辽宁省2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

2023-2024学年度下学期期末考试高二试题数学考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．已知为实数，则“”成立的充分不必要条件是（

）A． B．C． D．3．已知函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．4．定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知，则的大小关系（

）A． B．C． D．6．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．7．若对任意的，且，都有，则的最小值是（

）A． B．e C．0 D．18．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为（

）A．0 B． C． D．1二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数的值域为C．若，则D．若幂函数，且在上是增函数，则实数10．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列选项正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为4C．为偶函数 D．11．已知实数满足，且，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C． D．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知是定义在R上的奇函数，且，则．13．已知数列的首项为2，D是边所在直线上一点，且，则数列的前n项和为．14．若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知函数(1)判断函数的单调性并证明；(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．16．在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用．喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气．能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中为正常数，已知过滤2h消除了的有害物质．(1)过滤4h后还剩百分之几的有害物质？(2)要使有害物质减少，大约需要过滤多少时间（精确到1h）？参考数据：17．已知数列满足．(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)证明：18．已知函数(1)求证：当时，有两个零点；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．19．柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题．已知数列满足．(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)证明：．1．C【分析】先求出每一个集合，再求两集合的交集即可.【详解】由，得或，所以，由，得，解得，所以，所以.故选：C2．D【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，选项A和B，通过取特殊值，即可求解；选项C，利用单调性，即可求解；选项D，利用不等式性质得，即可求解.【详解】对于选项A，当，满足，得不出，所以选项A错误，对于选项B，当，满足，得不出，所以选项B错误，对于选项C，因为在定义域上单调递增，由，得到，即，所以选项C错误，对于选项D，由，得到，即，所以可以推出，但得不到，所以选项D正确，故选：D.3．B【分析】利用零点存在性定理，只需证出：，即可得到结论．【详解】函数的定义域为，又函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，，所以，所以零点所在的大致区间为.故选：B.4．D【分析】根据题设定义得到，即可求解.【详解】因为，由，得到，整理得到，解得或，故选：D.5．B【分析】根据条件，由对数函数的性质知，再利用指对数函数的单调性，得即可求出结果.【详解】由对数函数的性质知，又在定义域上单调递增，所以，又在定义域上单调递增，所以，所以，故选：B.6．C【分析】根据条件，求出函数的定义域，并判断出的奇偶性，利用的性质，得到时，，结合图象，可得选项C正确，选项A，B和D错误，从而求出结果.【详解】易知函数定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，又当时，，所以，得到，又，所以，得到，又，所以，由奇函数的性质知，当时，，结合各个选项的图象，所以选项C正确，选项A，B和D错误，故选：C.7．C【分析】根据题意将原不等式转化为，令，则，则可得在上递减，则，再次转化为在上恒成立，构造函数，求出，从而可求出的范围，进而可求得答案.【详解】因为，，所以，所以由，得，所以，所以，所以，令，则，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，令，则，所以在上递减，所以，所以，所以的最小值是0.故选：C8．A【分析】根据条件得到，利用的图象与性质知的周期为，再利用项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解.【详解】由题知，所以，易知周期为，考虑前项的值：，，，，，，，，因为集合中有且只有5个元素，所以项的值必有互为相反数的二项同为，即集合中有元素，则中的所有元素之积为，故选：A.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用三角函数的周期性，集合中的元素只需考虑前项，注意到项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解.9．BC【分析】选项A，根据条件，利用抽象函数定义域的求法，即可求解；选项B，分离常量得到，令，利用的单调性，即可求解；选项C，利用指对数的互换，即可求解；选项D，利用幂函数的定义及性质，即可求解.【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，由，得到，得到函数的定义域为，所以选项A错误，对于选项B，因为，令，所以，得到，所以函数的值域为，故选项B正确，对于选项C，因为，得到，所以，得到，即，所以选项C正确，对于选项D，因为为幂函数，且在上是增函数，所以，解得，故选项D错误，故选：BC.10．ACD【分析】根据题中条件和等式变形转化，利用对称中心、周期性和奇偶性进行各个选项的判断；【详解】对于A，函数是偶函数，，函数的图象关于对称，A正确对于B，令，即，且，两式结合得可化简为4.B周期不是4.B错误；对于C，，C正确；对于D，，即函数周期为8，且函数图像关于对称，当时，，当时，；当时，；当时，；；；；；；；…所以，D正确；故选：ACD.11．ACD【分析】选项A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项B，根据条件得到，再利用二次函数的性质，即可求解；选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，利用函数单调性，即可求解；选项D，根据条件，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解.【详解】对于选项A，因为，且，所以，当且仅当取等号，所以选项A正确，对于选项B，因为，由，得到，所以当时，取到最小值为，所以选项B错误，对于选项C，因为，所以，即，又易知，则，又在区间上单调递增，所以，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，所以,所以，故选项C正确，对于选项D，因为，所以，即，即，令，易知在上单调递增，所以成立，即成立，令，所以在区间恒成立，所以，得到，所以选项D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D，选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，即可求解；选项D，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解.12．##【分析】由题意可得，可得，再由得到关于的方程，从而可解出，则可求出函数解析式，进而可求出.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，得，因为，所以，所以，得，则，所以，经检验，满足题意，所以.故答案为：13．【分析】首先利用平面向量基本定理推论求得数列的递推关系式，再构造求通项公式，再代入等比数列求和公式求和.【详解】，所以，因为点三点共线，所以，所以，，即，所以数列是首项为，公比为5的等比数列，所以，即，数列的前项和，，.故答案为：14．【分析】构造函数，利用的单调性得到，通过变形，将问题转化成在上恒成立，构造函数，对求导，得到，再对进行分类讨论，利用导数与函数的单调性间的关系，求出函数的最小值，即可求解.【详解】令且，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，得到，因为又在上恒成立，所以在上恒成立，令，，当时，，满足题意，当时，在上恒成立，即在区间上单调递增，又当时，，所以时，不满足题意，当时，当时，，时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，得到，综上，实数的取值范围为，故答案为：.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用同构，通过换元，将问题转化成在上恒成立，构造函数，将问题转化成求函数的最值，即可求解.15．(1)单调递减，证明见解析(2)【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，即可得出结果；（2）根据条件，将问题转化成在区间上有解，令，构造函数，求出的取值范围，即可求出结果.【详解】（1）单调递减，证明如下，易知定义域为，由，得到，因为，所以，又，故在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减.（2）由，得到，，又是增函数，得到在区间上有解，即在区间上有解，令，，则在区间恒成立，即在区间上单调递减，所以，故实数的取值范围.16．(1)还剩的有害物质(2)大约需要过滤小时.【分析】（1）首先确定为初始含量，再代入条件，利用指数运算，即可求解；（2）根据（1）的结果，代入条件，转化为求解指数方程.【详解】（1）当时，，所以是初始有害物质的含量，由题意可知，，得，后有害物质含量，所以过滤4小时后还剩的有害物质；（2）设过滤小时后，有害物质减少80%，即还剩20%，则，则，则，则，所以要使有害物质减少，大约需要过滤小时.17．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）由递推公式，构造等比数列，再求通项公式；（2）首先由（1）的结果，放缩，再利用等比数列求和公式求和.【详解】（1）因为，所以，且，则，即，所以数列是首项为，公比为7的等比数列，所以，则；（2）由（1）可知，，，即，只有当时，等号成立，所以，只有当时，等号成立，当时，，成立，当时，，综上可知，.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）当时，，则无零点，当时，通过二次求导可判断出存在唯一，使得，则在上递减，在上递增，再结合零点存在性定理可证得结论；（2）将问题转化为恒成立，构造函数，转化为证在上恒成立，连续三次求导可得在上递增，然后分和两种情况讨论即可.【详解】（1）证明：当时，，所以，所以无零点，当时，由，得，令，则，所以在上递增，即在上递增，因为，所以存在唯一，使得，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，因为，在上递增，所以，因为，所以存在唯一，使得，所以有两个零点和0；（2）若在上恒成立，则恒成立，设，即证在上恒成立，，令，则，令，则，因为，所以，所以在上递增，即在上递增，所以，所以在上递增，即在上递增，①当时，，则，所以在上递增，因为，所以在上恒成立，所以，②当时，，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，因为，所以，所以存在，使得，所以在上递减，因为，所以时，不合题意，综上，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为恒成立，构造函数后再次转化为在上恒成立，然后利用导数求即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.19．(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义，即可证明，再根据等差数列的通项公式得到，即可求出结果；（2）利用柯西不等式得到，再利用分析法，将问题转化成证明，再利用（1）中结果，转化成证明，再利用数学归纳法，即可证明结果.【详解】（1）因为，所以为常数，又，得到，所以数列为首项为，公差为的等差数列，由，得到.（2