高中数学：高三数学三求数列通项公式

高三数学专题三求数列通项公式

未命名

一、单选题

1.设等差数列｛%｝,也｝的前”项和分别是S“，，若率=£三，则/=()

311

A.1B.—C.—D.2

414

2.已知S〃是数列｛利｝的前〃项和，若。/=1,an+i=3Sn,则02022=()

A.4239B.42020C.3x4239D.3x42020

3.数列｛〃〃｝满足。〃+2=2。〃+|-。〃，且。2014，〃2016是函数/(x)=gd-4/+6X-1的极

值点，则log?(。2000+^2012+。2018%)30)的值是()

A.2B.3C.4D.5

4.已知各项均为正数且单调递减的等比数列｛a,,｝满足如、2%成等差数列.其前

〃项和为s〃，且§5=31,则()

A.a,,=(£f4B.a“=2"-3c.s“=32-，D.5„=2--4-16

5,已知数列｛%卜满足4=2,«„+1=|寸当/为偶数眈则％=()

丽,+1,当巴为奇数时，

A.—B.1C.2D.4

64

6.数列｛4｝的前“项和为S”，且q+34+…+3"%=〃-3",若对任意〃eN”，

S,,2(-1)",4恒成立，则实数4的取值范围为()

A.[-3,4]B.

C.[-5,5]D.[-272-2,272+2]

11114n4、

7.若数列｛《,｝满足一+二+『+•••+—=-~若一”2恒成立，则义的最大值

q2生3%2〃+1an

()

A.-B.gC.-D.3

482

8.已知数列｛为｝满足4=1，。向=2a“+2〃，且数列｛《,｝的前〃项和S〃.若S“N4,则

实数4的取值范围为()

A.co,0]B.C.(—00,2]D.—1]

二、填空题

9.分形儿何学又被称为“大自然的几何学”，是一门以不规则几何形态为研究对象的几

何学.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反

馈系统，简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学.下面我们用分形

的方法来得到一系列图形，如图1,正三角形的边长为1,在各边取两个三等分点，往

外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3

中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第〃个图形(图1为第一个

图形)中的所有外围线段长的和为%,则满足G+S+C3+…+%>81的最小正整数〃

的值为.(参考数据：炫2。0.3010,lg320.4771)

▲**奉

图1图2图3图4

10.数列｛““｝的前"项和为5,,若4=1,«„+l=3S„,„eN\则｛4｝的通项公式为

II.在数列｛4｝中，4=2,且％=1",〃eN’,则^.

12.设等差数列但〃｝的前〃项和为S",且52。2。>0,S2021<0,则当〃=

时，S”最大.

13.已知数列｛”“｝满足4=1,^i=^T7(neN，)-数列出｝是单调递增数列，且

bt=-A,%=yD(〃cN*),则实数2的取值范围为.

%

三、解答题

14.已知数列｛4｝满足%=[,«„+i=7^77.

O+I

(1)求证：数列是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵若d=求数列｛7｝的前〃项和却

15.设数列｛%｝的前〃项和为%且满足M,=3+25,(〃wN*).

(1)证明：数列｛4｝是等比数列；

⑵令3=喝"[*'(〃eN"),求数列匕｝的前n项和T„.

16.已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，且S5=25,%+05+60=31.

(1)求数列｛q｝的通项公式以及前n项和S,；

2。”,〃为奇数

(2)若"=["为偶数’求数列他，｝的前2〃一1项和.

.44+2,

17.已知公差不为零的等差数列｛%｝中，4=1,且％,4,4成等比数列，

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵数列色｝满足"=()'%,数列他,｝的前〃项和为,若不等式＜T"+£对一

切〃eN*恒成立，求2的取值范围.

参考答案:

1.c

【解析】

【分析】

结合等差数列前"项和公式求得正确答案.

【详解】

依题意等差数列｛4｝,｛2｝的前"项和分别是s“z，

,SIn

由于hn=1二，

T„3〃+7

故可设=储2〃2,7；=2.（3〃2+7〃），几工0,

当2时，q=S“-S,i"Z"一彳.2（1）2=（4〃-2",

2=，（3〃2+7”）-九［3（〃-1）2+7（〃-1）］=（6〃+4”,

所以。6=22%也=284,

22之11

以所以—4=-2-8-4=—14,

故选：C

2.D

【解析】

【分析】

根据数列通项与前n项和的关系可化简得-%=3%（〃22且〃eN*）,即可写出数列通项

公式求解沏小

【详解】

由%=3s“可得q=3s-（〃22且〃eN*），

两式相减得为+「q=3%（〃Z2且〃eN*）,

a4a

即,,+i=n（〃22且〃wN*）,而。2=3sI=3%=3W4q,

所以数列他“｝从第二项开始是一个以4为公比的等比数列，

.­.a„=3x4"-2（n>2）,

答案第1页，共12页

故选：D

【解析】

【分析】

利用导数即可求出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算性质求解即可

【详解】

由/=—4x2+6x—1,得j，(x)=x~—8x+6,

因为4°M，的36是函数/（力=:/一4一+6尤一1的极值点,

所以«2014，«2016是方程X?-8x+6=0两个实根，

所以“2014+“2016=8,

因为数列｛aj满足4+2=2。田-4，

所以4+4+2=24”,

所以数列｛%｝为等差数列，

4

所以kg(生期+。刈2+。如8+出网)=l°g216=log22=4,

故选：c

【解析】

【分析】

3

先根据%,5%，2%成等差数列以及明单调递减，求出公比再由$5=31即可求出

再根据等比数列通项公式以及前〃项和公式即可求出.

【详解】

3

解：由%,；包，2a$成等差数列，

答案第2页，共12页

得：3%=%+2%,

设｛q｝的公比为/贝lj2g2-3q+l=0,

解得：4或4=1,

又Q为单调递减，

解得:4=16,

，数列｛q｝的通项公式为：a„=16-r=©

2

故选：C.

5.B

【解析】

【分析】

根据递推式以及q=2迭代即可.

【详解】

由4=2,得外=m=1,%=3%+1=4,a4=^-=2,a5=^-=l,

ab=3%+1=4,a7=^-=2,&=.=1.

故选：B

6.A

【解析】

【分析】

根据q+34+…+3"T%=".3",利用数列通项与前〃项和的关系，求得,再根据对

答案第3页，共12页

任意〃eN*,S“>(-l)nnA.恒成立求解.

【详解】

解：当“22时，3"-4=止3"—(〃—1)3"T=(2〃+1)3”T,

an=2n+l,当"=1时，4=3符合上式,

:.an=2n+l,

〃(3+2〃+1)=“2+2〃

“2

q

当〃为奇数时,4N-=-(〃+2),

n

令8(〃)=一(〃+2)知，当〃=1时，8(〃)而=一3,

/.2>-3,

当〃为偶数时，几41=〃+2,

n

令/?(〃)=”+2,

A2</z(2)=4,

•••-34244.

故选：A.

7.C

【解析】

【分析】

由已知数列的递推式，可得4,将“换为两式相减求得乙,再由数列的单调性和不

等式恒成立思想，可得所求最大值.

【详解】

,11I14〃

用十•田」42%3%nan2〃+1

143

当”=1时，一=~,即4=:，

434

114〃一4

当”..2时,----1--------1-...+

q2九一1

11114〃

又一+——+——+…+——=

q2%3%叫2拉+1

答案第4页，共12页

14〃4〃一441

以上两式相减可得一=-~---~-=7^—,得/=”-7，上式对〃=1也成立，

nan2/1+12〃-14n-14n

所以4”2恒成立即为42（〃-」）恒成立，

a.4n

由卜为递增数列，得2（〃-：）的最小值为2x（1二）=。，

14〃J4〃42

33

所以4,即4的最大值为六

故选：C.

8.B

【解析】

【分析】

根据递推关系得到数列是等差数列，得到数列｛%｝的通项公式，然后利用错位相减

法得到工，从而求解实数2的取值范围.

【详解】

解：由4=1,1=26+2",得翳吟+g,即翁母=；,

所以［黑］是等差数列，公差为首项为所以*=；+（〃T）x；=；〃，则

数列｛q｝的前"项和为：

5=-xlx2+-x2x22+...+-n?",①

"222

25„=-xlx22+-x2x23+...+-«?,,+|,②

"222

由①-②可得

-S=2+-x22+-x23+...+-X2"--n?,,+|,

“2222

=l+-（22+23+...+2n）--n-2"+l

22

J4（5）1

—XH—x-----------n：，

21-22

即S〃二2〃（〃-1）+1,

由54..得4，（S〃）min，

答案第5页，共12页

因为2"（〃-1）单调递增，.•・当〃=1时，5”的值最小.即

所以4,1,

所以实数义的取值范围为（—』.

故选：B.

9.9

【解析】

【分析】

先求出第"个图形中线段的长度句,第〃个图形中线段的条数4，得到

%=〃也=3x（力”，根据等比数列求和公式求和后列出不等式求解即可得到答案.

【详解】

由题易知每个图形中线段的长度相等.设第"个图形中线段的长度为％,则=（£|

设第〃个图形中线段的条数为方“，则或=3x4-1,

/.XM-I3x1—（大）「n-

・・・%=。也=3乂4，则O+C2+C3+…+c〃=—L―--=9x（g）一]，

人c（4丫/日（4丫八n>—=---------«8.006

令9、5一>8O1、得（？）>I0,则nillo-21g2—lg3，

即满足不等式的最小正整数"的值为9.

故答案为：9

，八0-]〃=1

【解析】

【分析】

由数列通项。，与前”项和S„的相互关系解之即可.

【详解】

由J=3sli,得an+2=3s用，两式相减得a„+2=4an+I

答案第6页，共12页

又由4=1,an+l=3S„,可得/=-=3E=3《=3,即4=3q

故数列｛《,｝从第二项起为公比为4的等比数列,

,\[1,/?=1

则｛%｝的通项公式为4,=*X4，F“N2

l,n=1

故答案为：4—

3x4/,-2,n>2

11.g##0.5

【解析】

【分析】

根据数列的递推公式，发现规律，即数列｛6,｝为周期数列，然后求出的。22即可

【详解】

上」，“1=2

根据题意可得：q=2,=-1

1-q1—21一华

故数列｛4｝为周期数列

可得：42022=4x674=43=]

故答案为：y

12.1010

【解析】

【分析】

先由S2020>0,S2⑼<0,判断出%>0,«ion<O,即可得到答案.

【详解】

等差数列｛m｝的前〃项和为S“=心詈），所以邑。2。=也将还0,因为

1+2020=1010+1011,所以4+/020=%）10+qou，所以

_2020（q+。202。）_2020（ago+qoij

$2020=2=2>0*

_2021（〃]+。202]）_2021

d2021=2一_2~<U，

所以％010>°，。011<°

答案第7页，共12页

所以当"=1010时，S”最大.

故答案为：1010.

3卜若）

【解析】

【分析】

首先利用递推关系式求出数列｛%｝和他｝的通项公式，再利用数列的单调性建立不等关系

b„+t>b„,进一步求出参数的范围.

【详解】

因为4

%+2''

1a,,,,,21(1

所以一=—=1+—,所以——+1=2—+1

aa

nn4田1为

是首项为Ll=2,

所以数列公比为2的等比数列,

an4

所以’+1=221=2",

又%J心）（-）

所以2M=(〃—2/1>2",(〃GN*),

所以包=(〃—1—2⑷

又也｝是单调递增数列,

所以当〃22,〃eN*时，〃用_々=（"_2乃•2"_（〃_]_24>2"T=（〃+]_2；l）-2"T>0恒成立,

77+1

所以当"Z2,〃eN*时，〃+1—24>0恒成立，即当"22,〃eN”时，m>2恒成立，

所以力得3;

2

又久>仇，B[J2（l-2/l）>-/l,所以

2

综上，>1<-.

故答案为：

答案第8页，共12页

14.⑴证明见解析，an=±

⑵Tf

【解析】

【分析】

(1)已知式两边取倒数后根据等差数列的定义证明，由等差数列通项公式可得

(2)用裂项相消法法求和.

⑴

证明：显然4尸0,

a12a+11.

将“用=广n匕两边同时取倒数得一=-n^=一+2,

2乙+1an+lanan

即一L-'=2,所以数列是公差为2的等差数列,

所以L=1-+("-3)X2=2",所以q=」_.

a„%2〃

(2)

_,1111

由已知得小江.诉r环旬1__L

nn+i

那么数列也｝的前〃项和(=；1一；+；_；+…+：n

4〃+4

15.(1)证明见解析

⑵7H2n+5

4x3"

【解析】

【分析】

(1)由3%=3+25“，得到3%M=3+2S.”，两式相减得到­=3q,,即可求解；

(2)由(1)可得4=3",得到%=岁，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

(1)

证明：当n=1时，3q=3+2g=3+2q,解得q=3,

由3an=3+2S„,可得3an+l=3+2S„+I,

答案第9页，共12页

两式相减得四向-如=（3+2S,+J-（3+2S“）=2（S“+「S,）=2%,

即%“=3q,所以数列｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列.

（2）

解：由（1）可得q=3"，所以c,,=q」，

则（工不+4+…+厂三+系+…+丁，

]_

两式相减可得■!4=,+:+…+:一苗'=：+9

1--

3

21F1(1丫一1〃+1_51(1YM〃+152/1+5

36|_UJJ3M+I663"62x3"”

52/7+5

所以Z,

44x3"

16.⑴5“=心

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的性质及基本量运算即得;

（2）利用分组求和法及裂项相消法即得.

（1）

依题意，Ss=5%=25,则4=5,

故〃2+6+4。=%-d+%+2d+%+71=31,

解得d=2,

・・〃］二。鼻—2d=1,

故％=2〃-1,

S”=—--

⑵

答案第10页，共12页

1

依题意，得

(2〃-1)(2〃+3)4(2〃-12〃+3

22"，〃为奇数

故"

，〃为偶数'

412〃-12〃+3

11111

故43+」+25+-+・・/

413741711414〃-54/2-1

111111

=2'+25+...+2-41

41377114〃一54n-l

2(l-24n)i

1-2n-\

----1---------

1-164134/7-11553(4n-1)

17.⑴％=〃

⑵彳€,仁)

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列的通项公式和等比