第05讲 有理数的乘除（解析版）新七年级数学暑假课（北师大版）

第05讲有理数的乘除1.理解有理数乘法、除法法则；理解倒数概念2.能利用乘法则进行简单的有理数的乘运算；3.能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；4.通过将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想知识点1：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点2：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点3：倒数（1）定义：的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为.知识点4：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。考点1：有理数乘除法法则辨析例1（2022秋•射洪市期末）如果三个非零有理数的积为正数，则下列结论：①这三个数同号；②若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③若其中一个数是负数，则另外两个数同号；④若其中一个数是负数，则另外两个数异号．其中必定成立的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵若这三个数同为负数，符号相同，但它们的积为负数，∴①的结论不正确；∵若其中一个数是正数，另外两个数同号，则它们的积为正数，∴②的结论正确；∵若三个数中，其中一个数是负数，另外两个数异号，则它们的积为正数，∴③的结论不正确；∵若其中一个数是负数，另外两个数异号，则它们的积为正数，∴④的结论正确；∴②④，故选：B．【变式1-1】（2022秋•抚远市期末）若a+b＞0，且ab＜0，则以下正确的选项为（）A．a，b都是正数 B．a，b异号，正数的绝对值大 C．a，b都是负数 D．a，b异号，负数的绝对值大【答案】B【解答】解：∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值大，故选：B．【变式1-2】（2022秋•碑林区校级期末）下列叙述正确的是（）A．互为相反数的两数的乘积为1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．绝对值等于本身的数是0 D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负【答案】B【解答】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、故选：B．【变式1-3】（2022秋•武冈市期中）两个有理数的积为负数，和为正数，那么这两个有理数（）A．符号相反，且正数的绝对值较大 B．符号相反，绝对值相等 C．符号相反，且负数的绝对值较大 D．符号相同【答案】A【解答】解：∵两个有理数的积为负数，说明两数异号，和为正数，说明这两个数中正数绝对值大于负数的绝对值．∴A选项正确，故选：A．【变式1-4】（2022秋•鹿城区校级期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（）A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定【答案】C【解答】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意；C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意；D．若两个数的商是正数，这两数的和、差、积的正负都能确定正负，故D选项不符合题意．故选：C．考点2：倒数的概念及运用例2.（2023•西和县二模）4的倒数是（）A．4 B． C． D．﹣4【答案】B【解答】解：4的倒数是．故选：B．【变式2-1】（2022秋•大丰区期末）若m，n互为倒数，则|mn﹣2|＝1．【答案】1．【解答】解：∵m，n互为倒数，∴mn＝1，∴|mn﹣2|＝|1﹣2|＝|﹣1|＝1，故答案为：1．【变式2-2】（2022秋•江夏区期中）若a、b互为倒数，则（﹣ab）2022＝1．【答案】1．【解答】解：∵a和b互为倒数，∴ab＝1，∴（﹣ab）2022＝（﹣1）2022＝1，故答案为：1．【变式2-3】（2023•九江一模）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是3．【答案】3．【解答】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，∴m+n＝0，pq＝1，∴−2023m+−2023n＝﹣2023（m+n）+＝0+3＝3．故答案为：3．考点3：有理数乘除法简单运算例3.（2023•龙川县校级开学）计算：．【答案】﹣．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．【变式3-1】（2022秋•松江区期末）计算：4．【答案】8．【解答】解：原式＝××＝8．【变式3-2】（2022秋•綦江区校级月考）计算：（1）（﹣8）×（﹣6）×（﹣1.25）×；（2）（﹣81）÷（﹣2）×÷（﹣8）．【答案】（1）﹣20；（2）﹣2．【解答】解：（1）（﹣8）×（﹣6）×（﹣1.25）×＝﹣8×1.25×6×＝﹣10×2＝﹣20；（2）（﹣81）÷（﹣2）×÷（﹣8）＝（﹣81）×（﹣）××（﹣）＝﹣81×××＝﹣2．【变式3-3】（2022秋•市中区校级月考）计算：（1）﹣56×（﹣）÷（﹣1）．（2）（﹣12）÷（﹣4）×．【答案】（1）﹣15；（2）．【解答】解：（1）﹣56×（﹣）÷（﹣1）＝﹣56×（﹣）×（﹣）＝﹣15；（2）（﹣12）÷（﹣4）×＝3×＝．考点4：有理数乘法运算定律的运用例4.（2022秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算：①；②．【答案】①﹣2；②﹣2398．【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝3+1﹣6＝﹣2．②原式＝（﹣100+）×24＝﹣100×24+×24＝﹣2400+2＝﹣2398．【变式4-1】（2022秋•济南期中）（﹣+）×（﹣24）．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）＝﹣12+4﹣8＝﹣16．【变式4-2】（2022秋•泰州月考）用简便方法计算：（1）；（2）（﹣99）×999．【答案】（1）﹣159；（2）﹣98901．【解答】解：（1）原式＝（20﹣）×（﹣8）＝20×（﹣8）﹣×（﹣8）＝﹣160+＝﹣159；（2）原式＝（1﹣100）×999＝999﹣100×999＝999﹣99900＝﹣98901．【变式4-3】（2021春•徐汇区校级期中）计算：24×（﹣99）．【答案】﹣2399．【解答】解：原式＝﹣24×＝﹣24×（100﹣）＝﹣24×100+24×＝﹣2400+＝﹣2399．考点5：有理数乘除法与绝对值的综合例5.（2022秋•乳山市期中）已知|a|＝6，|b|＝4，且ab＜0，求a+b的值．【答案】2或﹣2．【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝4，且ab＜0，∴a＝6，b＝﹣4或a＝﹣6，b＝4，∴a+b的值为2或﹣2．【变式5-1】（2022秋•朝阳区校级月考）已知|x|＝5，|y|＝3，若xy＞0，求|x﹣y|的值．【答案】2．【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，∴x＝±5，y＝±3，∵xy＞0，∴①x＝5，y＝3，则|x﹣y|＝|5﹣3|＝2，②x＝﹣5，y＝﹣3，则|x﹣y|＝|﹣5﹣（﹣3）|＝2，∴|x﹣y|的值为2．【变式5-2】（2021秋•万州区期末）对于有理数x，y，若＜0，则++的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【解答】解：∵＜0，∴x，y异号．∴xy＜0，∴＝＝﹣1，当x＞0时，y＜0，则＝＝﹣1，＝＝1，∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1．当x＜0时，y＞0，则则＝＝1，＝＝﹣1．∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1．故选：B．【变式5-3】（2022秋•姜堰区期中）若|x|＝2，|y|＝3，且＜0，则2x﹣y＝．【答案】±7．【解答】解：因为|x|＝2，|y|＝3，所以x＝±2，y＝±3，又＜0，所以当x＝2，y＝﹣3时，2x﹣y＝7；当x＝﹣2，y＝3时，2x﹣y＝﹣7．则2x﹣y＝±7，故答案为：±7．考点6：有理数乘除法中的规律计算例6.（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料：计算解：原式的倒数是（﹣+）÷（）＝（﹣+）×（﹣30）＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式等于﹣再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式的倒数是：（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣42）＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42）＝﹣（7﹣9+28﹣12）＝﹣14，故原式＝﹣．【变式6】（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，则原式＝．【变式6-2】（2021秋•平罗县期末）计算：．【答案】﹣18．【解答】解：＝＝﹣×36﹣×36+×36＝﹣27﹣6+15＝﹣18．1．（2022•张家界）﹣2022的倒数是（）A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．【答案】B【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣．故选：B．2．（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16【答案】C【解答】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是4，∴a+b＝0，c＝，∴3a+3b﹣4c＝3（a+b）﹣4c＝0﹣4×＝﹣1．故选：C．3．（2022•台州）计算﹣2×（﹣3）的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【答案】A【解答】解：﹣2×（﹣3）＝+（2×3）＝6．故选：A．4．（2020•台湾）已知a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345），判断下列叙述何者正确？（）A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数 C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4个负数相乘，∴a为正数，∵b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345）中共有3个负数相乘，∴b为负数，∴a为正数，b为负数，故选：C．5．（2020•山西）计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（）A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2【答案】C【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝（﹣6）×（﹣3）＝18．故选：C．1.（2023•荆门一模）下列说法中，正确的是（）A．2与﹣2互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2【答案】C【解答】解：A．2与﹣2互为相反数，故选项A不正确B．2与互为倒数，故选项B不正确；C．0的相反数是0，故选项C正确；D．2的绝对值是2，故选项D不正确．故选：C．2．（2022秋•抚远市期末）若a+b＞0，且ab＜0，则以下正确的选项为（）A．a，b都是正数 B．a，b异号，正数的绝对值大 C．a，b都是负数 D．a，b异号，负数的绝对值大【答案】B【解答】解：∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值大，故选：B．3．（2022秋•路北区期末）若a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜﹣b B．﹣a＜b C．a+b＞0 D．ab＞0【答案】A【解答】解：由题意可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，A、a＜﹣b，正确，故此选项符合题意；B、﹣a＞b，原结论错误，故此选项不符合题意；C、a+b＜0，原结论错误，故此选项不符合题意；D、ab＜0，原结论错误，故此选项不符合题意；故选：A．4．（2022秋•碑林区校级期末）下列叙述正确的是（）A．互为相反数的两数的乘积为1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．绝对值等于本身的数是0 D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负【答案】B【解答】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、故选：B．5．（2022•小店区校级模拟）（﹣9）×（﹣）的结果是（）A．﹣3 B．3 C．27 D．﹣27【答案】B【解答】解：（﹣9）×（﹣）＝3．故选：B．6．（2022秋•防城区期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且a•b＜0，则a+b的值为（）A．5或﹣5 B．1或﹣1 C．3或﹣2 D．5或1【答案】B【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，且ab＜0，∴a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1或a+b＝﹣2+3＝1．故选：B．7．（2022秋•武冈市期中）两个有理数的积为负数，和为正数，那么这两个有理数（）A．符号相反，且正数的绝对值较大 B．符号相反，绝对值相等 C．符号相反，且负数的绝对值较大 D．符号相同【答案】A【解答】解：∵两个有理数的积为负数，说明两数异号，和为正数，说明这两个数中正数绝对值大于负数的绝对值．∴A选项正确，故选：A8．（2022春•南岗区校级月考）计算﹣6××|﹣|×1的值为（）A．1 B．36 C．﹣1 D．0【答案】C【解答】解：原式＝﹣6×××＝﹣6×××＝﹣1故选：C．9．（2021秋•青龙县期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的式子是（）A．a＞0 B．b＜0 C．ab＞0 D．ab＜0【答案】D【解答】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，ab＜0，∴只有D选项正确，故选：D．10．（2022秋•隆安县期中）下列算式中，积为负数的是（）A．0×（﹣5） B．4×（﹣0.2）×（﹣10） C．（﹣1.5）×（﹣2） D．（﹣3）×（﹣）×（﹣）【答案】D【解答】解：A：0×（﹣5）＝0，故A错；B：4×（﹣0.2）×（﹣10）＝8，故B错；C：（﹣1.5）×（﹣2）＝3，故C错；D：（﹣3）×（﹣）×（﹣）＝﹣．故D正确．故选：D．11．（2022秋•天河区校级期中）若|a|＝3，|b|＝4，a＜b，且ab＜0，则a与b的值是（）A．a＝3，b＝4 B．a＝3，b＝﹣4 C．a＝﹣3，b＝4 D．a＝﹣3，b＝﹣4【答案】C【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，∵ab＜0，a＜b，∴a＝﹣3，b＝4，故选：C．12．（2022秋•江津区期中）若a、b互为倒数，则（ab﹣2）2022＝1．【答案】1．【解答】解：∵a，b互为倒数，∴ab＝1，则原式＝（1﹣2）2022＝1．故答案为：1．13．（2022•宽城县一模）若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为﹣2；若a、b互为倒数，则﹣2022ab＝﹣2022．【答案】﹣2；﹣2022．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∴a+（b﹣2）＝a+b﹣2＝0﹣2＝﹣2；∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∴﹣2022ab＝﹣2022．故答案为：﹣2；﹣2022．14．（2022春•龙凤区期中）a、b、c为有理数，且abc＜0，则++＝1或﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵abc＜0，∴a、b、c有1个或3个数为负数，当有1个是负数，两个是正数时，++＝1+1+（﹣1）＝1，当3个负数时，++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，综上所述，++＝1或﹣3．故答案为：1或﹣3．15．（2021秋•常熟市校级月考）已知|x|＝4，|y|＝7，且＜0，则x+y＝﹣3或3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝7，且＜0，∴x＝4，y＝﹣7；x＝﹣4，y＝7，则x+y＝﹣3或3．故答案为：﹣3或3．16．（2022秋•宁远县校级月考）求值：（1）×（﹣16）×（﹣）×（﹣1）；（2）（﹣）×（﹣）×（﹣2）×（﹣）．【答案】（1）﹣4；（2）．【解答】解：（1）×（﹣16）×（﹣）×（﹣1）＝﹣＝﹣4；（2）（﹣）×（﹣）×（﹣2）×（﹣）＝＝．17．（2021春•虹口区校级期中）计算：．【答案】1．【解答】解：原式＝＝＝＝1．18．（2021秋•洪泽区校级月考）计算：（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）；（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；（3）（﹣）×（﹣）÷0.25；（4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．【答案】（1）﹣；（2）﹣；（3）；（4）﹣．【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）＝﹣；（2）原式＝（﹣12）×（﹣）×（﹣）＝﹣；（3）原式＝（﹣）×（﹣）×4＝；（4）原式＝（﹣）×（﹣）