4.4.3两平面垂直（解析版）

4.4.3两平面垂直同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.【详解】因为，所以，又因为，所以，即“”是“”的充分条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由面面垂直的判定定理判断．【详解】由面面垂直的判定定理知，若，，则，反之，若，，不一定垂直，故”是“”的充分不必要条件，故选：A3．已知直线l及两个不重合的平面，，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，且内有无数条直线与l垂直，则【答案】C【分析】ABD均可举出反例，C选项，可由面面平行得到证明.【详解】A选项，如图1，满足，，但不满足，A错误；如图1，满足，，但不满足，B错误；若，，由面面平行的定义可知，C正确；若内这无数条直线均平行，则不能推出，D错误.故选：C4．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（

）A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PCD【答案】C【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，由四边形ABCD为矩形得，因为，所以平面PAD．又平面PCD，所以平面平面PAD．故选：C5．空间四边形ABCD中，若，，那么有（

）A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADBC．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC【答案】D【分析】证明线面垂直，从而证明面面垂直.【详解】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC．故选：D6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【分析】AB选项，可以举出反例，C选项，可以通过面面垂直的性质和线面垂直的性质进行证明；D选项可以证明出.【详解】如图，满足，但不垂直，A错误；若，则或异面，或相交，B错误；因为，则或，又因为，所以，C正确；因为，所以，又因为，设，则，所以则，D错误.故选：C7．m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：（1）若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；（2）若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.其中正确的命题为（）A．（1）（2） B．（3）C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】B【分析】（1）（2）可举出反例，（3）可以用线面垂直，线线垂直证明出面面垂直.【详解】如图1，满足α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，但不满足n⊥β，（1）错误；如图2，满足α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，但不满足n⊥m，（2）错误；若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.因为m⊥α，m⊥n，所以或，若，因为n⊥β，所以α⊥β.若，则在内存在使得，因为n⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.综上：若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，（3）正确.故选：B8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．线段的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，作出四棱锥的高，并用求出高，再用体积解出即可.【详解】由已知，设，则矩形的面积，取中点，连接，∵是等边三角形，，∴，且,∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即是四棱锥的高，∴四棱锥的体积∴解得，，∴.故选：D.9．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】ABC均可以举出反例，D选项可证明出正确.【详解】A选项，若，，则，或m，n相交或m，n异面，A错误；B选项，若，，则或，相交，B错误；C选项，若，，则或，C错误；D选项，若，，则，D正确.故选：D10．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（）A．平行B．平面C．相交但不垂直D．垂直【答案】D【分析】直接由平面与平面垂直的性质得答案．【详解】解：由正方体的结构特征可知，平面平面，又平面平面，且平面，，由平面与平面垂直的性质可得，平面．故与平面的关系是相交且垂直．故选：D．二、填空题11．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则．【答案】【分析】连接，由面面垂直的性质可得，再由线面垂直的性质有，在△、△中，利用勾股定理求.【详解】连接，在直二面角中，，，所以，又，则，又，所以，在△、△中.故答案为：12．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为.【答案】6【解析】由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解.【详解】解：，O为的中点，.又平面平面，且交线为，平面.平面，，为直角三角形.∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.故答案为：6.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.13．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则．【答案】【分析】由侧面底面及，利用面面垂直的性质定理可得平面，从而，利用勾股定理计算即可得解.【详解】∵侧面底面，交线为，(即)，平面PAC，∴平面，又平面，∴，∴.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了空间线、面垂直的相互转化，属于基础题.14．如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有．【答案】平面，平面，平面【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明出平面⊥平面，同理可证明平面⊥平面，平面⊥平面.【详解】连接面对角线，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平面.故答案为：平面，平面，平面.15．如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有(写出全部正确命题的序号).①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.【答案】③【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得，，再由线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面，平面平面【详解】因为，且是的中点，所以，同理有，因为，平面.所以平面.因为在平面内，所以平面平面.又由于平面，所以平面平面，故答案为：③.三、解答题16．如图，已知，证明：.

【答案】证明见解析【分析】构造辅助线，利用面面垂直的定义可得面面垂直.【详解】

如图，设，，在平面内过作，设为直线异于的一点，为直线异于的一点因为，，故，由，故为二面角的平面角，由可得，故.17．如图，在四棱柱中，四个侧面都是矩形.求证：平面平面ABCD.

【答案】证明见解析【分析】由题设有、，再由线面、面面垂直的判定定理证结论.【详解】因为侧面是矩形，所以.因为侧面是矩形，所以.又，面，因此平面ABCD，又平面，所以平面平面ABCD.18．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.【详解】（1）设,连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．19．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.求证：（1）EF平面PAD；（2）面PBD面PAC.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用面面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点.则且，又底面ABCD是菱形，，，又平面PAD，平面PAD，EF平面PAD.（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，，，且平面PAC，平面PAC，又因为平面PBD，所以面PBD面PAC能力进阶能力进阶20．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：【答案】证明见解析【分析】利用余弦定理和勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得.【详解】证明：在四边形中，因为，，，，由余弦定理得，，解得，所以，即，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．21．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求