4.4.2二面角（解析版）

4.4.2二面角同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】根据二面角的定义可知为二面角，从而可求解.【详解】三棱台中，，且，则，又，且,所以平面，所以为的二面角，因为为等边三角形，所以.故选：C2．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由二面角的定义判断.【详解】根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误．所以①②③都不正确．故选：A3．在长方体中，，，则二面角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为，，可得就是二面角的平面角，又因为，在直角三角形中计算正切值.【详解】∵，，由二面角的平面角的定义知，就是二面角的平面角，又，所以.故选：D4．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.【详解】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定义：为二面角的平面角.故选：C5．正方体的棱长为1，则二面角的余弦值为A． B． C． D．【答案】A【分析】作出正方体，取中点，连结交于点，连结，说明即是二面角的平面角，求解即可.【详解】如图，取中点，连结交于点，连结，，则，，所以即是二面角的平面角，又因正方体棱长为1，所以，所以，又，所以在，即二面角的余弦值为，故选A【点睛】本题主要考查求二面角的大小，可用立体几何法在几何体中作出二面角的平面角，通过解三角形即可求解，属于基础题型.6．在“立体几何”知识中：①两直线所成角的取值范围是；②直线与平面所成角的取值范围是；③二面角的平面角取值范围是．在“解析几何”知识中；④直线的倾斜角取值范围是；⑤两直线的夹角取值范围是；在“向量”知识中：⑥两向量的夹角的取值范围是；以上概念叙述正确的是（

）A．②①④⑤ B．②③④⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤【答案】B【分析】根据各类角的定义即可逐一作出判断.【详解】当两直线平行时夹角为0，故两直线所成角的范围为，故①⑤错误，其他选项根据对应的定义均为正确.故选:B．7．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.故选：B.8．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(

)A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补【答案】D【分析】作出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD，则∠BDC为二面角α­l­β的平面角，∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角，∵∠A＋∠BDC＝180°，∴当二面角的平面角为锐角或直角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等，当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补.故选：D.9．二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二面角的定义和线面垂直的性质可得选项.【详解】解：因为二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为，故选：B.10．在正四面体A－BCD中，二面角A－CD－B的平面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正四面体的性质，若E为CD中点，连接AE、BE，可得为二面角的平面角，结合余弦定理求即可.【详解】由A－BCD为正四面体知：若E为CD中点，连接AE、BE，则，而，∴面，即有为二面角A－CD－B的平面角，设正四面体的棱长为1，即，∴在△中，作于H，则，而且，可得，∴.故选：B.二、填空题．二面角的定义从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角．这条叫做二面角的棱，这两个叫做二面角的面．[问题]二面角的范围是什么？【答案】半平面直线半平面．【分析】根据二面角的定义填空.【详解】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，故答案为：半平面，直线，半平面，12．如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是．【答案】/【分析】根据与二面角大小互补进行求解.【详解】设二面角的大小为，因为，，垂足为、，所以，又，所以.故答案为：13．如图，P是二面角内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角的大小为.【答案】100°//【分析】根据∠APB与二面角大小互补进行求解【详解】设二面角的大小为，因为PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.，所以，所以.故答案为：100°14．将边长为a的正三角形ABC，沿BC边上的高线AD将△ABC折起．C点变为点，若折起后B与两点间的距离为，则二面角的大小为．【答案】/【分析】由折叠过程得出二面角的平面角，从而可得二面角大小．【详解】折叠过程中．，，所以是二面角的平面角，又，是等边三角形，，故答案为：．15．二面角的取值范围是．【答案】【分析】根据二面角的定义直接作答.【详解】二面角的取值范围是.故答案为：三、解答题16．如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.【详解】（1）在正方体中，连接，由于，所以是异面直线与所成的角，由于三角形是等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角的大小为.（2）在正方体中，，所以是二面角的平面角，根据正方体的性质可知，所以二面角的大小为.17．在正方体中，求二面角的大小.【答案】【分析】利用二面角的定理找出为二面角的平面角，进而即可求解.【详解】

∵，，∴即为二面角的平面角.又∵，∴.∴二面角的大小为.【点睛】本题求二面角的大小，求解步骤：“作、证、求”，属于基础题.能力进阶能力进阶18．如图所示，在正方体中，求二面角的大小.【答案】【解析】由二面角的定义证出即为二面角的平面角，从而可求出二面角的大小.【详解】连接和.由已知有面，所以，，因此即为二面角的平面角.由于是等腰直角三角形，因此，所以