函数的图像和概念

5.1函数的图像和概念【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）下列对应是集合到集合的函数的是（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】A【分析】根据函数的定义进行判断即可．【详解】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.故选：A．2．（2023·江苏·高一专题练习）下列说法中正确的是（

）A．函数的定义域和值域一定是无限集B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素【答案】D【分析】根据函数的定义以及值域、定义域的定义，可得答案.【详解】函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误．对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不然，故B错误，D正确，C显然错误．故选：D.3．（2023·高一课时练习）下列对应中：（1），其中，；（2），其中，，；（3），其中y为不大于x的最大整数，，；（4），其中，，.其中，是函数的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【答案】B【分析】利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可．【详解】（1），其中，；满足函数的定义，（1）正确；（2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；（3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确；（4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确．故选：B题型二：具体函数的定义域4．（2022秋·江苏连云港·高一统考期中）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据根式与分式的定义域求解即可.【详解】的定义域满足，解得.故选：D5．（2023·江苏·高一专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解.【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立.若，不等式转化为：，显然成立；若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述，故选：A6．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考阶段练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据根号下大于等于0和分母不等于0可列不等式组，解出即可.【详解】由题意得，解得且，即定义域为，故选：D.题型三：抽象函数的定义域7．（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】要使有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为．故选：D．8．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复合函数的定义域，先求出的定义域即可．【详解】因为函数的定义域是，所以，即．所以函数的定义域为，．要使有意义，需满足：，解得，即的定义域为．故选：D．9．（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）已知，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的定义域，然后将看作一个整体代入计算即可.【详解】由题可知：且所以函数定义域为且令且，所以且所以，所以的定义域为故选：C题型四：求函数的值域10．（2023·高一课时练习）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依次判断各个选项中函数的值域即可得到结果.【详解】对于A，，则其值域为，A错误；对于B，，则其值域为，B正确；对于C，，则其值域为，C错误；对于D，，则其值域为，D错误.故选：B.11．（2021秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解.【详解】令，则且又因为，所以，所以，即函数的值域为，故选：B.12．（2021秋·江苏·高一专题练习）已知函数，（），则它的值域为（

）A． B．（3，0） C．（1，0） D．（2，0）【答案】D【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解.【详解】由题意，函数设，则，可得故的值域为.故选：D.题型五：复杂（根式、分式）函数的值域13．（2022秋·江苏泰州·高一统考期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.故选：A．14．（2021秋·江苏·高一专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，转化为，，根据均值不等式求解即可.【详解】令,则，当时，，当时，，当且仅当时，即时等号成立，综上，故选：C【点睛】关键点点睛：注意含根号式子中，经常使用换元法，利用换元法可简化运算，本题注意均值不等式的使用，属于中档题.15．（2021秋·江苏·高一专题练习）下列函数求值域正确的是（

）A．的值域为B．的值域为C．的值域为D．的值域为【答案】D【解析】对于A作出函数图像可判断，对于B可分离根据对勾函数可判断，对于C可以通过分子有理化结合函数单调性可判断，对于D可以通过平方后再开方判断.【详解】A选项，原函数化为，其图像如图，原函数值域为，错，B选项，，∴值域为，错，C选项，的定义域为，，∵与均在上是增函数，∴在上是增函数，又在上恒不等于，则在上是减函数，则的最大值为，的最小值为最大时，此时无限接近与，∴的值域为，错，D选项，的定义域为，，设，则，则，则的值域为，对，故选D.题型六：函数值域求参数范围16．（2023秋·高一课时练习）已知函数满足．若，则（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【解析】依题意知时，即得结果.【详解】满足，且，则时，故.故选：C.17．（2021秋·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）已知＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求出，进而可得，由此可求出的值【详解】解：设，则，所以，所以，解得故选：A【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题18．（2021·江苏·高一专题练习）函数的定义域为，值域为，则的取值范围是A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【答案】D【分析】因为函数的图象开口朝上，由，结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.【详解】函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，故，函数的定义域为,值域为，所以，即的取值范围是,故选D.题型七：抽象函数的值域19．（2023·高一课时练习）已知函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[－2，2]，则函数y＝f(x＋1)的值域是.【答案】[－2，2]【分析】由题意结合函数图象的平移可得函数y＝f(x＋1)的图象可由函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位所得，即可得解.【详解】因为函数y＝f(x＋1)的图象可由函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位所得，且函数y＝f(x)的值域为[－2，2]，所以函数y＝f(x＋1)的值域是[－2，2].故答案为：[－2，2]【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了函数值域的求解，属于基础题.20．（2023·高一课时练习）函数的定义域为，值域为[2,5]，则的值域为．【答案】[2,5]【分析】根据值域的与图象之间的关系即可求解.【详解】的图象是把的图象向左平移2个单位得到的，因此值域不变，即的值域是．故答案为：21．（2015秋·江苏南通·高一阶段练习）定义在R上的函数的值域为，则的值域为．【答案】【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可【详解】函数的图象向左平移一个单位得的图象，因此它们的值域相同．故答案为：【双基达标】一、单选题22．（2023秋·江苏苏州·高一星海实验中学校）下列各组函数表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判断函数的定义域是否相同，再在定义域基础上，化解解析式是否一致即可.【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，，定义域不同，故不为同一函数；对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：对于D，，定义域不同，故不为同一函数．故选：C．23．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出每个选项中对应法则中的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，，且，A中的对应法则可以作为从到的函数；对于B选项，当时，，且，B中的对应法则可以作为从到的函数；对于C选项，当时，，且，C中的对应法则不能作为从到的函数；对于D选项，当时，，则，且，D中的对应法则可以作为从到的函数.故选：C.24．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则其值域为（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】画出函数图像，从图像观察可得答案.【详解】函数图像可由图像向右平移一个单位得到，如图所示:，结合图像可知，函数的值域为.故选：D25．（2022秋·高一单元测试）函数的定义域是（）A． B．C． D．R【答案】C【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.【详解】要使函数有意义，需满足即且.所以函数定义域为故选：C.26．（2022秋·江苏泰州·高一统考期中）已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（）A．26 B．24 C．20 D．18【答案】D【分析】可把f（5）中的5拆成2×3﹣1的形式，即可利用已知关系式求值.【详解】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.故选：D.27．（2023·高一课时练习）下列四个式子中，y是x函数的是（

）A．=x B．y=C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义，依次判断选项，即可.【详解】对于A选项，，定义域为，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；对于B选项，，定义域为无解，所以不是函数，B项错误；对于C选项，定义域为，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；对于D选项，当时，有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误．故选：C.28．（2023·江苏·高一假期作业）试求下列函数的定义域与值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定义域为，值域为(2)定义域为，值域为(3)定义域是，值域为(4)定义域是，值域是.【分析】（1）定义域已知，代入计算得到值域；（2）变换，得到答案；（3）确定定义域，变换，得到值域；（4）设，，计算得到定义域和值域.【详解】（1）因为的定义域为，则，同理可得，，，，所以函数的值域为.（2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为.（3）函数的定义域为，因为，所以函数的值域为.（4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.设，则，于是，又，所以，所以函数的值域为.29．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知函数(1)分别求,,的值；(2)若，求a的值.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据题意，由分段函数解析式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由分段函数解析式，分别讨论，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，，，因为，所以，因为，所以，因为，所以.（2）当时，由，可得，则（舍），当时，由，可得，解得或（舍），当时，由，可得，则（舍），综上，.【高分突破】一、单选题30．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数的定义域为（）A．（，4） B．[，4）C．（，6） D．（，2）【答案】C【分析】由已知求得的定义域，再由解析式分母中根式内的代数式大于0，最后取交集即可.【详解】由函数的定义域为，即，得，所以定义域为，又，，取交集得的定义域为，．故选：C．31．（2022秋·江苏常州·高一常州市第三中学校考期中）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据定义域即可直接求得值域进行判断.【详解】由已知值域为，故A错误因为定义域为，值域为，故B正确.，，，所以，故C错误.，，所以，故D错误.故选：B32．（2023·高一课时练习）下列各组函数是同一函数的是（

）①与；②与③与；④与A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】B【分析】运用同一函数的定义，从定义域、值域和解析式进行判定，即可得到结果.【详解】的定义域为，的定义域为，但，故①错误；，故，②正确；由，解得：，故的定义域为，由，解得：或，故的定义域为，所以与不是同一函数，③错误；与的定义域和对应关系相同，为同一函数，④正确.故选：B33．（2019秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）下列函数中，值域是的是（）A． B．，C．， D．【答案】D【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误；对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；对选项D：，函数的值域为.故选：D34．（2022·江苏·高一假期作业）若函数的定义域为R，则a的范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分、、讨论即可求解.【详解】若的定义域为R，则当时，满足题意；当时，，解得：；当时，无法满足定义域为R．综上所述：，D正确．故选：D二、多选题35．（2023秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A，函数的定义域均为R，且，A是；对于B，函数的定义域为，而的定义域为R，B不是；对于C，函数的定义域均为，而，C是；对于D，函数的定义域均为R，而当时，，当时，，因此，D是.故选：ACD36．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的值域为，则的定义域可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据的图象求得正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，由解得，的图象是函数的图象的一部分，依题意，的值域为，由图可知，的定义域可以是、.故选：AB37．（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）下列函数与的值域相同的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】求得题设中函数的值域，再求每个选项中函数的值域，即可判断和选择.【详解】，故其值域为；对A：当时，，其值域为，故A正确；对B：，故，其值域为，故B错误；对C：，当且仅当时取得等号，其值域为，故C正确；对D：令，故的值域即的值域；又在单调递减，在单调递增，故，故D错误.故选：AC.38．（2022秋·江苏苏州·高一江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）下列与函数有关的命题中正确的是（

）A．函数与是同一个函数B．函数的值域为C．函数的定义域为，则函数的定义域为D．函数的值域为，则实数的取值范围为【答案】BC【分析】根据同一函数的定义，结合分式的运算性质、复合函数的定义域的性质、二次根式的性质逐一判断即可.【详解】选项A，有意义，而没有意义，所以不是同一个函数，A错误；选项B，，所以的值域为正确：选项C，函数的定义域为，则定义域为，所以函数的定义域为，C正确：选项D，当时，的值域为，所以D错误故选：BC39．（2023秋·江苏扬州·高一校考期末）下列对应中是函数的是（

）．A．，其中，，B．，其中，，C．，其中y为不大于x的最大整数，，D．，其中，，【答案】AC【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.【详解】对于A，对集合中的每个元素x，按照，在中都有唯一元素y与之对应，A是；对于B，在区间内存在元素x，按照，在R中有两个y值与这对应，如，与之对应的，B不是；对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；对于D，当时，按照，在中不存在元素与之对应，D不是.故选：AC三、填空题40．（2023秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）函数的定义域为.【答案】【分析】利用函数有意义，列式求解即得.【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：41．（2023·江苏·高一专题练习）函数的定义域为，值域为，则【答案】【分析】根据函数值域，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】当时，显然不符合题意，当时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为，所以，解得，故答案为：．42．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝．【答案】2【分析】由二次函数的图象与性质可以判定在内是减函数，由值域也是列方程中，可求出的值．【详解】∵二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是，∴在上是减函数，又f（x）在上的值域也是，∴，即，解得a＝