专题4.3三角函数的图像及性质-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第四章三角函数、解三角形专题4.3三角函数的图像及性质1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质．考点一三角函数的定义域和值域考点二三角函数的周期性与对称性考点三三角函数的单调性、奇偶性知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))单调递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq\f(1,2)个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．第一部分核心典例题型一三角函数的定义域和值域1．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数，∵，∴当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为2，故函数的值域为，故选：A．2．函数在上的最小值为（

）A．－1 B． C． D．【答案】B【详解】当时，，则当时，，故选：B.3．已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在时取得最大值，即，可得，所以，因为要求的最大值，所以这里可只考虑的情况，又因为在上单调递增，所以，解得，当时，，所以的最大值为，故选：C.4．已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，可得，因为函数的值域为，所以，解得.故选：C.5．函数的最小值等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】依题意，，即，当，即时，，所以当时，.故选：D题型二三角函数的周期性与对称性6．下列函数以为周期的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D错误.故选：B.7．函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和3 B．和2 C．和3 D．和2【答案】D【详解】因为函数，所以最小正周期为：，当时，有最大值为2.故选：D.8．曲线的一条对称轴方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得．故选：B.9．函数图象的一个对称中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，由，得，，则不是函数图象的一个对称中心，故A错误；对于B，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故B错误；对于C，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故C错误；对于D，，得，，则是函数图象的一个对称中心，故D正确.故选：D.10．已知函数，则（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．为偶函数 D．的最小正周期为【答案】C【详解】，的图象关于点不对称，故A选项不正确.，的图象关于直线不对称，故B选项不正确.因为，又，即，故为偶函数，故C选项正确.的最小正周期为，故D选项不正确.故选：C.题型三三角函数的单调性、奇偶性11．已知函数，则在上的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，，所以当，即时，函数单调递增．故选：B.12．函数（

）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【详解】由可知是奇函数．故选:A13．已知，，的一个极值点是，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】C【详解】因为，，的一个极值点是，所以，所以，，即.因为，所以，.，，解得，.当时，得到在上单调递增，故C正确，D错误.，解得，.当时，得到在上单调递减，故A正确，B错误.故选：C14．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成（如下图所示），又的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确；对于B：为最小正周期为的奇函数，故B错误；对于C：定义域为，，即为偶函数，又，所以为的周期，故C错误；对于D：为最小正周期为的偶函数，故D错误；故选：A15．函数的单调区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，令，，解得，，所以函数的单调递减区间为.故选：D.第二部分课堂达标一、单选题1．函数的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【详解】的最小正周期为.故选：C.2．函数的一个单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】画出的图象，如下，可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求.故选：C3．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由二倍角公式和辅助角公式化简可得，其中，由三角函数的周期公式可得最小正周期.故选：C4．已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，故，则，则向右平移个单位长度后得到.故选：A5．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．B．C．的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称．D．的图象关于直线对称【答案】C【详解】A选项，根据图象可得：，，因为，所以，即，A正确；B选项，的图象过点，则，又∵，则，∴，即，B正确；C选项，的图象向右平移个单位长度得到，显然不是奇函数，不关于原点对称，C错误；D选项，，则为最大值，∴的图象关于直线对称，D正确；故选：C6．已知函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】A【详解】.因为，所以函数的图象关于点对称，不关于直线对称，因此A正确，C不正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，也不关于直线对称，因此BD都不正确，故选：A7．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令得，因为，所以．因为在上恰有两个零点，所以，解得．故选：C8．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以当时，则有，因为在区间内有最大值，但无最小值，结合函数图象，得，解得，故选：A二、多选题9．若函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．在上有极小值D．的图象关于直线对称【答案】BCD【详解】由正弦函数的周期公式得：，故A错误.易知，，故B、D正确.当时，，根据正弦函数的单调性可知：时，即时，单调递减；时，即时，单调递增，所以时，函数取得极小值，故C正确.故选：BCD.10．已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增【答案】ACD【详解】A选项，，故的最小正周期为，A正确；B选项，当时，，故不是曲线的一个对称中心，B错误；C选项，当时，，故是的一条对称轴，也是的一条对称轴，C正确；D选项，时，，由于在上单调递增，故在区间上单调递增，D正确.故选：ACD11．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．C．的图象关于直线对称D．将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称【答案】AC【详解】由函数的图象，可得，所以，可得，所以，因为，所以，即，可得，即，因为，可得，所以，所以A正确，B不正确；由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确；将的图象向右平移个单位长度，可得，此时函数的图象关于原点对称，不关于轴对称，所以D错误.故选：AC.12．已知函数，则（

）A．B．的最小正周期为C．把向左平移可以得到函数D．在上单调递增【答案】AD【详解】A：因为，所以本选项正确；B：由正切型函数的最小正周期公式可得，所以本选项不正确；C：把向左平移可以得到函数，所以本选项不正确；D：当时，，显然是的子集，因此本选项正确，故选：AD三、填空题13．当函数取得最大值时的的集合为．【答案】【详解】依题意令，，解得，，所以函数取得最大值时的的集合为.故答案为：14．若函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为.【答案】【详解】令，得，由得，依题意，在上有且仅有3个零点，则，解得，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题15．已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离为