2020-2021学年新教材高中数学模块素养检测一含解析

模块素养检测(一)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.直线y=QUOTEx+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为 () 2+1 2-1 【解析】选C.因为y=lnx的导数y′=QUOTE,所以令QUOTE=QUOTE,得x=2,所以切点坐标为(2,ln2).代入直线y=QUOTEx+b,得b=ln2-1.2.{an}是首项为1,公差为3的等差数列,若an=2020,则序号n等于 () B.668 【解析】选D.由题意可得,an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,所以2020=3n-2,所以n=674.3.函数y=x4-2x2+5的单调减区间为 ()A.(-∞,-1)和(0,1) B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-1,1) D.(-∞,-1)和(1,+∞)【解析】′=4x3-4x=4x(x2-1),令y′<0得x的范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选A.4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为 ()A.QUOTE钱 B.QUOTE钱C.QUOTE钱 D.QUOTE钱【解析】选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则由题意可知,a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,则a-2d=a-2×QUOTE=QUOTEa=QUOTE.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S13>0,S14<0,则QUOTE,QUOTE…,QUOTE中最大的项为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】n=QUOTE·n2+QUOTEn,由S13=13a7>0,S14=14×QUOTE<0可得a7>0,a8<0,d<0;故Sn最大值为S7.又d<0,an递减,前7项中Sn递增,故Sn最大且an取最小正值时,QUOTE有最大值,即QUOTE最大.6.函数f(x)=2QUOTE+QUOTE,x∈(0,5)的最小值为 () B.3 C.QUOTE QUOTE+QUOTE【解析】′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,5)时,f′(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=3.7.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于 ()2 2 C.QUOTE 【解析】′(x)=x(lnx)′+(x)′·lnx=1+lnx,所以f′(x0)=1+lnx0=2,所以lnx0=1,所以x0=e.8.已知函数f(x)=QUOTE+x3,其导函数为f′(x),则f(2020)+f(-2020)+f′(2019)-f′(-2019)的值为 () B.2 【解析】′(x)=QUOTE+3x2,f′(-x)=QUOTE+3x2,所以f′(x)为偶函数,f′(2019)-f′(-2019)=0,因为f(-x)+f(x)=QUOTE+x3+QUOTE-x3=QUOTE+QUOTE=3,所以f(2020)+f(-2020)+f′(2019)-f′(-2019)=3.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是 ()A.QUOTE B.{log2(an)2}C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}【解析】选n=1时,log2(an)2=0,数列{log2(an)2}不一定是等比数列,q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不一定是等比数列,由等比数列的定义知QUOTE和{an+an+1+an+2}都是等比数列.10.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有 ()10=0 7=S1210最小 20=0【解析】选AB.因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.11.设f(x)=QUOTE,g(x)=ax+3-3a(a>0),若对于任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使得g(x0)=f(x1)成立,下列a值符合要求的是 () B.1 【解析】1∈[0,2]时,函数f(x)=QUOTE,则f′(x)=QUOTE,令f′(x)=0,解得x=1.当x∈[0,1)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在[0,1)上单调递增;当x∈(1,2]时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(1,2]上单调递减;所以当x=1时,f(x)取得最大值1,当x=0时,f(x)取得最小值为0,故得函数f(x1)的值域M=[0,1].当x0∈[0,2]时,因为a>0,所以函数g(x)=ax+3-3a在其定义域内是增函数,当x=0时函数g(x)取得最小值为3-3a.当x=2时函数g(x)取得最大值为3-a.故得函数g(x)的值域为N=[3-3a,3-a].因为M⊆N,所以QUOTE.解得1≤a≤2.12.设函数f(x)=QUOTE-ln|ax|(a>0),若f(x)有4个零点,则a的可以取的值有 () B.2 【解析】选BCD.因为函数定义域为{x|x≠0},且f(-x)=f(x),所以函数为偶函数,故函数f(x)有4个零点等价于x>0时,f(x)有2个零点,当x>0时,f(x)=QUOTE-lnax(a>0),则f′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE,当x→+∞,f(x)→+∞,当x→0,f(x)→+∞,由f′(x)=0得x=QUOTE,当x>QUOTE时,f′(x)>0,当0<x<QUOTE时,f′(x)<0,如图:所以f(x)有极小值fQUOTE,要使函数有4个零点,只需fQUOTE<0即可,即fQUOTE=QUOTE-lnQUOTE=QUOTE-lnQUOTE=QUOTE-QUOTElnae<0,解得a>1,所以a可取2,3,4.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是________.

【解析】由题意应有f′(x)=-3x2+a≥0在区间(-1,1)上恒成立,则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立,故a≥3.答案:a≥314.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a5=-2,a8=16,则S6等于________.

【解析】因为{an}为等比数列,所以a8=a5q3,所以q3=QUOTE=-8,所以q=-2.又a5=a1q4,所以a1=QUOTE=-QUOTE,所以S6=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE15.(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为________.

【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+QUOTEd=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+QUOTEd=QUOTE,当n=4或5时,Sn最小,为-10.答案:0-1016.已知fQUOTE是定义在QUOTE上的函数,f′QUOTE是fQUOTE的导函数,且总有fQUOTE>xf′QUOTE,则不等式fQUOTE>xfQUOTE的解集为__________.

【解析】设gQUOTE=QUOTE,g′QUOTE=QUOTE<0,函数gQUOTE是单调递减函数,不等式fQUOTE>xfQUOTE等价于QUOTE>QUOTE,解得0<x<1,不等式fQUOTE>xfQUOTE的解集为QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·全国Ⅲ卷)设数列QUOTE满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想QUOTE的通项公式并加以证明;(2)求数列QUOTE的前n项和Sn.【解析】(1)由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由数列QUOTE的前三项可猜想数列QUOTE是以3为首项,2为公差的等差数列,即an=2n+1,证明如下:当n=1时,a1=3成立;假设n=k(k≥1,k∈N*)时,ak=2k+1成立.那么n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.则对任意的n∈N*,都有an=2n+1成立.(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n,Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②由①-②得:-Sn=6+2×QUOTE-(2n+1)·2n+1=6+2×QUOTE-(2n+1)·2n+1=(1-2n)·2n+1-2,即Sn=(2n-1)·2n+1+2.18.(12分)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2)上单调递减.(1)求a的值;(2)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图像上,求证:点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.【解析】(1)由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2)上单调递减,所以x=1时,取得极大值,所以f′′(x)=4x3-12x2+2ax,所以4-12+2a=0⇒a=4.(2)点A(x0,f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0,f(x0)),f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1=(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1=QUOTE-4QUOTE+4QUOTE-1=f(x0),所以A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上.19.(12分)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.【解析】(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由S9=-a5得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=QUOTE.由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.20.(12分)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求常数a,b;(2)试判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.【解析】f′(x)=3x2+2ax+b.(1)由极值点的必要条件可知:f′(-2)=f′(4)=0,即QUOTE′(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4)=3x2-6x-24,也可得a=-3,b=-24.(2)由f′(x)=3(x+2)(x-4).当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<4时,f′(x)<0.所以x=-2是极大值点,而当x>4时,f′(x)>0,所以x=4是极小值点.21.(12分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn由a2n=6n-2,有Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减,得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=QUOTE-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)×2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.22.(12分)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈