2017-2018学年高中数学必修4全册导学案苏教版

2017^2018学年苏教版高中数学

必修4全册导学案汇编

目录

1.1.1任意角.........................................1

1.1.2弧度制.........................................5

1.2.1任意角的三角函数............................9

1.2.2同角三角函数关系..............................14

1.2.3三角函数的诱导公式...........................20

1.3.1三角函数的周期性...........................25

1.3.2三角函数的图象与性质........................29

1.3.3函数y=Asin（cox+（p）的图象..................36

1.3.4三角函数的应用...............................42

2.1向量的概念及表示...............................47

2.2向量的线性运算.................................51

2.3向量的坐标表示.................................55

2.4向量的数量积...................................61

2.5向量的应用.....................................65

3.1.1两角和与差的余弦...........................72

3.1.2两角和与差的正弦..............................77

3.1.3两角和与差的正切.............................82

3.2二倍角的三角函数...............................87

3.3几个三角恒等式.................................93

1.1.1任意角

课堂导学

三点剖析

1.任意角的概念和象限角的概念

(7

【例1】若a是第四象限角，那么上是第几象限角？

2

思路分析:运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来,

然后再确定处的范围.

2

解：是第四象限角.

.\270°+k•3600<a<360°+k•360°(k®Z),则有，

135°+k•1800<—<180°+k•180°(keZ).

2

(X

当k=2n(ndZ)时，135°+n•360°<—<180°+n•360°,

2

是第二象限角.

2

当k=2n+l(nWZ)时

(Y

315°+n•360°<—<360°+n•360°，

2

，区是第四象限角.

2

综上所述，0是第二或第四象限角.

2

温馨提示

准确表示第四象限角，再分k为偶数、奇数两种情况讨论.不要认为。为第四象限角,

则里是第二象限角.

2

2.把终边相同的角用集合和符号语言正确的表示出来

【例2】用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.

思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.

解：(1)从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.

在0。-360°范围内，且另一个角为225°,故所求集合为

S={B|6=45°+k•360°,keZ}U{P|B=225°+k•360°,keZ}

={B|6=45°+2k-180°,keZ}U{p0=45°+180°+2k•180°,keZ}

={0|3=45°+2k-180°,k£Z}U{00=45°+(2k+l)•180°,kez}

1

={B|6=45°+n•180°,neZ}.

(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为

S={6|8=30°+k•360°,keZ}U{0|6=330°+k•360°,k《Z}

={B|6=30°+k•360°,keZ}U{P【B=-30°+360°+k•360°,keZ}

={B|B=30°+k-360°,keZ}U{PIB=-30°+(k+1)-360°,keZ}

={B|6=±30。+n•360°,neZ}.

(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为

S={B|B=30°+k•360°,keZ}U{P|0=150°+k•360°,keZ}

={B|6=30°+k•360°,keZ}U{B3=-30°+180°+2k-180°,kGZ}

={B|3=30°+2k•180°,keZ}U{PB=-30°+(2k+l)•180°,keZ}

={B|B=(-1)"•30°+n-180°,neZ}.

温馨提示

本题求解过程中，利用了数形结合的思想.两个集合并为一个集合，应先把两个集合变

成一个统一的形式.否则，就不能并为一个集合.

3.任意角的概念

【例3】设集合M={小于90°的角},N={第一象限的角},则MAN等于()

A.{锐角}B.{小于90°的角}

C.{第一象限角}D.以上均不对

思路分析：抓住几个有关概念的区别.

解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.

而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.

MAN由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.

答案：D

温馨提示

上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.

各个击破

类题演练1

若a是第二象限角，上是第几象限角？

3

解：因为a是第二象限角，则有：

k•360°+90°<a<k•360°+180°,keZ,

(X

所以k・120°+30°<—<k•120°+60°,keZ.

3

当k=3m(m£Z)时，

(V所以@是第一象限角.

m•360°+30°<—<m•360°+60°m£Z,

33

当k=3m+l(mGZ)时,

a

m-360°+150°<—<m-360°+180°m£Z,所以上是第二象限角.

33

当k=3m+2(m£Z)时,

•360°+270°<—<m•360°+300°mez,

m3

所以处是第四象限角.

3

2

因此上Qf是第一、二、四象限角.

3

变式提升1

己知角a是第二象限角，求角2a是第几象限角.

解：因为a是第二象限角，则

k•360°+90°<a<k•360°+180°,keZ,

A2k-360°+180°<2a<2k•360°+360°,keZ,

••.2a是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的非正半轴上的角.

类题演练2

已知a=1690°,

(1)把a改写成p+k-360°(keZ,0°WB<360°)的形式；

(2)求。，使。的终边与a相同，且-360°V0<360。，并判断9属于第几象限.

解：(1)a=250°+4•360°(k=4,B=250°).

(2)V9与a终边相同，

0角可写成250°+k•360°.

又•.•-360°<0<360°,

...-360°<250°+k•360°<360°,keZ.

解得k=T或0,

...9=-110°或250。，

二9是第三象限角.

变式提升2

(1)与-457°角终边相同的角的集合是()

A.{a[a=k•360°+457°,kWZ}B.{a[a=k•3600+97。,keZ}

C.{a|a=k-360°+263°,kGZ}

D.{a|a=k-360°-263°,keZ}

解法1：V-457°=-2X360°+263。，.,.应选C.

解法2：：-457°角与-97。角终边相同,

又-97。角与263°角终边相同，

又263°角与k・360°+263°角终边相同，二应选C.

答案：C

(2)已知角a、P的终边相同，那么a-p的终边在()

A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上

C.x轴的非正半轴上D.y轴的非正半轴上

解析：•••角a、B终边相同.

a=k•360°+B,keZ,

作差a-B=k•360°+B-B=k•360°,keZ.

a-B的终边在x轴的非负半轴上.

答案：A

类题演练3

用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”

“0°—90°的角”.

解：0°—90°的角的集合为{a|0°<90°]；

第一象限角的集合为{a|k•360°<a<k・360°+90°,kGZ}；

锐角的集合为{a00<a<90°}；

3

小于90°的角的集合为｛a|a<90°）；

0°—90°的角的集合为｛a|0°WaW90°｝.

变式提升3

下列命题中，正确的是（）

A.终边相同的角一定相等B.锐角都是第一象限角

C.第一象限的角都是锐角D.小于90°的角都是锐角

解析：终边相同的两个角彼此相差360。的整数倍，它们可能相等也可能不等，故排除A；

第一象限的角是指｛a|k•360。<a<k-3600+90。，k®Z｝,所以锐角组成的集合是第一

象限的角所成集合的子集，故C错；小于90。的角也可以是负角，故D错；因此正确的答

案为B.

答案：B

4

1.1.2弧度制

课堂导学

三点剖析

1.弧度的意义，角度与弧度之间的换算

【例1】-300°化为弧度是（）

思路分析：运用角度与弧度间的转化关系式.

解：=三弧度，

A-300°=----弧度.

3

答案：B

温馨提示

掌握基本换算关系：180°="弧度，1弧度=（—）°弋57.30。，可以解决角度与弧

度的换算问题.

2.弧度制的概念及其与角度的关系

【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角

的集合（不包括边界）.

思路分析：运用数形结合表示象限角的方法，先找出终边落在阴影边界的两个最小正角或

最大负数.

解：（1）中0B为终边的角为330°,可看成-30°,化为弧度，

阴影部分内的角的集合为

TT5万

{o2kn——<0<2kn+——,keZ}.

612

（2）中0B为终边的角是225°,可看成-135°,

化为弧度，即一3二4，

而135°=—.

4

阴影部分内的角的集合为

5

{e|2kn----<e<2kn+——,keZ}.

44

温馨提示

在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制的一种，不能混用.

3.弧度的意义的再理解

【例3】下列诸命题中，真命题是（）

A.一弧度是一度的圆心角所对的弧

B.一弧度是长度为半径的弧

C.一弧度是一度的弧与一度的角之和

D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位

思路分析：弧度定义的理解.

解：根据一弧度的定义：把长度等于半径长的弧所对圆心角叫做一弧度的角，由选项知，D

为真命题.

答案：D

温馨提示

掌握定义的准确表述，弧度是角的单位，不是弧的单位.

各个击破

类题演练1

把260°化为弧度为.

解析：•••1。=2弧度

180

13

.-.260°=—乃弧度.

9

田田13

答案：一71

9

变式提升1

⑴将112。30'化为弧度；

（2）将-5'万rad化为度.

解：=---rad,

180

，112°30'=—X112.5rad=—rad.

1808

10()

(2)V1rad=(—)°

n

._5£radl*竽。一5。

类题演练2

（1）分别写出终边落在0A,0B位置上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

6

思路分析：先在。到2人之间找出终边落在OA与OB位置上的角的集合，为方便起见，也可

以在-“与"之间找出终边落在0A与0B位置上的角的集合.

7F7T37r

解：(1)在。到2n之间，终边落在0A位置上的角是生+2=二，终边落在0B位置上的

244

4口3〃兀114

角是一+一=——

236

故终边落在0A上的角的集合为｛a|a=2k3r+—,keZ),

4

终边落在OB上的角的集合为｛BIB=2kn+±1\T«T,kez｝.

6

TT

(2)终边落在阴影部分角的集合为｛。|2k兀一代W。W2k冗+3巳不，kWZ｝.

64

变式提升2

(1)己知0<。<2口，且。与7。终边相同，求0.

解：由已知有7@=2kn+0,k《Z.

k

即60=2kn.0=—7U.

3

k

又0<2n,.-.0<-^<2n.

3

Vkez,

当k=l,2,3,4,5时，9=—,—,Jt,—,—.

3333

(2)已知某角是小于2“的非负角且此角的终边与它的5倍角的终边相同，求此角的大小.

解：设这个角是a,则0<a<2n.

V5a与a终边相同，

/.5a=a+2kn(kGZ),

a=—(kez).

2

又：ae[0,2n)，令k=0,1,2,3.

巳3万.即为所求值.

2

温馨提示

求与a终边相同的角，一般先将这样的角表示为2k"+a(kGZ)的形式，再由题目已

知条件来求解.

类题演练3

下列诸命题中，假命题是()

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

7

B.一度的角是周角的「一,一弧度的角是周角的

3602万

C.根据弧度的定义，180°一定等于n弧度

D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无

关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，其他A、B、C三项均为真命题.

答案：D

变式提升3

在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（）

A.弦长相等B.弧长相等

C.弦长等于所在圆的半径D.弧长等于所在圆的半径

解析：由弧度的意义可知选D.

答案：D

8

1.2.1任意角的三角函数

课堂导学

三点剖析

1.任意角的正弦、余弦、正切的定义

【例11有下列命题，其中正确的命题的个数是()

①终边相同的角的同名三角函数的值相同

②终边不同的角的同名三角函数的值不等

③若sina>0,则a是第一、二象限的角

④若a是第二象限的角，且P(x,y)是其终边上一点，则cosa=，^=

7^7

A.1B.2C.3D.4

思路分析：运用概念判断.

解析：由任意角三角函数定义知①正确：

对②，我们举出反例Sin生7T二sin丝；

33

JTTTY

对③，可指出sin—>0,但一不是第一、二象限的角；对④，应是cosa=.

227^+7

综上选A.

答案：A

温馨提示

要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.

2.角、实数和三角函数值之间的对应关系

【例2】判断下列各式的符号.

(1)tan250°•cos(-350");

(2)sinl51°cos2300；

⑶sin3cos4tan5;

(4)sin(cos0),cos(sin0)(0是第二象限角).

思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的

符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于(4),视sin。、cosO为弧度数.

解：⑴Vtan250°>0,cos(-350°)>0,

tan250°,cos(-350°)>0.

(2)Vsinl510>0,cos2300<0,

sinl51°,cos2300<0.

，人、..%-*3兀3兀「门

(3)•—<3Vn,“<4<,V5<2n,

222

/.sin3>0,cos4<0,tan5<0,

sin3•cos4,tan5>0.

TT

(4)：。是第二象限角，...OVsinOVlV—,

2

/.cos(sin0)>0.

9

同理，一一VTVcos。V0,

2

Asin(cos0)<0,故sin(cos0)•cos(sin。)<0.

温馨提示

(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sin。既表示角0的正弦值，同

时也可以表示L-l,1］上的一个角的弧度数.(3)中解题的关键是将cos。、sinO视为角

的弧度数.

tan(尤-马•Jsinx

【例3】求函数y=——---------的定义域.

lg(2cosx-l)

思路分析：运用等价及集合的思想.

,3

X---兀-W—71Fk,/r,k、GZr,Xw及不+—万

424

解：只需满足条件!sinx20,=Vsin>0,

lg(2cosx-l)w0,0<2cosx-1W1,

温馨提示

利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.

各个击破

类题演练1

已知角a的终边经过点P(-6,-2),求a的三个三角函数值.

-2Vio

解：已知x=-6,y=-2,所以r=25/10，于是sina

r25/1010

3-=乎=-①，

r2V1010x-63

变式提升1

10

已知角a的终边经过点P(2t,-3t)(tVO),求sina,cosQ,tana.

解：Vx=2t,y=-3t

...r=7(-2r)2+(-3r)2=713|r|

Vt<0/.r=-V13/

3V13

・•.sinaU=。

r-V13r13

xIt2A/13

cosa=—=-----=^—----------,

r-V13r13

y—3t3

tana=——=-----=-----.

x22

类题演练2

判断下列各式的符号

77

(1)sinl05°•cos230°;(2)sin—冗•tan—兀；

88

23

(3)cos6•tan6;(4)sin4•tan(------7t).

4

解：(l)・・・105°、230°分别为第二、第三象限角,

Asinl05o>0.cos230°<0.

sinl05°•cos230°<0.

jr77

(2)・・・2v,冗v无，・・.」兀是第二象限角.

288

77

Asin—n>0,tan—n<0.

88

77

sin—n•tan—n<0.

88

3

(3)・・・一n<6<2n,，6弧度的角是第四象限角.

2

/.cos6>0,tan6<0./.cos6•tan6<0.

3

(4)VJT<4<-兀，・•・sin4Vo.

2

又一三23不二-6n+7生1，・••一T三S万与生71终边相同.

4444

23

tan(------乃)>0.

4

23

/.sin4•tan(------7T)<0.

4

变式提升2

已知a是第三象限角，试判断sin(cosa)•cos(sina)的符号.

解：:a是第三象限角.

/.cosa<0,sina<0.

11

又|sina|<1,|cosa|<1,

.*.-l<cosa<0,-l<sina<0,

sin(cosa)<0,cos(sinQ)>0.

/.sin(cosa)•cos(sina)<0.

类题演练3

己知角。的终边在直线y=-3x上，求10sinQ+3cosa的值.

解：设a终边上任意一点P(k,-3k)，则

厂次+y2=或2+(_3k)2=晌ZI,

当k>0时，,

MkVW

k_1

cosa=

回k~V10

___o/1n___

/.10sina+3cosa=-3V10+——=——Vio.

1010

当kvo时，r=-JHJk,

-3k_3

/.sina

-Mk―Vio

k1Vio

cosa=----———7==----------------

一J10&J1010

/.lOsina+3cosa=3加-亚=包厢.

1010

变式提升3

兀

已知aG(0,—),试比较a、sina、tana的大小.

2

解：如右图，设锐角a的终边交单位圆于点P,过单位圆与轴正半轴的交点A作圆的切

线交0P延长线于T,并过点P作PMJ_x轴，则

MP|=sina,|AT|=tana,

ARKJ长为a.

12

连PA,

,**SAOAPVS扇形OAPVSAOAT，

即L|0A|•|MP|<-|0A|2•a<-|OA|•|AT|,|MP|<a<|AT|,

222

Asina<a<tana.

13

1.2.2同角三角函数关系

课堂导学

三点剖析

1.同角三角函数关系

【例1】已知sin。-cos0=L则sir?0-cos'0二.

2

思路分析：把si/O-cos?。变形凑出含有sin。-cos6的代数式代入求值.

解析：Vsin0-cos0=—,

2

(sin0-cos0)2=—.

4

l-2sin0cos。=—,

4

..AA3

..sinB•cosu=—.

8

/.sin30-cos30

=(sin0-cos0)(sin20+sin0•cos。+cos20)

温馨提示

若己知sina-cosa与sina+cosa其中一个条件，求sin*Q•cos2a,sin'a±cos3a

时，常用凑出sina•cosa与sina土cosa的关系来变化.

2.求三角函数式的值及证明三角函数恒等式

8

【例2】已知cosQ二----，求sin。及tana的值.

17

思路分析：用同角三角函数关系解题.

解：Vcosa<0,且cosa2-1

・・・a是第二或第三象限角.

如果a是第二象限角，那么

sina=71-COS2a=JI-(一--)2=—.

V1717

sina15、，/17、15

tana=--------=—X(——)=------.

cosa1788

如果a是第三象限角，那么

1515

s1na=--,tana=—.

178

温馨提示

(1)要会用公式sin2a+cos2a=1的变形

sin2a=l-cos"a,cos2a=l-sin2a.

(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两

14

个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这

种类型.

・八、-1+cosC+sinel+sin6

【例3】求证：----------；—=--------

1+cose—sinecos0

思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.

、<…，'、,l+cos6+sin。

证法1：左边二--------------

1+cos8—sin，

cos6+cos,夕+singcos。

cos0(1+cos0-sin0)

cos0(1+sin。)+1-sin20

cos6(1+cos0-sin6)

(14-sin^)(cos+1-sin0)1+sin。.

-------------------------=--------=右边M.

cos6(1+cos0-sin&)cosC

・・・原式成立.

思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角0的函数，因此可用三角函数定义证明.

证法2：设P(x,y)是象限角0终边上一点，|0P|=r>0,则由三角函数的定义知：

sin0=—,cos。=二且/+/=大

r

x

1+—+•y

所以，左式=—

1+—

rr

r+y_x(x+r+y)_x2+%(y+r)r2-y2+x(r+y)

r—yx(x+r-y)x(x+r-y)x(x+r-y)

(r+y)(r-y+x)_r+y

x{x+—y)x

1+2

1+sin。,__.

r-------二右式.

xcos。

r

故原式成立.

思路分析3：考虑到A二BQA-B=O,故此题可采用比较法.

EUl+cos^+sin01+sinO

证法3：因为------------------------=

1+cos。-sin。cos。

cos6(1+cos0+sin8)—(1+sin6)(1+cos0-sin8)

cos0(14-cos6-sin0)

sin一夕+cos-6一1八

-----------------------------=0,

cos6(1+cos0-sin6)

15

“，，l+cosC+sinC1+smC

所以--------------=--------.

1+cos-sincos。

3.关于“1”的变换

【例4】己知tana=2,求sin2a_3sinacosa+1的值.

思路分析：主要应用“1”的变换.

解：sin2a-3sinacosa+1

二sin%-3sinacosa+(sin~a+cos%)

=2sin2a-3sinacosa+cos'a

2sin2a-3sinacosa+cos2a2tan2a-3tana+1

；

=------------s-m---6-Z--4----c-o--s-2--a-------------=----------t-a-n-2--a---+--1--------

2X22-3X2+1_3

22+1-5

温馨提示

已知tana的值，求形如asinJa+bsinacosa+ccos2a的值，可将分母1化为

l=sin2a+cos2a代入，从而转化为关于tana的表达式后再求值.

各个击破

类题演练1

tana

已知=-1,求值.

tana-1

sina-3cosa

sina+cosa

解析：由已知，tana二L所以,

2

sina-3cosa_tana-3_2_5

sina+cosatana+11-3

2

变式提升1

已知tana为非零实数，用tanQ表示sina,cosQ.

解：Vsin2a+cos2a=1,

.,.sin2a=l-cos2a.

又・・sina

=tana,

cosa

.2i2i

2sin**a1-cosa11

・・tana=---------=--------------=-------------1.

cos'acos'acos'a

于是--\—=l+tan2acos2a=-------―.

cosa1+tana

由于tana为非零实数，可知角a的终边不在坐标轴上,

16

,1，当a为第一，四象限角,

1+tan2a

从而cosa=

1，当a为第二，三象限角.

V1+tan2a

sina=cosatana

二，当叫第一，四象限角,

V/1+tan26T

2

-Jan-a，当a为第二，三象限角

V1+tan2a

类题演练2

已知sin0+cos。=g,6G(0,n),求tan。的值.

解：将已知等式平方，得

24

2sin0•cos。=----.

25

Vsin0+cos9=一>0,Asin0>0,cos0<0

5

Acos0<0<sin0,/.sin0-cos0>0.

497

而(sin0-cos。)2=l-2sin0cos0=——,于是sin0-cos。二一.

255

和已知等式联立，便可解得

433

sin。二一,cos0=---,tan0=----.

554

变式提升2

已知f(x)=A-~~—，若QW(―,n),则f(cosa)+f(-cosa)可化简为

Vl+x2

1-cosa+1+cosa(1-COSa)2+1(1+COS6T)2

解：f(cosa)+f(-COSa)

1+cosa1-cosa1-cos2aV1-cos2a

1-cosa1+COS6Z22

----------1----------=--------=--------

Isina||sina||sina||sina|

答案：--

sin(7

类题演练3

4T/、tana，sinatana+sina

求证：(1)-------------=--------------;

tana-sinatana•sina

/、2sinxcosx1+cosx

(2)-----------------------------------=---------

(sinx+cosx-l)(sinx-cosx-f-l)sinx

思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利用平方差公式.

17

sin2a

2

证明：(1)左边=一他必一,l-cosa=l+cos£

sma疝.sina-sinacosasina(l-cosa)sina

cosa

1cosa11tana+sina

=-----+-----=-----+-----=------------=右边.

sinasinasinatanatana•sina

所以，原命题成立.

2sinxcosx

(2)左边二

[sinx+(cosx-l)][sinx-(cosx-1)]

2sinxcosx

sin2x-(cosx-l)2

_2sinxcosx

sin2JC-COS2x+2cosx-l

2sinxcosx_sin

2cosx-2cos2x1-cosx

sinx(l+cosx)

(1-cosx)(l+cosx)

sinx(l+cosx)_1+cosx

sin2xsinx

所以，原命题成立.

变式提升3

已知tan2a=2tanJB+1,求证：sin2B=2sin2a-1.

证明：因为tan2a=2tan2P+1,

「「“sin%2sin2/?.

所以一十二———+1

cos-pcos-p

2sin2J+cos?°_1+sin2」

cos20cos20

sin2al+sin2B

所rri以u------Z—=--------{.

1-sin-a1-sin"

所以sin2a(1-sin2P)=(l-sin2a)(l+sin2P).

所以sin2B=2sin2a-1.

类题演练4

Jl+2sinacosa的值为()

A.sina+cosaB.sina-cosaC.cosa-sina

D.|sina+cosaI

解析：Vl+2sinacosa二sin'a+2sinacosa+cos2a

18

=（sina+cosa）2

原式二J（sina+cosa）2=|sina+cosaI,

故选D.

答案：D

变式提升4

若Bw[0,2兀），且Jl-cos?0+^/l-sin2/3=sinB-cosB,则B的取值范围是（）

一万、「兀r〜「3兀'3"八、

A.[0,—）B.[_—,n]C.[n,----]D.r[----,2兀）

2222

解析：***Jl-cos20+-Jl-sin2p='sin2°+Jcos20

=|sin3|+1cosB:二sinB-cosB,

・・・sinB20,cosBW0,・・・B是第二象限角（包括x轴负半轴和y轴正半轴）.

JT

<2n,Ape[—,Ji].

2

答案：B

19

1.2.3三角函数的诱导公式

课堂导学

三点剖析

1.三角函数的诱导公式

【例1】求下列各三角函数值.

小•/10乃、

(l)sin(------);

3

(2)cos(----);

6

(3)tan(-855°).

思路分析：直接运用诱导公式进行变形求值即可.

解：(l)sin(-吻)=-sin叱

33

47r

=-sin(2n+——)

3

,4〃

=-sin---

3

=-sin(JT+—)

3

,兀_邪)

-sin-------

32

小29〃,5不、

(2)cos---=cos(4"+—)

66

5〃,4、

=cos—=cos("----)

66

71V3

=-cos-=-----

62

(3)tan(-855°)=-tan855"

=-tan(2X360°+135°)

=-tanl35°=-tan(180°-45°)

=tan45°=1.

温馨提示

对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的

正角大于360°,再利用诱导公式一，化为0°—360°间的角的三角函数，若这时是

90°—360°间的角，再利用180°+a或180°-a或360°-a的诱导公式化为0°—90°

间的角的三角函数.

【例2】化简：

3k+1,3k—1..

cos(―--乃+a)+cos(---7r-a)(keZ).

思路分析：将k分为奇数和偶数，再利用诱导公式.

解法1：当k=2n,n《Z时，

20

原式二cos(k五+—+a)+cos(k冗一一-a)

33

.7C.yTC、

=cos(2nn+—+a)+cos(2nn-一-a)

33

/7C、/乃,兀、

=cos(—+a)+cos(—+a)=2cos(—+a).

333

当k=2n+l,n£Z时,

原式二cos[(2n+l)n+—+a]+cos[(2n+l)叮一一-a]=cos(n+—+a)+cos(兀一一-a)

3333

=-cos(—+a)-cos(—+a)=-2cos(一+a).

333

jrjr

解法2：V(kn+—+a)+(kn---a)=2kn,

33

.*.cos(kn-——-a)=cos[2k-(kn+——+a)]=cos(kn+—+a).

333

工原式=2cos(kn---a)=

兀

2cos(y+a)(k=In.nGZ),

兀

-2cos(§+a)(Z=2〃+l,〃wZ).

温馨提示

观察每组诱导公式的等号两边的角度，不难发现，这两个角度的和或差是一个轴线角，

即为ku,k£Z的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是：如果两个角的和或差是轴线角

kn,k£Z的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理.

2.关于直线y=x对称的点的性质与(2±a)的诱导公式

2

【例3】证明sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

思路分析：利用三角函数定义解析问题.

证明：设任意角a的终边与单位圆的交点坐标为R(x,y),由于角-a的终边与角a的终

边关于x轴对称，角-a的终边与单位圆的交点巴与点R,关于x轴对称，因此点巴的坐标

是(x,-y),由三角函数的定义得

sina=y,cosa=x,tana=—;

X

y

sin(-a)=-y,cos(-a)=x,tan(-a)二—-;

X

从而得sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

温馨提示

学习过程中，充分理解本节的宗旨，突出数形结合思想.

3.诱导公式应用时符号的确定

［例4］已知sin(3n+0)=—,

3