十五 空间向量与立体几何（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

专题十五空间向量与立体几何

第I卷（选择题）

一、单选题

1.己知正四面体ABC。，E为AC中点，F为A3中点，P在线段80上一个动点（包含端点），则直线CF

与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）

A.[IllB.[1C.kllD,[oil

_62J|_62」L6」L2一

【答案】A

【分析】

连接8E,CF,交于点。，作于M,由AC,平面。E8,得：尸面ABC,则尸£在底面A8C的

IFM

射影为EM,得到cos<PE.C/>=]伊，由此能求出囱线C尸与直线抄所成角余弦值的取值范围.

【详解】

D

B

连接BE,CF,交于点。，作尸何，BE,交BE于点M,由AC,平面QE8得:面48C则尸E在底面

ABC的射影为EM,

1IEM

・・・cos<PE・CF>=cosZPEM-cosZEQC=cosZPEM-=———

22PE

当点P4。重合时,cosZPEA/=,则cos<PE»CF>=—,

DE3236

当点P与点B重合时,cos/PEM=l,则COS<PE.CF>=L=L

22

故直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为杲.

o2

故选：A

【点睛】

求异面直线所成的角的方法:

（1）几何法：作（作出异面直线所成的角）、证（证明所作的角即为所求）、算（解三角形求出待求角）;

（2）向量法.

2.如图，在圆锥SO中，AB,C£>为底面圆的两条直径，ABCD=O,且43_LC£>,SO=O3=3,SE=-SB,

4

异面直线SC与0E所成角的正切值为（)

A.叵

B.

23C选

【答案】D

【分析】

以OD,OB,OS为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值.

【详解】

由题意以QD,QB,05为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

A((),-3,0),6(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),

又SE」SB*

4

1139

OE=OS+SE=OS+—S8=(0,0,3)+—(0,3,—3)=(0,一,一).

4444

SC=(-3,0,-3),

27

OESC36

则cos<OE,SC>=

|。耶屈X3收-10

4

f

设异面直线SC与OE所成角为。，则cos。=|cos<OEySC>|=~~。为锐角,

叵

sin”叵，所以tana=当=至=坐

10cos，3j53

7（T

故选：D.

3.已知空间向量a，b，c满足a+6+c=0,卜I=I，W=2,卜卜疗,则a与b的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】

将a+6=-c，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.

【详解】

设a与〃的夹角为夕由a+〃+c=0，得a+b=-c，两边平方，得1+24/+//=/，

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cosO=g,又6e[0,乃],所以。=6（），

故选：C.

4.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ASC_L平面BCD,ZBAC=ZBCD=900,AB=AC,CD=-BC=\,

2

点尸是线段AB上的动点，若线段CO上存在点。，使得异面直线PQ与A£＞成30。的角，则线段丛长的取值

范围是（）

p

国

cQD

A.0,^~B.（0,V^]C.（。,1]D.0,^~

I」\

【答案】c

【分析】

向量法.以c为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCO的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，根

据各点的坐标写出向量AO=（1,-1,-1），点Q（q,0,0）（04q41），对于点尸的设法，采用向量式力

而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.

【详解】

如图，以C为原点，C。为x轴，C8为y轴，过C作平面8c。的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),4(0,1,1),3(0,2,0),£>(1,0,0),

设Q(q,0,0)(04q41),设AP=/L4B=(0,/l,-/l)(0<441),

则PQ=CQ-(CA+AP)=(^,0,0)-(0,1,1)-(0,2,-Z)=(q,-1-42-1),

AD=(1,-1,-1),

异面直线PQ与AD成30°的角,

\PQAD\lq+2|

cos30=

\PQ\-\AD\77+2^72-732

.•.18%+2=-5q2+16q,

0<q<I,.,.-5q2+16qe[0,11],

1822+2>05mJix/2

即＜…，c解得-卫4/14卫,

1822+2<1122

2

可得|PARAP|=>/^F=&/l€(0,l].

故选：C.

5.如图，正方体A8C3-A4GQ的棱长为6,点尸是棱A4的中点，AC与8。的交点为。，点M在棱BC

上，且8M=2MC,动点T（不同于点M）在四边形ABC。内部及其边界上运动，且770J.O尸，则直线8/

与7M所成角的余弦值为（）

D.日

0T

【答案】B

【分析】

方法一：在棱。C上取一点N,旦DV=2NC,连接NM,则所以NMLOF,所以动点了的轨

迹为线段MN（不包括M）.取棱CG的中点打，连接DH,易知ZWJF8,,则即异面直线用户与力0

所成的角.在三角形HCB中，分别求得三边，利用余弦定理求得cos/汝加即可.

方法二：以A为坐标原点，直线AD,AB,A4,分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设“x，y，（））,

根据7MJ_O尸求得x与y的关系，分别表示出前和拓，利用向量夹角求法求得结果.

【详解】

法一：易知

因为AF1.平面ABC。，所以AR_L8£>,所以8O_L平面AFO,

又OFu平面AFO,所以8DJ.OF,

在棱。C上取一点M且DN=2NC,连接NM,则.所以M0_LO尸，所以动点7的轨迹为线段

MN（不包括例）.

取棱CG的中点，，连接易知DHFB、,则N”z汨即异面直线B|P与7M所成的角.连接84,因为

DH=dG+于=3石,BD=6五,BH=3亚，

所以3/“。8=空位二变=回

2DHxBD5

法二：以A为坐标原点，直线A。，例分别为心），，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

易知名(0,6,6),F(0,0,3),"(4,6,0),0(3,3,0),设T(x,y,0),贝U或=(4-x,6-y,0)，3缶=(0,-6,-3)，

d二(-3,-3,3)・

由题意知刀M.O“=_3（4_x）_3（6_y）=0，得y=l（）-x,

所以戊=（­o）,则H宿叫T由、募了+（1）2

又T不与点"重合，所以工-4工0,所以卜os,F,前）二半，

所以直线BF与TM所成角的余弦值为平,

故选：B.

【点睛】

方法点睛：解决空间夹角问题一般有两种方法，几何法和建系法；几何法即在几何体中作出要求的夹角,

根据边角关系求得；建系法即建立空间直角坐标系，利用空间向量求得所求夹角.

6.已知长方体ABCO-AMGR中，A8=8C=W，点E在线段CC,上，箓=2（04441）平面a过线段44

2CLj

的中点以及点及、E,现有如下说法:

（1）3AG[0,1],使得

（2）若1|,则平面a截长方体ABC。-ARC。所得截面为平行四边形；

⑶若2=0,AB=2,则平面a截长方体ABCD-ANCQ所得截面的面积为3遍

以上说法正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

以点。为坐标原点，DA.DC.。•所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由BE_LB|E得出

=0求出4的值，可判断（1）的正误；确定截面与各棱的交点位置，结合平行四边形的判断方法可

判断（2）的正误；计算出截面面积可判断（3）的正误.

【详解】

（1）以点。为坐标原点，DA,DC、。"所在直线分别为X、了、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

1

设则8（a,a,0）、4（a,a,2a）、E（0,a,2Aa）,

BE-（一々,0,24a）,B]E=（_a,0,2羽一2a）,

若BELIZE,则8£・4£=〃+2/1（2；1—2"2=（22—1）2"=0,解得4=g,

（1）正确；

对于（2）,在棱。。找点Q,由面面平行的性质可知PQ〃旦E,设点Q（0,0,。,

B[E=(-a,(),2Aa-2a),PQ=(-a,O,t-a),

因为用E〃PQ,可设=则氏=1,^it-a=2Aa-2a,则f=（24—l）a,

-12l1

当/le时，0422-14§,此时点。在棱。。上，且有4E=PQ,

故四边形与EQP为平行四边形，（2）正确；

对于（3）,设截面交棱AD于点用，连接尸”、CM,

因为平面〃平面B8CC，平面平面B8£C=8C，平面B/E平面A4QQ=PM,所以，

PM//B.C,

由图可知，NAMP=NBCB\,则tanNAMP="=毁=2,故4M=,AP=，A。，

AMBC22

所以，点M为AO的中点，则”（I。。）、*2,0,2）、C（0,2,0）、片（2,2,4）,

可求得CM=PM=5/LPC=2A/3.PB{=242,gC=2石，

取PC的中点N,连接MN,则MN,PC,旦MNVPM=PN?=◎，

S&PCM=；PCMN=6

PC?+PB；=B©,故PCLPB],故SM%c=gPB\PC=2n,

所以，截面面积为"+2"=36，（3）正确.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：确定截面形状，一般要结合线面平行、面面平行的性质以及空间向量法确定各交点的位置，也

可采用补形法等手段扩展截面，进而确定截面的形状.

7.如图，棱长为2的正方体ABC。-A4GA中，P、。分别是面对角线4。与B。上的动点，且力P=OQ,

给出下列两个判断:

(1)PQ和AG始终是异面直线;

(2)PQ长的最小值是平；

则下列说法正确的是()

A.(1)正确，(2)错误B.(1)错误，(2)正确

C.(1)正确，(2)正确D.(I)错误，(2)错误

【答案】B

【分析】

(1)如图所示，建立空间直角坐标系.设AP=OQ=。，求出平面AGP和平面AGQ的法向量即得解;

(2)求出|PQ|=j6/_8a+4,利用二次函数求出函数的最值即得解.

【详解】

(1)如图所示，建立空间直角坐标系.设4]=。。=缶,则尸(2—a,O,a),Q(a,4,0),。(2,0,2)6(0,2,2),

(0<a<2).

所以AG=(-2,2,0),4P=0,a-2),A。=(a-2,〃，一2)，

设平面AG尸的法向量为力=ay,Z)，

AC,-n,=-2x+2y=0

所以{n{=(a-2,a-2,a).

4Pg=—ax+(a_2)z=0

设平面4GQ的法向量为［=（x,y,z），

4G,心=-2x+2y=0

所以《1=（1,1，。一1).

AQ%=(a-2)x+ay-2z=0

如果p。和AG共面，则平面AGP和平面AC◎重合，所以?=?=’、,

Ia-1

所以a2-4a+2=O,;.a=2-0e[O,2].

所以PQ和4G始终是异面直线错误;

（2）由题得|PQ|=yl（2a-2）2+a2+a2=46/-8a+4，

因为044W2,所以a=g时，PQ长的最小值是2叵.

所以（1）错误，（2）正确.

故选：B

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是判断命题（1）的真假，借助法向量比较严谨和符合数学的逻辑.

8.已知在正四面体A8CD中，点E是CO上靠近C点的三等分点，点尸是边AC的一动点，若E尸与面8co

所成角的最大角为。，则sin。为（）

A.1B.立C.逅D.迪

3333

【答案】D

【分析】

将正四面体放入一个正方体中，且建立如图所示空间直角坐标系，求得平面BCO的一个法向量，设

L.gd

CF=ACA,O<A<\,表示出,由sin。=kos<〃,EF>|=/~^可求得最大值.

【详解】

如图所示，将正四面体放入一个正方体中，且建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为3,

则A（0,0,3）,8（0,3,0）,C（3,0,0）,。（3,3,3）,E（3JI）,

则5c=（3,-3,0）,30=（3,0,3）,EC=（0,-l,-l）,C4=（-3,0,3）,

设CF=/IC4=（—34,0,3/1）,0K/IK1,贝ijEF=EC+CF=（-3Z—l,3；l—l）,

设平面BCD的一个法向量为〃=（x,y,z）,

nBC=b|3x-3y=0/

则即3x+3z=。’令i则尸Lz…,即〃=0，l,7），

nBD=U

\n-EF\

则sin0=|cos<EF>|=_________62

H-|£FI收,9储+1+（3/1-1）2

当/=0时,sin0=0,

当0<花1时，sin"-j—厂〉则当即4=3时，Sin。取得最大值，此时。最大，且如，=述.

匕-/2233

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题考查线面角问题，解题的关键是将正四面体放入一个正方体中，利用向量关系表示出sin夕

9.在棱长为2的正方体A8CQ-A8CA中，点E在棱4A上，=，点G是棱。的中点，点尸满

足B尸=2881o</l<g）,当平面EFG与平面A8C3所成（锐）二面角的余弦值为当时，经过E,F,G三

点的截面的面积为（）

A.276B.拽C.V17D.还

46

【答案】B

【分析】

以。为坐标原点，分别以"A,DC,OA所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面

EFG与平面ABC©所成二面角的余弦值为逅求出4的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等

3

腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案

【详解】

解：如图，以。为坐标原点，分别以D4,DC,Z)A所在的直线为x,%z轴，建立空间直角坐标系，则

G(0,1,0),£(2,0,1),F(2,2,2㈤，所以诙=(2,—1,：),G/=(2,1,2%),

22

设平面EFG的一个法向量为加=(x,y,z),则

3

m，GE=2x-y+—z=0□23

取z=l,PPJw=———,—2+—,1),

824

m•GF=2x+y+22z=0

平面ABC。的一个法向量为"=(0,0,1),

1114

由题意得-------§~解得3或石弓(舍去),

+(T+〉+l'420

延长EEA8,设EPAB=I,连接/G,交BC于K，延长/G,交AO的延长线于L，连接区，交。"于

H,则五边形EFKG”为截面图形,

由题意求得EF=逐，FK==—，GK=0,HG=—,EH=5FH=2及，截面五边形

22

EFKGH如图所示，

则等腰三角形EFH底边FH上的高为道，等腰梯形HGKF的高为&

2

则截面面积为S」x2&x6+」(&+2&)x且=亚

2224

故选：B

【点睛】

关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关

键是建立空间直角坐标系，由平面EFG与平面ABCQ所成(锐)二面角的余弦值为述求出2=9,属于中

34

档题

10.如图，在正方体48GA中，。是AC中点，点P在线段AG上，若直线OP与平面ABC所成

【答案】A

【分析】

先设棱长为1,笑=4(04241)，建立如图坐标系，根据=计算点P坐标和向量OP，再写出平

Ad

面ABG的一个法向量。旦的坐标，根据sinO=kos(OP,Z)及，构建关系，求其值域即可.

【详解】

如图，设正方体棱长为1,弓£=4(04241),则，

Aci

以。为原点，分别以QA,DC,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A(i,o,o),c(o,i,o),o(J,g,o),故AC=AC=(-LI,O),”=(—440),又A(1,0,1)，则尸

所以。尸=

在正方体ABC。-ABCA中，可知体对角线平面ASG,

所以=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量,

所以sin6=cos

迫，当4=0或1时，sin。取得最小值正

所以当几=；时—，sin8取得最大值

33

所以singe与，与

故选：A.

【点睛】

方法点睛：

求空间中直线与平面所成角的常见方法为：

(1)定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值;

(3)向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.

11.在棱长为2的正方体ABCO-A4G。中，点Ew平面44蜴8,点F是线段AA的中点，若［ELCF,

则.EBC面积的最小值为（）

A.@B.1C.—D.2

55

【答案】C

【分析】

首先建立平面直角坐标系，利用RELCF,找到点E的坐标的关系，利用垂直关系，表示AEBC面积

SEBC=卜（丫_号）+g，再求最直

【详解】

如图，以点O为原点，建立空间直角坐标系，0,（0,0,2）,E（2,y,z）,C（0,2,0）,*2,0,1）,JE=（2,y,z—2）,

CF=（2-2,1）,

D.E1CF,.,.4-2y+z—2=0,得z=2y-2,

22

:.SEBC=-XBCXEB=^X2XJ（2_»+Z2=y/（2-y）+（2y-2）

=J5y2-12y+8=-+之，

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题考查空间向量坐标的应用，本题的关键是找到点E的坐标的关系z=2y-2,再利用

BC1EB,表示.E3C的面积.

12.已知直三棱柱48C-ABIG中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCX=\,则异面直线AB|与BQ所成角

的余弦值为（）

A姬B.巫C.正D.且

5523

【答案】A

【分析】

建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面宜线所成的角.

【详解】

如图，以BC为x轴，5用为z轴，平面ABC内过5垂直于8c的直线为V建立空间直角坐标系,

则C（l,0,0）,C,（1,0,1）,（0,0,1）,

AB=2,ZABC=\20°,则A（-l,后,0）,

做=（1,-收1）,8G=（1,0,1）.网=6,闸=&,

DCAB.-BC.1+0+1Vio、扇

cos<AB„BQ>='=忑访=一丁，所以异面直线A片与B&所成角的余弦值为詈.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角.求空间角的方法：

（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角

的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；

（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线

方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得

直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角(它们相等或互补).

13.四棱锥P-ABC。中，PD=DA^AB^-CD,AB//CD,NAOC=90。，尸。1.平面4BC3,M为PC中

点，平面40M交P8于。，则CQ与以所成角的余弦值为()

A.立B.且C.叵D.叵

372142

【答案】D

【分析】

以OC,D4,OP为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设c°=2,写出各点坐标，设

P(2=/IPB=(Z,Z,-Z),DQ=pDM+qDA,求出;l,由向量夹角的余弦值得异面直线所成角的余弦值.

【详解】

以。C,D4,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，设8=2,

则C(2,0,0),A(0』,0),P(0,0,l),8(1,1,0),M为PC中点，则

尸8=(1,1,-1),设题=1PB=GI,人-4),DQ=DP+PQ=(A,A,l-A),

ZW=(l,0,g),DA=(0,1,0),

因为Qe平面ADM,即。。与共面，

所以存在实数PM,使得。Q=pOM+qD4,

2=p

2

所以%=4，解得P=4=%=§，。。=(割〉

CQ=CD+OQ=又明（0」,一1）,

2_\_

3~35/42

cos<CQ,PA>=i—r=

.~~~42.

画网xjo+r+㈠>

所以CQ与孙所成角的余弦值为叵

42

故选：D.

【点睛】

思路点睛：求异面直线所成角的方法：

(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为

共面直线问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的•条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,],当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线

所成的角.

(2)空间向量法：建立空间直线坐标系，由直线对应方向向量的夹角的余弦得异面直线所成角的余弦.

14.已知三棱柱ABC-A4G的侧棱与底面边长都相等，BC的中点为。，4。，底面ABC,则异面直线AB

与CC,所成角的余弦值为()

A.迫B.@C.且D.-

4444

【答案】D

【分析】

以点。为坐标原点，DB、A。、所在直线分别为X、y、z轴建立空间直角坐标系，设Afi=2,利用

空间向量法可求得异面直线A8与CC,所成角的余弦值.

【详解】

设三棱柱ABC-A瓦G的棱长为2,

AB=AC,D为BC的中点，则4)_LBC,

AQ_L平面ABC,以点O为坐标原点，DB、AD.所在宜线分别为X、y、z轴建立空间直角坐标系,

则点A（0,-石,0）、8（1,0,0）、Aw。」），

所以AB=（1,G。），CG=M=（。，"】），Cos<^cc'>=^^[=ih=l

3

因此，异面直线AB与CG所成角的余弦值为二.

4

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，

解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与

平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

二、多选题

15.正方体ABCO-ABIGA的校长为2,E,F,G分别为BC,Cq,BB1的中点.则（）

A.直线£尸与直线AE垂直

B.直线AG与平面A£尸平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为a

D.点4和点D到平面AEF的距离相等

【答案】BCD

【分析】

以〃为原点分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，

利用向量法可以判断选项ABD；对于C:先做出截面AEF",判断其为梯形，直接求面积即可.

【详解】

以。为原点.04,OCOA分别为x轴，了轴，Z轴正方向建立空间直角坐标系,

则4(2,0,0),E(l,2,0),F(021),改0,0,0),0,(0,0,2),G(2,2,1),A(2,0,2),

所以EF=(-1,0,1),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),4G=(0,2,1),AO=(-2,0,0),AG=(0,2,-1)

对于A:因为EF.AE=(-1,0,1).(-1,2,0)=1+0+0=1H0,所以直线£F与直线AE不垂直.故A错误;

对于B：设平面4M的法向量〃=(x,y,z),则,“与°八取)=1,得"=(2,1,2).：

''[n-AF=-2x+2y+z=0''

AG・〃=0+2—2=0且平面AEF,，直线4G与平面AE77平行.故B正确；

对于C：

连接AR,FDt,VE,F分别是BC,CG的中点，

二面AE尸截正方体所得的截面为梯形AEFDi,

而AEF截正方体所得的截面面积为：s=3；EF小生二xJ（4+l）一住]=g.故C正

确；

对于D：由前面可知平面AEF的法向量"=（2」,2）.

点A到平面AEF的距离〃=匕甲=1°；°了斗=：,

同V4+1+43

|2X2+0+0|4

点D到平面AEF的距离d=।,

•••点A和点D到平面AEF的距离相等.故D正确.

故选:BCD.

【点睛】

立体几何题目的基本方法：

（D用几何法证明或计算；

（2）向量法：①建立合适的坐标系；②把要用到的向量正确表示；③利用向量法证明或计算.

16.在平行六面体A88-4gGA中，AB=AD=AA]=2,ZJ\AB=ZDAB=A\AD=60°,则下列说法正

确的是（）

A.线段AG的长度为26

B.异面直线B。，8。夹角的余弦值为g

C.对角面88八。的面积为4行

D.平行六面体ABCQ-ABC2的体积为4及

【答案】AD

【分析】

设ABu&ADub./l/i,=c,求得a./>=2,J=。2=J=4，根据AC|=a+b+c,求得卜。的值，可判定A正

确；由班卜4。=0,可判定B错误：由△回£)为正三角形，根据。£卜。8=0,得到对角面8。。片为矩形，

可判定C错误；由丫=^Ay-ABD，可判定D正确.

【详解】

设A8=a,A£)=b,A4,=c,则a-c=Z>・c=a/=2x2cos60=2,a2=h2=c2=4,

对于A中，因为AG=a+b+c,

°J^|AC||=|a+Z?+c|=v«"+b+c+2a-b+2a-c+2b-c=V24=2>/6>

所以A正确；

,2.2

对于B中，因为BR-B[C=(b+c-a>(b-c)=-c+b+a-c-ab-O^

可得异面直线8。「与8。夹角的余弦值为0,所以B错误；

对于C中，因为AB=A£>=2,ND48=60,所以△ABO为正三角形，可得3。=2,

因为。AOB=c-(a-6)=ca—u6=0,所以。R_L8D,

所以对角面8。力£为矩形，其面积为2x2=4446,所以C错误；

对于D中，设AC与5。交于点0,连接。4，取AA的中点M,连接。M,

可得/=69"叨=6*^5胴。-8。=2*3乂&乂2乂2=4a,所以D正确.

故选：AD.

17.(多选题)在如图所示的几何体中，底面488是边长为2的正方形，4A，BG,CC,,。。均与底面

A8CO垂直，且4人=<^；=力。=286=2,点以F分别为线段BC,CG的中点，则下列说法正确的是

A.直线AG与平面AE尸平行

B.三棱锥G-ACZ)的外接球的表面积是3万

2

C.点G到平面AEF的距离为§

D.若点尸在线段AR上运动，则异面直线EF和CP所成角的取值范围是(0号

【答案】AC

【分析】

由线面平行的判定定理证明A；三棱锥G-ACD的外接球即为四棱锥G-钻8的外接球，则外接球的直径

即为。G,利用勾股定理求出外接球的直径即可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距

离，由EF//AR,异面宜线砂和CP所成角即为CP与AR所成的角，利用特殊位置即可判断D；

【详解】

解：对于A：连接，FZ),,FG,依题意可知EFHAD,,即A,E,尸,。四点共面，因为AR〃G尸且A。尸GF,

所以四边形A2FG为平行四边形，所以AG//RF,因为AGO平面AEFQ,QFu平面AEFD-所以^G//

平面AEFQ,即直线4G与平面AEF平行，故A正确；

对于B：三棱锥G-A8的外接球即为四棱锥G-A8co的外接球，所以外接球的直径即为。G,所以

DG2=AB2+BC2+BG2=9.所以外接球的表面积为9万，故B错误；

如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),£(1,2,0),*0,2,1),C,(0,2,2),C(0,2,0),D,(0,0,2),所以

AE=(-1,2,0),/IF=(-2,2,1),4G=(—2,2,2),EF=(-1,0,1),设面AEF的法向量为”=(x,y,z),所以

n-AE=-x+2y=0

令y=l,则x=2,2=2,所以〃=(2,1,2),所以点G到平面AEF的距离

n-AF=-2x+2y+z=0

d_|小时_卜2x2+2xl+2x2|_2

'TV22+22+l23故C正确;

因为点P在线段AR上运动，EFHAD、,所以异面直线所和CP所成角即为CP与AR所成的角，显然当p

在4。的端点处时，所成角T为T当P在的中点时CPLAR,即所成角为B7T，所以CP与所成的角

的范围为,故D错误；

故选：AC

X

18.如图，正方体ABC。-AAG。的棱长为1,尸是线段3C1上的动点，则下列结论中正确的是()

1

A.ACLBD.

B.AP的最小值为迈

2

C.AP〃平面AC。

7TTT

D.异面直线AP与4。，所成角的取值范围是

【答案】ABC

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；

【详解】

解:如图建立空间直角坐标系,则4(1,0,0),c(o,i,o),.(0,0,1),A(1)0,1),3(1,1,0),q(0,1,1),所以

AC=(-i,i,o),即i),AB=(O,I,-I)，sq=(-I,O,I),所以所以AC_LB%故A

正确；

因为尸是线段BG上一动点，所以8P=/U?G(0W2W1),所以

AP=A5+3P=(O,1,-1)+/1(T,(),1)=(-/M,/1-1),所以==当且仅

当退时即L4,故B正确；

设平面AC"的法向量为〃=(x,y,z),则即卜'+，=，，令x=l，贝ljy=z=l,所以”=0,1,1),

')[n-AD1=0[-x+z=0

因为〃尸=一丸+1+/1-1=0,即〃，4尸，因为APZ平面4cA，所以A///平面ACR,故C正确；

设直线AP与AA所成的角为6,因为ADJ/BG，当P在线段8G的端点处时，，=?，尸在线段BG的中点

时，。=与所以,故D错误;

故选：ABC

19.直三棱柱4BC-A&G，中，ABLAC,48=4C==1,点Q是线段上的动点（不含端点），则

以下正确的是（）

A.AC//平面ABDB.C£）与AG不垂直

C./ADC的取值范围为D.AD+DC的最小值为有

（42.

【答案】AD

【分析】

利用线面平行的判定定理判断4利用向量法证明线面垂直来判断B,利用直线与球的位置关系判断C,利

用点关于面的对称性判断。

【详解】

依题作图，如图1,并将其补成正方体，如图2

A：因为AC〃AG，4©=平面48。，所以AC//平面A8。，故4正确.

B：如图1,以4为坐标原点，4c为x轴，AB为y轴，AA为z轴，

A(0,0,0),C(1,O,O),B(),A(0,0,1),C,(1,0,1),B,(0,1,1)

设BDCBGAe(O,l),则DM,1-42),

CD=(2-l,l-2,2),AG=(1,0』),8.AC；=24-]

11,uuu

当2=5时，CDrAQ,当彳W]目.2e(O,l)时CO与AG不垂直，故B错误.

C：判断以AC为直径的球与GB的交点情况，

如图3,取AC中点F,则尸4=FB=乎，FD='FB2-(；JB)2=当＞卜(：,

所以以AC为直径的球与CB没有交点.所以乙4QC<],故C错误.

。：将面CBG，翻折至与ABC-此时点C与耳重合，所以AD+DC的最小值为Ag,且然=百，故。

正确.

故选：AD

【点睛】

对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；对于线面位

置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与班直的定理是关键，如果题意给的几何体是常见的，

可以直接建系，利用空间向量法求解或证明，达到快速解题的目的.

20.正方体A88-ABCR的棱长为1,区F、G分别是棱AB、B£、0A的中点，下列结论正确的有（）

A.过EFG三点所得正方体的截面的面积为班

4

B.BD〃面EFG

C.三棱锥C-EFG的外接球的直径为，

O

D.CG在面EFG上的投影为亚

3

【答案】ABD

【分析】

A,截面为正六边形EM/WGH,截面面积为6xk也x@xsin2=3百，所以该选项正确；

22234

B,证明皿〃所以8。//面EFG,所以该选项正确；

C,设三棱锥C-EFG的外接球半径为R.求出2/?=二石，所以该选项错误：

D,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出CG在面EFG上的投影为巫，所以该选项正确.

3

【详解】

A,如图所示，过EFG三点所得正方体的截面为正六边形EMFNGH，正六边形的顶点都是正方体的棱的中

点，边长为巫，所以截面面积为6x,x1x变xsin£=3>/L所以该选项正确：

222234

B.因为BD//HE,面EFG,”Eu面EFG,所以〃面"G,所以该选项正确:

C.由题得.£FG是边长为立的等边三角形，C