2024年中考数学压轴题型-专题04 用锐角三角函数解决问题之三大题型(解析版)

专题04用锐角三角函数解决问题之三大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一仰角俯角问题】 1【题型二坡度坡比问题】 8【题型三实物抽象出几何图形问题】 13【典型例题】【题型一仰角俯角问题】例题：（2023·浙江嘉兴·统考二模）为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺（约），胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸．如图，为桌面，某同学眼睛看作业本的俯角为为身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．

(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；(2)为确保符合要求，需将作业本沿方向移动．当眼睛看作业本的俯角为时，求作业本移动的距离．（，．结果精确到0.1）【答案】(1)不符合要求(2)作业本移动的距离约为【分析】（1）依题意，，在中，求得的长，比较大小，即可求解．（2）依题意，移动后，，在中，求得的长，与在（1）中求得，求差即可求解．【详解】（1）解：如图所示，依题意，，

在中，，∴，∵∴这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求；（2）依题意，移动后，，在中，∴∴答：作业本移动的距离约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·一模）如图，数学兴趣小组的几位同学在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为．测得与的延长线交于点，同学们用测倾器测得山坡的坡度为（即）．

(1)求该建筑物的高度的长．(2)求山坡上点处的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号的形式）．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用正切函数的定义列式求值即可；（2）过点作于点，过点作于点．设，利用三角函数关系设法用表示和，再利用列方程求解即可．【详解】（1）解：在中，，，，即，．答：该建筑物的高度的长为．（2）如图，过点作于点，过点作于点．

设．在中，，，，又，，，即，解得：．山坡上点处的铅直高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数关系求值，或列方程求解．2．（2023·浙江宁波·统考中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）【答案】(1)(2)【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；（2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示：

由题意知，在中，，则，即，；（2）解：如图所示：

，在中，，由等腰直角三角形性质得到，在中，，由，即，解得，气球离地面的高度．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）【答案】(1)(2)能，见解析【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．．，．．，，小杜下蹲的最小距离．（2）解：能，理由如下：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．，，．，．小若垫起脚尖后头顶的高度为．小若头顶超出点N的高度．小若垫起脚尖后能被识别．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．4．（2023·浙江·校联考三模）大善塔位于绍兴市区城市广场东南角，始建于梁天监三年（504），为明代建筑，在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量大善塔的高.(1)【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离米，即可得出塔高__________米（请你用和a表示）．(2)【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此无法直接测量，该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走到点D处，在D处测得塔顶端A的仰角为，即可通过计算求得塔高，若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果精确到米，参考数据：）【答案】(1)(2)塔高约米【分析】（1）在中，根据三角形函数直接求解即可；（2）设塔高的长为x米，先在中，利用锐角三角函数表示出，再在中，求出x．【详解】（1）解：在中，，，∴；（2）解：设塔高的长为米，在中，，∴，∴米，∵米，∴米，在中，，∴，∴，∴，即（米，答：塔高约米．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，关键是利用锐角三角函数表示线段的数量关系．【题型二坡度坡比问题】例题：（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？【答案】(1)22米(2)米【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；（2）以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，直线的解析式为，设为抛物线上一点，过点M作轴于F，交于G，则，由可求解．【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则，（米），答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；（2）解：以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，设此时抛物线的解析式为，由于斜坡的坡度为，且米，∴米，而（米），∴；∵，，坐标两点分别代入解析式中，得，解得，∴，即，即抛物线的顶点坐标为；过点M作轴于F，交于G，∵坡度为，∴（米），∴（米），答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为米．【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．【变式训练】1．（2023·浙江金华·统考三模）如图，垂直于地平线的旗杆上系一旗帜，在距旗杆底部点6米的D处有一坡比为的斜坡．旗帜在点C时，其影子落在斜坡端点D，测得旗高；继续拉动旗帜到杆顶A时，其影子落在斜坡上的E点，测得．

(1)求坡角的度数(2)求旗杆的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）过E作于H，用坡度比求解；（2）延长交于点M，用含的直角三角形的性质求出，勾股定理求出，进而得到的长度，根据，和题意易得到，利用相似三角形的性质求出，易得，最后用相似三角形的性质求解.【详解】（1）解：过E作于H，如下图

由题意得，∴，∴；（2）解：延长交于点M，中，，∴，，∴.∵，，∴.∵旗帜在点C时，其影子落在斜坡端点D，继续拉动旗帜到杆顶A时，其影子落在斜坡上的E点，由平移的性质可得，∴，∴,即，∴.∵，,∴，∴,即，∴．【点睛】本题主要考查了坡度比，相似三角形判定和性质，平移的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，理解相关知识是解答关键.2．（2023·浙江宁波·校考三模）耸立在宁波海曙区的天封塔始建于唐武则天“天册万岁”至“万岁登封”（695-696）年间，因建塔年号始末“天”“封”而得名（如图1），在天封塔正前方有一斜坡，长为13米，坡度为，高为．某中学数学兴趣小组的同学利用测角仪在斜坡底的点C处测得塔上观景点P的仰角为．在斜坡顶的点D处测得塔上观景点P的仰角为（其中点A，C，E在同一直线上，如图2）．

(1)求斜坡的高；(2)求塔上观景点P距离地面的高度（精确到1米）．（参考数据：，）【答案】(1)米(2)塔上观景点P距离地面的高度为34米【分析】（1）由斜坡的坡度为，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即，计算求出满足要求的解即可；（2）如图，过点D作于点F，则四边形是矩形，米，，，设，则，，在中，，即，解得，进而可求的值．【详解】（1）解：∵斜坡的坡度为，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，（舍去），∴米，答：斜坡的高为5米；（2）解：如图，过点D作于点F，则四边形是矩形，

∴米，，∵，∴，设，则，，在中，，即，解得，∴（米），答：塔上观景点P距离地面的高度为34米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等角对等边，勾股定理．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．【题型三实物抽象出几何图形问题】例题：（2023·浙江舟山·统考模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小海买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图所示，该自行车的车轮半径为，图是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，且．

(1)求下管的长；(2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫离地面的距离．（结果精确到参考数据）【答案】(1)下管长;(2)座垫离地面的距离是．【分析】(1)在中利用勾股定理求得即可．(2)在过作，在中，利用三角函数求，即可得到答案．【详解】（1）解：在中，，，∴∴，答：下管长．（2）解：过点作，垂足为，

∵，∴≈∴，答：座垫离地面的距离是．【点睛】本题考查勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．【变式训练】1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）【答案】(1)(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，

∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴该运动员能挂上篮网．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．2．（2023·浙江绍兴·统考三模）图是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知，互相平分于点，，若，．

(1)求的长．(2)求点到底架的高（结果精确到，参考数据：，，）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定义求解即可.【详解】（1）解：，，互相平分于点O，，，与均是正三角形，．（2）解：在中，，即，答：点到底架的高为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．3．（2023·浙江宁波·校考二模）如图1是一种可折叠台灯，其主体部分的示意图如图2，由固定灯座（）和可转动的光源（）组成，其中，，经测量，灯座高度（）为，光源（）为，．

(1)求台灯灯座的宽度的长；(2)此种台灯配置的是合盖关灯，当光源绕点B旋转至光源与灯座（）夹角不超过时，台灯自动关闭电源．求台灯自动关闭电源时，台灯光源末端距桌面的最大高度．（结果精确到0．1cm．参考数据；，，，，，）【答案】(1)台灯灯座的宽度的长约为；(2)台灯自动关闭电源时，台灯光源末端距桌面的最大高度约为．【分析】（1）在中，利用正切函数的定义即可求解；（2）过点作于点F，在中，利用余弦函数的定义求得的长，据此求解即可．【详解】（1）解：在中，，即，，，∴，∴，答：台灯灯座的宽度的长约为；（2）解：过点作于点F，

由题意得，在中，，∴，∴，∴，答：台灯自动关闭电源时，台灯光源末端距桌面的最大高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2023·浙江宁波·统考一模）读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼睛，非常适合书法人群和学生使用．图是实木读书架实物图，图是其侧面示意图，其工作原理是通过调节点在上的位置，来改变的倾斜角度．已知，，当点调节到图位置时，测得，，．(1)求点到的距离．(2)求的长．（参考数据：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）如图，过点作于点，解，即可求解；（2）延长交于点，过点作于点．根据已知得出，进而得出，在中，求得，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）解：如图，过点作于点．在中，，．（2）延长交于点，过点作于点．，，．．．．在中，．在中，．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·浙江宁波·统考一模）如图①是一把折叠躺椅，其示意图如图②所示，其中平行地面，人们可通过调整和的大小来满足不同需求，经测量两支脚，支点在上且，椅背，躺椅打开时两支脚的夹角．(1)求躺椅打开时两支脚端点、之间的距离；(2)躺椅打开时，调整椅背使，求此时椅背的最高点F到地面的距离．（参考数据：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）如图，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一性质和锐角三角函数即可求解；（2）过点作交于点，过点作交延长线于点，在和利用锐角三角函数求出和即可得出答案．【详解】（1）解：如图，过点作交于点，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴躺椅打开时两支脚端点、之间的距离为．（2）过点作交于点，过点作交延长线于点，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴此时椅背的最高点F到地面的距离为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和性质．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．（2023·浙江宁波·统考一模）桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯