2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理阶段复习课第一课计数原理教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE阶段复习课第一课计数原理核心整合·思维导图考点突破·素养提升素养一逻辑推理角度1数学思想方法在求解计数问题中的应用【典例1】(1)设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={a1,a2,a3}是S的子集,且a1,a2,a3满意a1<a2<a3,a3-a2≤6,那么满意条件的集合A的个数为()A.78 B.76 C.83 D.84(2)车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法?【解析】(1)选C.若从正面考虑,当a3=9时,a2可以取8,7,6,5,4,3,共6类;当a3=8时,a2可以取7,6,5,4,3,2,共6类;…分类较多,而其对立面a3-a2>6包含的状况较少,当a3=9时,a2取2,a1取1,只有这一种状况,利用正难则反思想解决.集合S含有三个元素的子集的个数为QUOTE=84.在这些含有三个元素的子集中能满意a1<a2<a3且a3-a2>6的集合只有{1,2,9},故满意题意的集合A的个数为84-1=83.(2)方法一:设A,B代表2位老师傅.A,B都不在内的选派方法有QUOTE=5(种),A,B都在内且当钳工的选派方法有QUOTE=10(种),A,B都在内且当车工的选派方法有QUOTE=30(种),A,B都在内且一人当钳工,一人当车工的选派方法有QUOTE=80(种),A,B有一人在内且当钳工的选派方法有QUOTE=20(种),A,B有一人在内且当车工的选派方法有QUOTE=40(种),所以共有QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=185(种).方法二:5名男钳工有4名被选上的方法有QUOTE+QUOTE+QUOTE=75(种),5名男钳工有3名被选上的方法有QUOTE+QUOTE=100(种),5名男钳工有2名被选上的方法有QUOTE=10(种),所以共有75+100+10=185(种).方法三:4名女车工都被选上的方法有QUOTE+QUOTE+QUOTE=35(种),4名女车工有3名被选上的方法有QUOTE+QUOTE=120(种),4名女车工有2名被选上的方法有QUOTE=30(种),所以共有35+120+30=185(种).【类题·通】数学思想方法在求解计数问题中的问题及解法1.对于正面处理较困难或不易求解的问题,经常从问题的对立面去思索.2.解含有约束条件的排列、组合问题,应按元素的性质进行分类,分类时须要满意两个条件:①类与类之间要互斥(保证不重复);②总数要完备(保证不遗漏).【加练·固】1.现有6个人排成一排照相,由于甲乙性格不合,所以要求甲乙不相邻,丙最高,要求丙站在最中间的两个位置中的一个位置上,则不同的站法有________种.()

A.84B.90C.168D.180【解题指南】分两类状况探讨:若甲乙在丙的两侧:首先丙从中间两个位置随意挑一个,有QUOTE种站法,然后甲从丙的一侧,随机挑一个位置,同时乙从甲的另一侧挑一个位置,有2QUOTE种站法,最终剩下的三人,随机排列即可,有QUOTE种站法;若甲乙在丙的同侧:首先丙从中间两个位置随意挑一个,有QUOTE种站法,然后甲、乙不相邻,只有QUOTE种站法,最终剩余三人,随机排列即可,有QUOTE种站法.【解析】选C.已知丙在中间两个位置上选一个,若甲、乙在丙的两边,则有站法:QUOTE·2QUOTE·QUOTE=144种,若甲、乙在丙的同侧,且不相邻,则有站法:QUOTE·QUOTE·QUOTE=24种,则不同站法有144+24=168种.2.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且绿色卡片至多1张,不同的取法种数为()A.484B.472C.252D.232【解析】选B.设(x,y,z)表示取x张红色卡片、y张黄色卡片、z张蓝色卡片.若从正面考虑,需考虑当不取绿色卡片时,有(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(0,2,1),(1,0,2),(0,1,2),(1,1,1)共7类,当取1张绿色卡片时,有(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),共6类,分类较多,而其对立面为3张卡片同一颜色或2张绿色卡片,第三张从非绿色卡片中任取,其包含的状况较少,因此用正难则反思想求解.依据题意,共有QUOTE种取法,其中每一种卡片各取3张,有4QUOTE种取法,取2张绿色卡片有QUOTE·QUOTE种取法,故所求的取法共有QUOTE-4QUOTE-QUOTE·QUOTE=472(种).角度2排列与组合的综合应用【典例2】(1)在0,1,2,3,…,9这十个自然数中,任取三个不同的数字.则组成的三位数中是3的倍数的有________个.

(2)在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.①当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目支配依次?②当要求每2个舞蹈节目之间至少支配1个演唱节目时,有多少种不同的节目支配依次?③若已定好节目单,后来状况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能变更原来节目的相对依次,有多少种不同的节目演出依次?【解析】(1)若组成的三位数能被3整除,则先把0,1,2,3,…,9,这十个自然数中分为三组:(0369);(147);(258).若每组中各取一个数,含0,共有QUOTE=36种;若每组中各取一个数不含0,共有QUOTE=162种;若从每组中各取三个数,共有3QUOTE+QUOTE=30种.综上组成的三位数能被3整除,共有36+162+30=228种.答案:228(2)①第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有QUOTE=5040(种)方法;其次步再松绑,给4个节目排序,有QUOTE=24(种)方法.依据分步乘法计数原理,一共有5040×24=120960(种)支配依次.②第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),一共有QUOTE=720(种)方法.×□×□×□×□×□×□×其次步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即□中“×”的位置)这样相当于7个“×”选4个来排,一共有QUOTE=840(种)方法.依据分步乘法计数原理,一共有720×840=604800(种)支配依次.③若全部节目没有依次要求,全部排列,则有QUOTE种排法,但原来的节目已定好依次,须要消退,所以节目演出的方式有QUOTE=QUOTE=132(种)排列.【类题·通】在解决一个实际问题的过程中,经常遇到排列、组合的综合性问题,而解决问题的第一步是审题,只有仔细审题,才能把握问题的实质,分清是排列问题、组合问题,还是综合问题,分清分类与分步的标准和方式,并且要遵循两个原则:一是按元素的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.解决排列组合应用题的常用问题及方法:(1)相邻问题捆绑法;(2)不相邻问题插空法;(3)等可能问题对等法;(4)定序问题倍缩法;(5)定位问题优先法;(6)选排问题先选后排法;(7)有序安排问题分步法;(8)多元问题分类法;(9)交叉问题集合法;(10)正难则反剩余法;(11)困难问题转化法;(12)知多知少问题解除法.【加练·固】已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次才找到最终一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了全部4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?【解析】(1)先排前4次测试,只能取正品,有QUOTE种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有QUOTE·QUOTE=QUOTE种测法,再排余下4件的测试位置有QUOTE种测法.所以共有不同测法QUOTE·QUOTE·QUOTE=103680种.(2)第5次测试恰为最终一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法QUOTE·(QUOTE·QUOTE)QUOTE=576种.素养二数学运算角度1两个二项式积的问题【典例3】(1)QUOTE的绽开式中x2的系数是()A.-5 B.10 C.-15 D.25(2)已知(1+ax)(1+x)5的绽开式中x2的系数为5,则a=________.

【解析】(1)选A.QUOTE=QUOTE=QUOTE(1-x)5,QUOTE的通项公式为QUOTE,其中r=0,1,2,3,(1-x)5的通项公式为QUOTE,其中r=0,1,2,3,4,5,所以绽开式中x2的系数是QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=10-15=-5.(2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5.所以x2的系数为QUOTE+aQUOTE,则10+5a=5,解得a=-1.答案:-1【延长探究】在本题(1)中,求QUOTE的绽开式中全部项系数和.【解析】令x=1,可知QUOTE的绽开式中全部项系数和为1.【类题·通】两个二项式乘积的绽开式中特定项问题(1)分别对每个二项绽开式进行分析,发觉它们各自项的特点.(2)找到构成绽开式中特定项的组成部分.(3)分别求解再相乘,求和即得.【加练·固】已知(1+x+x2)QUOTE的绽开式中没有常数项,n∈N*,且2≤n≤8,则n=()A.2B.3C.4D.5【解题指南】先将问题转化成二项式的绽开式中没有常数项,利用二项绽开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0得常数项.转化成方程无解.【解析】选D.依题(1+x+x2)(x+QUOTE)n对n∈N*,2≤n≤8中,绽开式中没有常数项,所以QUOTE不含常数项,不含x-1项,不含x-2项,QUOTE绽开式的通项为Tr+1=QUOTExn-rx-3r=QUOTExn-4r,据题意知n-4r=0,n-4r=-1,n-4r=-2,当n∈N*,2≤n≤8时无解,通过检验得n=5.角度2三项绽开式问题【典例4】(1)在QUOTE的绽开式中常数项为()A.28 B.-28 C.-56 (2)求(x2+3x-4)4的绽开式中x的一次项的系数.【解析】(1)选A.因为x3-2x+QUOTE=QUOTE=QUOTE,故QUOTE=QUOTE,又QUOTE的绽开式中x4的系数为QUOTE=28.(2)方法一:(x2+3x-4)4=[(x2+3x)-4]4=QUOTE(x2+3x)4-QUOTE(x2+3x)3·4+QUOTE(x2+3x)2·42-QUOTE(x2+3x)·43+QUOTE·44,明显,上式中只有第四项中含x的一次项,所以绽开式中含x的一次项的系数是-QUOTE·3·43=-768.方法二:(x2+3x-4)4=[(x-1)(x+4)]4=(x-1)4·(x+4)4=(QUOTEx4-QUOTEx3+QUOTEx2-QUOTEx+QUOTE)(QUOTEx4+QUOTEx3·4+QUOTEx2·42+QUOTEx·43+QUOTE·44),所以绽开式中含x的一次项的系数是-QUOTE44+QUOTE43=-768.【类题·通】三项绽开式的指定项的系数,可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数,也可以把三项代数式变形为二项代数式,再利用二项式定理求出指定项的系数.【加练·固】QUOTE的绽开式中x的一次项系数为________.

【解析】QUOTE的绽开式为:QUOTE·20+QUOTE·2+QUOTE·22+QUOTE·23+QUOTE(QUOTE+x)·24+QUOTE·25.QUOTE绽开式中通项为QUOTE·xr,即QUOTE·35-rx3r-10,不存在x的一次项,QUOTE·2绽开式中通项为10QUOTE·34-rx3r-8,令3r-8=1,解得r=3,此时x的一次项系数为120,同理QUOTE·22中不含x的一次项,在QUOTE·23中不含x的一次项,在QUOTE·24中,x的一次项系数为80.综上,QUOTE的绽开式中x的一次项系数为120+80=200.答案:200角度3整除和余数问题【典例5】(1)设a∈Z,且0≤a<13,若512015+a能被13整除,则a=________.

(2)QUOTE的绽开式中的常数项等于QUOTE的绽开式中的二项式系数和.①求QUOTE的绽开式的各项系数和;②求55n除以8的余数.【解析】(1)因为512015+a=(52-1)2015+a=QUOTE522015-QUOTE522014+QUOTE522013-…+QUOTE521-1+a,能被13整除,0≤a<13.故-1+a能被13整除,故a=1.答案:1(2)QUOTE的绽开式中的通项公式为Tr+1=QUOTE=QUOTE45-rQUOTE,所以当r=2时取得常数项,常数项T3=QUOTE43=27,因为QUOTE的绽开式中的二项式系数和为2n,所以2n=27,即n=7.①令a=1,可得QUOTE绽开式的各项系数和为27=128.②557=(56-1)7=QUOTE·567-QUOTE·566+…+QUOTE·56-QUOTE.所以其除以8的余数为7.【类题·通】(1)利用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数亲密关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理绽开,只考虑后面(或前面)一、二项就可以了.(2)解决求余数问题,必需构造一个与题目条件有关的二项式.【加练·固】230+3除以7的余数是________.

【解析】230+3=QUOTE+3=QUOTE+3,对于QUOTE,其绽开式的通项为QUOTE·7r,当r=0时,不能被7整除,此时项为QUOTE·70=1,故余数为1+3=4.答案:4角度4综合应用【典例6】(1)(2024·昆明高二检测)若1717+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,则a=()A.0 B.1 C.2 D.3(2)487被7除的余数为a(0≤a<7),则QUOTE的绽开式中x-3的系数为()A.4320 B.-4320 C.20 D.-20【解析】(1)选B.1717+a=(18-1)17+a=QUOTE1817-QUOTE·1816+QUOTE·1815-QUOTE·1814+…+QUOTE·18-QUOTE+a(a∈Z,0≤a<4)能被3整除,则-QUOT