高中数学-平面与平面垂直教学设计学情分析教材分析课后反思

8.6.3平面与平面垂直教学设计

教学目标

1、知识与技能

（1）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面

角的大小；

（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证

明垂直关系；

（3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化，理会“类比归纳”思想在教学问题

解决上的作用.

2、过程与方法

（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对二面角的平

面角及面面垂直的认识；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法，进一步提高学生分析问

题、解决问题的能力.

3、情感、态度与价值观

通过“直观感知、操作确认、数学抽象、推理证明”，培养学生空间概念、

空间想象能力以及逻辑推理能力.

教学重点

二面角的概念和二面角的平面角的作法，平面与平面垂直的判定。

教学难点

二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定.

教学方法

实物观察、类比归纳、探究合作，讲练结合.

教学过程

（一）生活取材，直观感知

前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个平面相交的情况。在生产实践中，

有许多问题涉及到两个平面相交成一定角的情形。通过视频实例展示，让学生获得平面相交

的直观感受。例如修筑水坝时，为了使水坝坚固，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发

射人造地球卫星时.，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度.（教

师用多媒体显示模型）

师：生活中，你还能举出哪些问题涉及到两个平面相交呢？

生：打开的门，门面与墙面成一定角度；翻开着的书，两个书页面成一定角度；打开着

的笔记本电脑两个面也成一定角度.

课件展示实物图，将其命名为二面角，我们应该怎么理解二面角呢？

（设计意图：从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际生活；同时引导学

生体会知识的形成过程，使学生从直观感知到理论抽象生成概念做铺垫，培养学生数学抽象

核心素养.）

（二）类比推理，概念生成

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分,其中的每一部分都叫做射线.那么一

个平面被平面中的一条直线分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.

师：初中已经学过平面中的“角”是怎样定义的？（教师用多媒体演示角的形成）

生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.

类比得出概念：

师：你能根据平面中"角''的定义类比归纳得出平面与平面所成角的概念吗？

生：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.（教师用多媒体演示二面角的形

成）

（设计意图：创设问题情境，引导学生充分思考，在结合多媒体演示，启发学生通过平

面角角的定义类比得出二面角的定义）

1.二面角的概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面

角.（课件展示）

（1）二面角的画法

让学生参照身边的二面角实物图（比如：打开着的学伴机），画出二面角的

直观图。施

多媒体投影学生的作品，点评学生作品以及强调作图（二面角）的方法。

（设计意图：通过让学生亲自动手作图学会画二面角，同时培养学生由实物图转

化为直观图的直观想象核心素养，并通过师生点评激发学生创造美的精神。）

（2）二面角的记法：以直线L为棱，以a、4为半平面的二面角记作：

a-L-（3；

（设计意图：教师用课件演示空间的“二面角”的记法，规范学生的学习，培养严

谨的治学态度）

（三）操作探究，如何度量

2.二面角的平面角

提出问题：我们通常说“把门开大一些”（动手翻转门演示）.这说明二面角是有大小

区分的.那么，如何去刻画二面角的大小呢？

（设计意图：教师提出问题，激发学生的探索欲望，通过直观感知启发学生的创造性思

维.）

引导联想：异面直线所成角和线面角

师：我们如何刻画异面直线所成角？

生：将异面直线平移，平移后两相交直线所成的夹角即为异面直线所成角。

师：我们如何刻画线面角？

生：斜线与其在平面内的射影所成的夹角即为线面角。

师生总结：我们在解决这两种空间角时，都是转化为平面角来刻画，且平面角的大小是

唯一的。那么，二面角也是空间角，我们能否也用平面角来刻画二面角呢？（设计意图：教师

启发引导，让学生类比分析，分组探究）

小组探究（-）二面角的平面角

各小组动手操作，并讨论后画出一个平面角来表示二面角的大小。

师：多媒体演示学生在操作过程中出现的错误画法，并提出问题：平面角的大小与顶点

在棱上的位置有无关系？

师生总结：无关，过不同的点做出的平面角都相等。

紧接着,教师多媒体动画展示二面角的平面角随着二面角张开幅度变化而变化过程。这样

作出的平面角符合我们的直观认识，其次，刻画二面角体现了唯一性，我们将其称为二面角的

平面角。

（设计意图:①学生在参与探讨刻画二面角大小方法过程中，分组合作探究,生生之间、

师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又有

利于学生交流合作意识、自我反思纠错意识的形成和创新能力培养.

②通过学生充分参与活动，酝酿议论，画图，归纳，指导学生在归纳的基础上升华.经

过师生共同研讨，学生不仅学会了二面角的平面角的定义和二面角的度量方法，而且让学生

体会了数学的严谨性，了解如何给数学概念下定义.

③通过小组合作解决问题，既培养了学生的数学表达能力，又激发了学生的求知兴趣，

培养了学生的探究式学习能力.）

现给出二面角的平面角的定义：（课件出示定义）

二面角的平面角一一取二面角的棱上任意一点。为垂足，过点。在两个面内分别作垂直

于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

（师生共同总结归纳）二面角的平面角必须具备三个条件、唯一性以及范围：

教师强调：（1）二面角的平面角的范围是当两个半平面重合时，平面角为

0°；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180。.

（四）拾级而上，深化定义

引入直二面角，让学生深化了解面面垂直的定义。（课件展示正方体中两个相邻平面所成的

二面角，启发学生直观感知生成概念，进而引入面面垂直）

（五）顺藤摸瓜，探析判定

找到一个面面垂直的实例，指出实例中哪两个平面互相垂直，说明使得该组平面垂直的原因,

并尝试总结判定两平面垂直的一般方法，小组开展讨论.

师：通过归纳实验，猜想满足什么条件才能使得面面垂直？

生：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直

（设计意图：通过自己亲自动手实验，合作操作经历，再通«过观察

一归纳猜想得出结论，培养学生合情推理，数学抽象能/_7力。）

这个猜想结论正确吗？

教师展示证明过程，引导学生用面面垂直的定义证明命题的真实性。

（设计意图:通过猜想一推理论证，体会数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯，

深化逻辑推理核心素养。）

3.平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简称：线面垂直，则面面垂

直。

启发学生用符号语言表达判定定理

符号语言：I±.13}

Ida）~

（设计意图：培养学生用符号语言表达数学的能力）

为了及时了解学生的学习情况，推给学生4道判断题，让学生解答。

（1）如果平面a内有一条直线垂直于平面夕内的一条直线，则C万

（2）如果平面a内有一条直线垂直于平面夕内的无数条直线，则分

（3）如果平面a内有一条直线垂直于平面夕内的两条相交直线，则C分

（4）若〃?_La,加u夕,则a_1_尸

（设计意图：学生动手操作，举出反例，既巩固了知识，又培养了学生的严谨的数学思维）

（六）典例剖析，应用拓展

例7、如图，在正方体4BCD-A'B'CZ）'中，证明：平面J_平面ACC'A

在练一练环节，借用《九章算术》中的鳖腌，让学生了解中国古老的数学文化，体会中

国人民的伟大智慧。

例8：如下图，A8是圆。的直径，/%垂直于圆。所在的平面，。是圆周上不同于

的任意一点，求证：平面PAC_L平面ABCP\\

分析：线线垂直线面垂直-------A面面垂直A匕丁）

设计意图：通过两道课本例题题的讲解，让学生学以致用，尝试运/用

定理，探究解决问题的策略与途径，从而进一步体会垂直关系的相互转化.通过归纳解题方

法，规范书写，巩固所学知识，提升学生的逻辑推理能力以及分析、解决问题的能力.

（七）整合构建，小结提升

学生从三个层面总结本节课的收获：①知识层面；②思想方法层面；③核心素养层面。教

师引导学生自己总结，交流分享本节课的收获，串联知识脉络，体会整堂课所用到的思想方

法以及核心素养.

（八）分层作业，知能提升

必做题：完成课本第163页，习题8.6的第7题。必做内容的作用就是帮助所有学生巩固当

堂所学，可以检测学习效果。

拓展题是对所学内容的综合提升，也是对空间位置关系的横向整合。

选做题是研究性学习作业，让学生进一步学生画思维导图，让学生形成更加完整的知识体系。

结束语：

同学们，今天这堂课，我们可以用四句话来总结概括：

面面垂直源身边，类比转化得概念，

思辨论证真知现，两种判定记心间！

板书设计:

8.6.3平面与平面垂直

>类比(-------------------1刻画

平面角----------一]二面角[二面角的平面角

----------抽象-------------度量

特殊

平面与平而1----------x学情分析

本节课的授课对象为胶南一中彳直二面角吃过前面的学习，学生有了“通过观察、

操作并抽象概括等活动获得数学结声有J定的几何直观能力、推理论证能力等，

龌用图形和数学语言表述几何双缪定义之系；已了解“平就判

素养层面

能力层面

■匕部分“垂直关系”的拜-----------掌握解决空间问题得坪面

面面垂直

化，具备学习本节课所需的知识。

大部分同学已经具备了一定的空间想舞能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.

但是，本节课的教学难点在于探究二面角/推理证明不容易理解，通过小组合作探究,

给出不同的解决方案，分析利,、里解，让学生体会数学的严谨性。

经过前面的学习，绝大多娄面面垂直的判定到课堂探究、讨论活动中。在知识

建构的过程中，各小组能够很快k关选出代表发言。小组间既有竞争又

有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效。

然而，学生的能力发展正处于维的转折阶段，但更注重形象思维，对

两个平面的垂直关系还停留在感性《知识层面，有上升到理论.学生还不知道应该如何

定义和判定两个平面互相垂直，还直关系之间的联系，还没有形成完整的

空间知识结构体系，学生内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以学生在学习的过程中要

适时的引导，关注学生的思维，关注学习过程.

平面与平面垂直效果分析

通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面来进行学习效果分

析，预测可能会出现的结果：

1、学生对于空间垂直知识框架的构建、对平面与平面垂直判定定理和性质定理的内容

能够基本上掌握；但在应用定理对问题进行分析、转化、解决上，在表述的调理性、规范完

整性上，估计有部分学生还会有一定的困难，需要在以后的教学中进一步培养、提升和强化。

2、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。对层次较高的学生，还应引导其形成

更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，

还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。

平面与平面垂直教材分析

本节课是人教版A版必修第二册第八章《立体几何初步》8.6“空间直线、平面的垂

直”单元第三节第1课时的内容。平面与平面的垂直是空间两个平面的一种重要位置关系，

是继教材空间平行位置关系、直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与完整性拓

展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.这一节的学习对理顺“线面垂直单元”的

知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用。

本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础，在面面垂

直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、直观感知能力和逻辑推理能力，培

养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，同时本节课体现了转化化归、类

比归纳等数学思想，是高中立体几何课程中的重点课题之一。本节课中，几何直观、空间想

象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养。

《平面与平面垂直》评测练习

一、判断题

(1)如果平面a内有一条直线垂直于平面夕内的一条直线，则aJ_£()

(2)如果平面a内有一条直线垂直于平面夕内的无数条直线，则(

(3)如果平面a内有一条直线垂直于平面夕内的两条相交直线，则(

(4)若m_La,〃zuP，则a_1_户()

二、典例分析

例7、如图，在正方体AB'C'。'中，证明：平面平面ACCA

图8.627

当堂练习：

《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖襦”。

如图所示，鳖魔P—A6C中，24_L平面ABC,AC±BC.

(1)写出该几何体各个面的直角？

(2)证明：平面PAC，平面P3C.

例8、48是圆。的直径，P4垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,8的任意一点

求证：平面PACJ.平面P8C

课内选做练习：

1、把等腰直角三角形A8C沿斜边AB旋转至AAB。的位置，使CD=4C,

求证：平面A3。_L平面ABC；

平面与平面垂直课后反思

通过本节课的教学，对新课标下的课堂有了如下的认识：

（-）注重知识的形成过程

新课标强调“直观感知”，在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物、现象出发，引

导学生用数学眼光看待周围的事物。通过动手操作、实验活动等让学生去经历、感受、体会，

在获得大量的直接经验的基础上去发现知识，总结方法，提升能力。本课通过引导学生例举

开门、翻书动作形成平面所成角的基础上，再由折纸活动让学生感知二面角的概念。使抽象

知识直观化，符合学生的认知规律。

（二）注重温故而知新

在学习新知识时，要重视联想、类比有关的旧知识，辩清它们的区别和联系，进而达到

知识或方法的同化。本课类比1：对平面中“角”的定义类比得出二面角的概念：类比2：

回顾利用平面角唯一刻画“异面直线所成