，随机变量X的分布列为

X0123

j_111

P

424424

l/sc1,11、1°113

E(X)=0x—4~1x—+2x—+3x—=—

随机变量X的数学期望42442412.

(H)解：设F表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

尸(y+z=i)=尸(y=o,z=i)+尸(y=LZ=O)=尸(y=o)尸(z=i)+p(y=i)尸(z=o)

—_Y____上___xz__—__

一424244—48.学科-网

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为口.

48

【变式探究】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图,

其中自习时间的范围是[17.5,30J,样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,

30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()

【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+

0.04)x2.5=0.7,所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200x0.7=140.

【变式探究】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教

师的人数为()

A.167B.137C.123D.93

解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110x70%+150x(1-60%)=137.故选B.

答案B

【变式探究】对一个容量为N的总体抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三

种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为m，02,P3,则()

A.Pl=p2Vp3B.P2=P3cpi

C.pi=p3Vp2D.P1=P2=P3

解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时.，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.

答案D

高频考点九频率分布直方图与茎叶图

例9.（2018年江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分

数的平均数为.

899

9011

（第3题）

【答案】90

【解析】先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数。由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为

……皿”89+89+90+91+91

89.89.90.91.91,故平均数为-----------------=90。

【变式探究】若样本数据为，X2,…，xio的标准差为8,则数据2X1—1,2x2-1,....Zxio—l的标准差为（）

A.8B.15C.16D.32

解析法一由题意知，汨+检+…+xio=IOx,

-x):+(x；-x):+L+(项0-»]

51=

-1

则y=-[(2xi-1)+(2X2-1)+...+(2xio-1)]

=，[2(xi+检+…+x”))—"]=2x—1,

区[(2再一1一丁+(2毛一1—+L+(2%-1-y\]

所以S2=\10

（再一3+（受一力，+L+（再「力」

=丫1°=2si，故选C.

答案C

【变式探究】重庆市2017年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是（）

089

1258

2000338

212

A.19B.20C.21.5D.23

解析从茎叶图知所有数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间两个数为20,20,

故中位数为20,选B.

答案B

高频考点十变量间的相关关系及统计案例

例10.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图.以下结论不正确的是

)

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排

放量的差最大，A选项正确；

2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；

虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即